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数学九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试课后练习题
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这是一份数学九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试课后练习题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3、若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
(4) (5) (6)
4、在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD
5、如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6、如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A．B．2C．2D．3
7、如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
(8) (9) (10)
8、如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，
则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
9、如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，，，
则下列说法中正确的是
A．B．C．D．
10、如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4 B．7﹣4C．6﹣D．
二、填空题
11、如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，
则弦AB的取值范围是_____．
(14) (15) (16)
12、用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm．
13、已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为________
14、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
15、如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
16、如图，、切于点、，，，点在上，且切于点，交、于、两点，则的最小值是 ．
17、如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且
∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切．
(18) (19) (20)
18、如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，
则∠OBD的度数是_____．
19、如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是：________．①是中点；②；③是的切线；④．
20、如图，已知是等腰直角三角形，，点是上一点，且，以为圆心，的长为半径画弧，与的三边分别交于点、、，则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
三、解答题
21、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
22、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
23、已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：① ，② ，③ ，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．
24、如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______ °
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
25、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
26、如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
27、如图，内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，，．求：
（1）的度数；
（2）线段AD的长；（结果保留根号）
（3）图中阴影部分的面积．
28、已知如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．
（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD面积的最大值．
第2章《对称图形--圆》单元复习卷(1)-苏科版九年级数学上册 培优训练（解析）
一、选择题
1、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据垂径定理计算．
【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，∴在OD上截取OH=1cm，
过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，
故选C．
2、若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【解析】扇形的弧长4π，
∴圆锥的底面圆的周长＝4π，
∴圆锥的底面圆半径2，
故选：B．
3、若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【详解】
连结AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，∴∠A=90°−55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.
故答案为35°.
4、在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD
【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．
【详解】
解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；
∵BD＝CD，∴＝,∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；
根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；
∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．
故选：D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．
5、如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°，然后根据弧长公式计算的长．
【解析】连接OC，如图，
∵BC//OA，∴∠AOB+∠OBC=180°，∠C=∠AOC，
∵∠AOB=130°，∴∠OBC=50°，
∵OB=OC，∴∠C=∠OBC=50°，∴∠AOC=∠C=50°，
∴的长=．
故选：C．
6、如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A．B．2C．2D．3
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴，∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴DB=OD=2，则半径OB等于：．
故选C．
7、如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【详解】解：∵AB=CD，∴，∴，∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵，∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，∴∠CAB=∠BDC，故④正确；
延长DO交⊙O于M，连接AM，
∵D、C、A、M四点共圆，∴∠CDO+∠CAM=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠CAM＞∠CAO，∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；
即正确的个数是4个，故选C．
8、如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，
则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
【分析】根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
【详解】
解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．
故选C．
9、如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，，，
则下列说法中正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：连接，如图，
为直径，
，
，
，，
，所以选项正确；
，所以选项错误；
，所以选项错误；
，，
，即，所以选项错误．
故选：．
10、如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4 B．7﹣4C．6﹣D．
【详解】∵O的直径AB=2，∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，∴，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°− (∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，
∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC=(AB+AC+BC)⋅EO=AC⋅BC，∴EO=−1，
∴AE2=AO2+EO2=12+(−1)2=4−2，
∴扇形EAB的面积==，△ABE的面积=AB⋅EO=−1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积=，
∴阴影部分的面积=O的面积−弓形AB的面积=−()=−4，
故选：A.
二、填空题
11、如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，
则弦AB的取值范围是_____．
【答案】8＜AB≤10．
【分析】首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【解析】如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD．在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4．∴AB＝2AD＝8．
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10．
∴AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10．
12、用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解关于r的方程即可．
【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r＝5（cm）．
故答案为：5．
13、已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为________
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故选D．
14、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
【答案】．
【解析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为．
15、如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
【解答】解：如图，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
的直径为
故答案为：．
16、如图，、切于点、，，，点在上，且切于点，交、于、两点，则的最小值是 ．
【解答】解：当时，切线的长最小．
由切线长定理，得，，
，
，,是等边三角形，
因为，，是等边三角形，
故答案为：
17、如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且
∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切．
【答案】43或6
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当直线与圆相切时，点C在圆的左侧，
∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切，
∴2DB=BC，即2（1+t）=10﹣4t，解得：t= ，
当直线与圆相切时，点C在圆的右侧，
∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切，
∴2DB=BC，即2（1+t）=4t﹣10，解得：t=6，
故答案为：或6．
18、如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，
则∠OBD的度数是_____．
【分析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.
【详解】连接CD.
由题意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，
∴CD==2，∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）
故答案为30°.
19、如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是：________．①是中点；②；③是的切线；④．
【分析】连接AP．根据圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”的性质推知点P是线段BC的中点，同理证得点E是线段AC的中点；然后由三角形中位线定理，圆心角、弧、弦间的关系来证明；连接OP，由切线的判定证得OP⊥PF即可．
【详解】连接AP．
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，∴点P是线段BC的中点，故①正确；
同理，点E是线段AC的中点，
∴AE=EC，故④正确；
∵连接PE．点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE=AB（三角形中位线定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代换），∴，故②正确；
连接OP．∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，∴PF是⊙O的切线；故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为①②③④．
20、如图，已知是等腰直角三角形，，点是上一点，且，以为圆心，的长为半径画弧，与的三边分别交于点、、，则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
【解答】解：如图，连接．作于．
由题意：，，
，，，
，，，
，，，
．
故答案为．
三、解答题
21、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）见解析；（2）四边形的周长为.
【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x，构建方程求出x即可解决问题．
解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x．
∵是直径，∴，
∴，
∵，∴ ，∴，BE=DE，
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2, ∴，解得：，
∵BO=OA，BE=DE, ∴为的中位线，
∴，
∴四边形的周长为：.
22、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
【答案】（1）见解析（2）5 ，
【分析】（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点,∴∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；
（2）解：∵,∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，, ∴⊙O的半径为5，
23、已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：① ，② ，③ ，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．
【答案】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；（2）
【分析】（1）结论可以有：①DF=FE，BD=BE，②△BDF≌△BEF，③∠A=∠E，∠BDF=∠BEF
④BC⊥AB，AD⊥BD，DE∥BC等；由BC是 O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；等．
（2）当∠A=30°时，BD=AB=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中，tan60°可求得r=2 ．
【解析】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；
理由：∵AB是直径，DE⊥AB，∴DF=EF，弧BD=弧BE，∴BD=BE，
∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），根据圆周角定理可知：∠A=∠E．
故答案为DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠A=30°，∴BD=AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，∴∠CBA=90°，∴∠C=60°，∠DBC=30°；
在Rt△BCD中，CD=2，∴BC=4, 由勾股定理得：BD=2，∴r=2 ．
24、如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______ °
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
【答案】（1）（-2，0）；（2），90；（3）
【分析】（1）根据圆是轴对称图形的性质作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，分别求AD、CD、AC的长，利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，根据题意列得，求解即可．
【解析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（-2，0），
故答案为：（-2，0）；
（2）圆D的半径长：AD=CD=，
∵AC=，
∴，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
故答案为：，90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得．
25、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD＝．
【分析】
（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°．∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，∴EF＝BF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE＝60°，∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，∴∠ODC＝30°，∴OD＝2OC＝4，∴CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．
∴AD＝＝．
26、如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
（1）证明：连接，过作于，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是⊙的切线；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵，∴，，∴是等边三角形，
∴，，∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
27、如图，内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，，．求：
（1）的度数；
（2）线段AD的长；（结果保留根号）
（3）图中阴影部分的面积．
【答案】（1）60°；（2）4；（3）8-
【分析】（1）∠AOC与∠B是同弧所对的圆心角与圆周角，因而∠AOC＝2∠B，进而即可求解；
（2）在Rt△OAD中，根据含30°角的直角三角形的三边长关系，即可求解；
（3）阴影部分的面积是△OAD与扇形OAC的面积差，可据此来求阴影部分的面积．
【解析】（1）∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°；
（2）∵∠AOC＝60°，AO＝CO，
∴△AOC是等边三角形；
∵，
∴AO＝4；
∵AD与⊙O相切，
∴AD＝4；
（3）∵S扇形OAC＝ ＝，S△AOD＝ ×4×4=8，
∴S阴影＝8-．
28、已知如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．
（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）BE与半圆A相切，理由见解析；（3）△BCD面积的最大值8．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及旋转的性质证得BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，由此即可判定△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，证明△EBD是等边三角形，即可得BE＝ED＝2，再证明BE2 +AE2 ＝AB2 ，根据勾股定理的逆定理即可得∠BEA=90°，由此即证得BE与半圆A相切；
（3）当CDBC时，△BCD的面积最大，由此即可求得△BCD面积的最大值．
【详解】
证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA=BC ，
由旋转可得∠EBD＝60°，BE=BD，∴∠EBA+∠ABD＝∠CBD+∠ABD， ∴∠EBA＝∠DBC ，
在△EBA 和△DBC中，∵BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，
∴△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，理由：
在△EBD 中，∵∠EBD＝60°，BE=BD，∴△EBD是等边三角形，
∴BE＝ED＝2, ∴BE2 =60，
∵AE2 =22 = 4，AB2 = 82=64,∴BE2 +AE2 ＝AB2 ，
∴∠BEA=90° ,∴BE与半圆A相切；
（3）由（1）知，△EBA≌△DBC，∴CD=AE=2，
又∵BC=AB=8，
∴当CDBC时，△BCD的面积最大，此时．
一、选择题
1、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3、若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
(4) (5) (6)
4、在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD
5、如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（ ）
A．B．C．D．
6、如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A．B．2C．2D．3
7、如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
(8) (9) (10)
8、如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，
则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
9、如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，，，
则下列说法中正确的是
A．B．C．D．
10、如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4 B．7﹣4C．6﹣D．
二、填空题
11、如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，
则弦AB的取值范围是_____．
(14) (15) (16)
12、用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm．
13、已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为________
14、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
15、如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
16、如图，、切于点、，，，点在上，且切于点，交、于、两点，则的最小值是 ．
17、如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且
∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切．
(18) (19) (20)
18、如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，
则∠OBD的度数是_____．
19、如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是：________．①是中点；②；③是的切线；④．
20、如图，已知是等腰直角三角形，，点是上一点，且，以为圆心，的长为半径画弧，与的三边分别交于点、、，则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
三、解答题
21、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
22、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
23、已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：① ，② ，③ ，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．
24、如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______ °
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
25、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
26、如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
27、如图，内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，，．求：
（1）的度数；
（2）线段AD的长；（结果保留根号）
（3）图中阴影部分的面积．
28、已知如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．
（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD面积的最大值．
第2章《对称图形--圆》单元复习卷(1)-苏科版九年级数学上册 培优训练（解析）
一、选择题
1、已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据垂径定理计算．
【详解】解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，
∵OE=3cm＞2cm，∴在OD上截取OH=1cm，
过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，
则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即GF到AB的距离为2cm，
∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，
故选C．
2、若用半径为6，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据弧长公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【解析】扇形的弧长4π，
∴圆锥的底面圆的周长＝4π，
∴圆锥的底面圆半径2，
故选：B．
3、若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A．25°B．35°C．45°D．65°
【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
【详解】
连结AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，∴∠A=90°−55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°.
故答案为35°.
4、在⊙O中按如下步骤作图：
（1）作⊙O的直径AD；
（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；
（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．
根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（ ）
A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD
【分析】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．
【详解】
解：根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；
∵BD＝CD，∴＝,∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；
根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；
∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误．
故选：D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．
5、如图，在扇形中，，，若弦，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°，然后根据弧长公式计算的长．
【解析】连接OC，如图，
∵BC//OA，∴∠AOB+∠OBC=180°，∠C=∠AOC，
∵∠AOB=130°，∴∠OBC=50°，
∵OB=OC，∴∠C=∠OBC=50°，∴∠AOC=∠C=50°，
∴的长=．
故选：C．
6、如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（ ）
A．B．2C．2D．3
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴，∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴DB=OD=2，则半径OB等于：．
故选C．
7、如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB=CD，下列结论：①∠AOC=∠BOD；②∠BOD=2∠BAD；③AC=BD；④∠CAB=∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO=180°．其中正确的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．
【详解】解：∵AB=CD，∴，∴，∴∠AOC=∠BOD，故①正确；
∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着，∴∠BOD=2∠BAD，故②正确；
∵，∴AC=BD，故③正确；
∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着，∴∠CAB=∠BDC，故④正确；
延长DO交⊙O于M，连接AM，
∵D、C、A、M四点共圆，∴∠CDO+∠CAM=180°（圆内接四边形对角互补），
∵∠CAM＞∠CAO，∴∠CAO+∠CDO＜180°，故⑤错误；
即正确的个数是4个，故选C．
8、如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，
则的周长是（ ）
A．10B．18C．20D．22
【分析】根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
【详解】
解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．
故选C．
9、如图，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，，，
则下列说法中正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：连接，如图，
为直径，
，
，
，，
，所以选项正确；
，所以选项错误；
，所以选项错误；
，，
，即，所以选项错误．
故选：．
10、如图，⊙O的直径AB=2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A．﹣4 B．7﹣4C．6﹣D．
【详解】∵O的直径AB=2，∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，∴，∴AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°− (∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，∵∠EAB=∠EBA，∴EA=EB，
∵OA=OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC=(AB+AC+BC)⋅EO=AC⋅BC，∴EO=−1，
∴AE2=AO2+EO2=12+(−1)2=4−2，
∴扇形EAB的面积==，△ABE的面积=AB⋅EO=−1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积=，
∴阴影部分的面积=O的面积−弓形AB的面积=−()=−4，
故选：A.
二、填空题
11、如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，
则弦AB的取值范围是_____．
【答案】8＜AB≤10．
【分析】首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．
【解析】如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD．在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4．∴AB＝2AD＝8．
当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10．
∴AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤10．
12、用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为 cm．
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解关于r的方程即可．
【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r＝5（cm）．
故答案为：5．
13、已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为________
解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，
∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=12﹣5=7cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB=24cm，CD=10cm，∴AE=12cm，CF=5cm，
∵OA=OC=13cm，∴EO=5cm，OF=12cm，∴EF=OF+OE=17cm．
∴AB与CD之间的距离为7cm或17cm．故选D．
14、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为 ．
【答案】．
【解析】过点0作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，∴由勾股定理，得BC=4；
又∵D是BC边的中点，∴S△ABD=S△ACD，又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即5×OE+2×0E=2×3，解得OE=，∴⊙O的半径是．故答案为．
15、如图，是的外接圆，，，则的直径为 ．
【解答】解：如图，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
又，
，
的直径为
故答案为：．
16、如图，、切于点、，，，点在上，且切于点，交、于、两点，则的最小值是 ．
【解答】解：当时，切线的长最小．
由切线长定理，得，，
，
，,是等边三角形，
因为，，是等边三角形，
故答案为：
17、如图，点A、B在直线l上，AB=10cm，⊙B的半径为1cm，点C在直线l上，过点C作直线CD且
∠DCB=30°，直线CD从A点出发以每秒4cm的速度自左向右平行运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t≥0），当直线CD出发 ________秒直线CD恰好与⊙B相切．
【答案】43或6
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当直线与圆相切时，点C在圆的左侧，
∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切，
∴2DB=BC，即2（1+t）=10﹣4t，解得：t= ，
当直线与圆相切时，点C在圆的右侧，
∵∠DCB=30°，直线CD与⊙B相切，
∴2DB=BC，即2（1+t）=4t﹣10，解得：t=6，
故答案为：或6．
18、如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，
则∠OBD的度数是_____．
【分析】根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.
【详解】连接CD.
由题意得∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径.
∵D（0，1），C（，0），∴OD=1，OC=，
∴CD==2，∴∠OCD=30°，
∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等）
故答案为30°.
19、如图等边，以为直径的交于点，交于，于，下列结论正确的是：________．①是中点；②；③是的切线；④．
【分析】连接AP．根据圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”的性质推知点P是线段BC的中点，同理证得点E是线段AC的中点；然后由三角形中位线定理，圆心角、弧、弦间的关系来证明；连接OP，由切线的判定证得OP⊥PF即可．
【详解】连接AP．
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AP⊥BC；
又∵AB=AC，∴点P是线段BC的中点，故①正确；
同理，点E是线段AC的中点，
∴AE=EC，故④正确；
∵连接PE．点P、E分别是线段BC、AC的中点，BC=AC=AB（等边三角形的三条边相等），
∴PE=AB（三角形中位线定理），BP=BC=AB，
∴BP=PE（等量代换），∴，故②正确；
连接OP．∵点P是线段BC的中点，点O是线段AB的中点，
∴OP是△ABC的中位线，∴OP∥AC；
又∵PF⊥AC，∴PF⊥OP，
∵点P在⊙O上，∴PF是⊙O的切线；故③正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为①②③④．
20、如图，已知是等腰直角三角形，，点是上一点，且，以为圆心，的长为半径画弧，与的三边分别交于点、、，则图中阴影部分的面积为 （结果保留．
【解答】解：如图，连接．作于．
由题意：，，
，，，
，，，
，，，
．
故答案为．
三、解答题
21、如图，⊙O的直径AB=10，弦AC=8，连接BC．
（1）尺规作图：作弦CD，使CD=BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．
【答案】（1）见解析；（2）四边形的周长为.
【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x，构建方程求出x即可解决问题．
解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）连接BD，OC交于点E，设OE=x．
∵是直径，∴，
∴，
∵，∴ ，∴，BE=DE，
∵BE2=BC2-EC2=OB2-OE2, ∴，解得：，
∵BO=OA，BE=DE, ∴为的中位线，
∴，
∴四边形的周长为：.
22、如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF﹦BF；
（2）若CD﹦6， AC﹦8，则⊙O的半径和CE的长．
【答案】（1）见解析（2）5 ，
【分析】（1）要证明CF=BF，可以证明∠ECB=∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，又知CE⊥AB，则∠CEB=90°，根据同角的余角相等证出∠ECB=∠A，再根据同圆中，等弧所对的圆周角相等证出∠DBC=∠A，从而证出∠ECB=∠DBC；
（2）在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2，又知，BC=CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再根据三角形面积求得CE的长．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．
∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠ECB=90°-∠ABC，∴∠ECB=∠A．
又∵C是的中点,∴∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF；
（2）解：∵,∴BC=CD=6，
∵∠ACB=90°，, ∴⊙O的半径为5，
23、已知，如图，BC是以线段AB为直径的⊙O的切线，AC交⊙O于点D，过点D作弦DE⊥AB，垂足为点F，连接BD、BE．
（1）仔细观察图形并写出三个不同类型的正确结论：① ，② ，③ ，（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；
（2）若∠A=30°，CD=2，求⊙O的半径r．
【答案】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；（2）
【分析】（1）结论可以有：①DF=FE，BD=BE，②△BDF≌△BEF，③∠A=∠E，∠BDF=∠BEF
④BC⊥AB，AD⊥BD，DE∥BC等；由BC是 O的切线，DF⊥AB，得∠AFD=∠CBA=90°；根据DE∥BC和垂径定理知，弧BD=弧BE，DF=FE，BD=BE，由等边对等角得∠E=∠EDB；再由圆周角定理得∠A=∠E，可证△BDF≌△BEF，△BDF∽△BAD；等．
（2）当∠A=30°时，BD=AB=r，∠C=60°，再根据Rt△BCD中，tan60°可求得r=2 ．
【解析】（1）结论：DF=FE，BD=BE，△BDF≌△BEF，∠A=∠E等；
理由：∵AB是直径，DE⊥AB，∴DF=EF，弧BD=弧BE，∴BD=BE，
∴Rt△BDF≌Rt△BEF（HL），根据圆周角定理可知：∠A=∠E．
故答案为DF=EF，BD=BE，Rt△BDF≌Rt△BEF；
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠A=30°，∴BD=AB=r；
又∵BC是⊙O的切线，∴∠CBA=90°，∴∠C=60°，∠DBC=30°；
在Rt△BCD中，CD=2，∴BC=4, 由勾股定理得：BD=2，∴r=2 ．
24、如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，4）、B（-4，4）、C（-6，2），请在网格图中进行如下操作：
（1）若该圆弧所在圆的圆心为D，则D点坐标为 _________；
（2）连接AD，CD，则⊙D的半径长为_________（结果保留根号），∠ADC的度数为_______ °
（3）若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面圆的半径长．（结果保留根号）
【答案】（1）（-2，0）；（2），90；（3）
【分析】（1）根据圆是轴对称图形的性质作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，则点D即为该圆弧所在圆的圆心；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，分别求AD、CD、AC的长，利用勾股定理的逆定理证得△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，根据题意列得，求解即可．
【解析】（1）分别作AB、BC的垂直平分线，两直线交于点D，
则点D即为该圆弧所在圆的圆心，
由图形可知，点D的坐标为（-2，0），
故答案为：（-2，0）；
（2）圆D的半径长：AD=CD=，
∵AC=，
∴，，
∴，
∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°；
故答案为：，90；
（3）设圆锥的底面圆的半径长为，
则，
解得．
25、如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF和AD．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠EAC＝60°，求AD的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD＝．
【分析】
（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）在Rt△OCD中和Rt△ACD中，分别利用勾股定理分别求出CD,AD的长即可 ．
（1）证明：连接CE，如图所示：
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°．∴∠BEC＝90°，
∵点F为BC的中点，∴EF＝BF＝CF，∴∠FEC＝∠FCE，
∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠FCE+∠OCE＝∠ACB＝90°，
∴∠FEC+∠OEC＝∠OEF＝90°，∴EF是⊙O的切线．
（2）解：∵OA＝OE，∠EAC＝60°，∴△AOE是等边三角形．∴∠AOE＝60°，∴∠COD＝∠AOE＝60°，
∵⊙O的半径为2，∴OA＝OC＝2
在Rt△OCD中，∵∠OCD＝90°，∠COD＝60°，∴∠ODC＝30°，∴OD＝2OC＝4，∴CD＝．
在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，AC＝4，CD＝．
∴AD＝＝．
26、如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
（1）证明：连接，过作于，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是⊙的切线；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
∵，∴，，∴是等边三角形，
∴，，∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
27、如图，内接于⊙O，于H，过A点的切线与OC的延长线交于点D，，．求：
（1）的度数；
（2）线段AD的长；（结果保留根号）
（3）图中阴影部分的面积．
【答案】（1）60°；（2）4；（3）8-
【分析】（1）∠AOC与∠B是同弧所对的圆心角与圆周角，因而∠AOC＝2∠B，进而即可求解；
（2）在Rt△OAD中，根据含30°角的直角三角形的三边长关系，即可求解；
（3）阴影部分的面积是△OAD与扇形OAC的面积差，可据此来求阴影部分的面积．
【解析】（1）∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°；
（2）∵∠AOC＝60°，AO＝CO，
∴△AOC是等边三角形；
∵，
∴AO＝4；
∵AD与⊙O相切，
∴AD＝4；
（3）∵S扇形OAC＝ ＝，S△AOD＝ ×4×4=8，
∴S阴影＝8-．
28、已知如图，△ABC是边长为8的等边三角形，以A为圆心，2为半径作半圆A，交BA所在直线于点M，N．点E是半圆A上任意一点，连接BE，把BE绕点B顺时针旋转60°到BD的位置，连接ED．
（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2时，判断BE与半圆A的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD面积的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）BE与半圆A相切，理由见解析；（3）△BCD面积的最大值8．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质及旋转的性质证得BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，由此即可判定△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，证明△EBD是等边三角形，即可得BE＝ED＝2，再证明BE2 +AE2 ＝AB2 ，根据勾股定理的逆定理即可得∠BEA=90°，由此即证得BE与半圆A相切；
（3）当CDBC时，△BCD的面积最大，由此即可求得△BCD面积的最大值．
【详解】
证明：（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝60°，BA=BC ，
由旋转可得∠EBD＝60°，BE=BD，∴∠EBA+∠ABD＝∠CBD+∠ABD， ∴∠EBA＝∠DBC ，
在△EBA 和△DBC中，∵BE=BD，∠EBA＝∠DBC，BA=BC，
∴△EBA≌△DBC；
（2）BE 与半圆A相切 ，理由：
在△EBD 中，∵∠EBD＝60°，BE=BD，∴△EBD是等边三角形，
∴BE＝ED＝2, ∴BE2 =60，
∵AE2 =22 = 4，AB2 = 82=64,∴BE2 +AE2 ＝AB2 ，
∴∠BEA=90° ,∴BE与半圆A相切；
（3）由（1）知，△EBA≌△DBC，∴CD=AE=2，
又∵BC=AB=8，
∴当CDBC时，△BCD的面积最大，此时．
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