高中第八章 立体几何初步本章综合与测试课时作业

微专题强化练(一)　球的切、接问题

(建议用时：40分钟)

1．直三棱柱ABC ­A′B′C′的所有棱长均为2，则此三棱柱的外接球的表面积为(　　)

A．12π　　　　B．16π　　　　C．28π　　　　D．36π

C　[由直三棱柱的底面边长为2，得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r＝2，

又由直三棱柱的侧棱长为2，

则球心到圆O的球心距d＝，

根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，

易得球半径R满足：R2＝r2＋d2＝7，

∴外接球的表面积S＝4πR2＝28π．]

2．《九章算术》中，将底面积为长方形且有一条侧棱与底面积垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P­ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱P­ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)

A．8π    B．12π    C．20π    D．24π

C　[将三棱锥P­ABC放入长方体中，如图，三棱锥P­ABC的外接球就是长方体的外接球．

因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝＝2．

设外接球的半径为R，依题意可得2R2＝22＋22＋(2)2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π．

故选：C．]

3．已知正四棱锥P­ABCD的所有顶点都在球O的球面上，若AB＝2，且四棱锥P­ABCD的体积为，则球O的表面积为(　　)

A．25π    B．    C．    D．5π

A　[设正四棱锥底面的中心为O1，连接PO1，OA，O1A，则有×PO1×(2)2＝，可得PO1＝4．

设外接球的半径为R，在Rt△OO1A中，OO1＝4－R，O1A＝2，则有(4－R)2＋22＝R2，

解得R＝，

所以球O的表面积为4πR2＝4π×＝25π．

故选A．]

4．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝12，BC＝10，AA′＝6，过A′D′作长方体的截面A′D′EF使它成正方形．

求三棱柱AA′F­DD′E的外接球的表面积．

[解]　(1)因为截面A′D′EF为正方形，

所以A′D′＝A′F＝BC＝10，

在Rt△A′AF中，AA′2＋AF2＝A′F2，

即62＋AF2＝102，解得AF＝8，

在直三棱柱AA′F­DD′E中，底面积Rt△A′AF的外接圆半径为A′F＝×10＝5，

直三棱柱AA′F­DD′E的外接球球心的到平面A′AF的距离为×10＝5，

设三棱柱的外接球半径为R，

则R＝＝5，

所以三棱柱AA′F­DD′E的外接球的表面积S＝4πR2＝200π．

5．正三棱锥的高为1，底面边长为2，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．

[解]　如图，球O是正三棱锥P­ABC的内切球，O到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R．

PH是正三棱锥的高，即PH＝1．

设E是BC的中点，连接PE，AE，H在AE上，△ABC的边长为2，

∴HE＝××2＝，

∴PE＝，

可以得到S△PAB＝S△PAC＝S△PBC

＝BC·PE＝3，

S△ABC＝×(2)2＝6，

∵VP ­ABC＝VO ­PAB＋VO ­PAC＋VO ­PBC＋VO ­ABC，

∴×6×1＝×3×R×3＋×6×R，

解得R＝＝－2，

∴S球＝4πR2＝4π(－2)2＝8(5－2)π．

∴V球＝πR3＝π(－2)3．

6．已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，边长为a，PB＝a，PD＝a，PA＝PC＝a，且PD是四棱锥的高．

(1)在四棱锥内放入一球，求球的最大半径；

(2)求四棱锥外接球的半径．

[解]　(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．

设球的半径为R，球心为S，如图，连接SA，SB，SC，SD，SP．

因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S ­PAB，S ­PBC，S ­PCD，S ­PAD与四棱锥S ­ABCD的高都为R，且它们恰好组成四棱锥P ­ABCD．

因为PD为四棱锥P ­ABCD的高，PD＝AD＝BC＝a，四边形ABCD为正方形，且PA＝PC＝a，PB＝a，

所以PB2＝PA2＋AB2＝PC2＋BC2，

所以△PAB，△PCB为直角三角形且全等，

所以S△PAB＝S△PBC＝a×a＝a2，

S△PDA＝S△PDC＝a2，S正方形ABCD＝a2，所以VP ­ABCD＝a2·a＝a3，VS ­PAB＝VS ­PBC＝×a2×R＝a2R，VS ­PDA＝VS ­PDC＝×a2×R＝a2R，VS ­ABCD＝a2·R＝a2R．

因为VP ­ABCD＝VS ­PAB＋VS ­PBC＋VS ­PDA＋VS ­PDC＋VS ­ABCD，所以a3＝a2R＋a2R＋a2R，即(＋2)R＝a，所以R＝a，即球的最大半径为a．

(2)由(1)知△PAB，△PCB为直角三角形，若M为斜边PB的中点，则MA＝MB＝MP＝MC．

连接BD，因为PD＝a，PB＝a，BD＝a，

所以PB2＝PD2＋BD2，即△PDB为直角三角形，且PB为斜边，所以MD＝MB＝MP，

所以M为四棱锥P­ABCD外接球的球心，

所以四棱锥外接球的半径R′＝PB＝a．