微专题11　球的切、接问题

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【真题体验】
1.(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A.eq \f(\r(2),12) B.eq \f(\r(3),12)
C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(\r(3),4)
2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq \r(3)和4eq \r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.100π B.128π
C.144π D.192π
3.(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),2)
【热点突破】
热点一 外接球问题
考向1 墙角模型
墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长.长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R.则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝eq \r(a2＋b2＋c2).常见的有以下三种类型：
例1 已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A.8eq \r(6)π B.4eq \r(6)π
C.2eq \r(6)π D.eq \r(6)π
考向2 对棱相等模型
对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等的模型，用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽、高分别为a，b，c)，即R2＝eq \f(1,8)(x2＋y2＋z2)，如图.
例2 (2023·凉山二模)在四面体A－BCD中，AB＝CD＝eq \r(7)，AD＝BC＝eq \r(29)，AC＝BD＝2eq \r(7)，则四面体A－BCD外接球表面积是( )
A.64π B.32π
C.256π D.eq \f(256,3)π
考向3 汉堡模型
汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下，
由对称性可知，球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2的连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝eq \f(h,2)，所以R2＝r2＋eq \f(h2,4).
例3 (2023·天津模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱柱的体积为eq \r(3)，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积等于( )
A.8π B.9π
C.10π D.11π
考向4 垂面模型
垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球.如图所示，由对称性可知球心O的位置是△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径CO1＝r，OO1＝eq \f(h,2)，则R＝eq \r(r2＋\f(h2,4)).

例4 (2023·武汉模拟)已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝eq \r(3)，E是CD边的中点.现以AE为折痕将△ADE折起，当三棱锥D－ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为________.
考向5 切瓜模型
切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥模型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱锥A－BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，设外接球的半径为R，球心为O，△BCD的外心为O1，O1到BC的距离为d，O与O1的距离为m，△BCD和△ABC外接圆的半径分别为r1，r2，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R2＝req \\al(2,1)＋m2，,R2＝d2＋req \\al(2,2)，))解得R，可得R＝eq \r(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)－\f(l2,4))(l为两个面的交线段长).
例5 (2023·临沂质检)在边长为6的菱形ABCD中，A＝eq \f(π,3)，现将△ABD沿BD折起，当三棱锥A－BCD的体积最大时，三棱锥A－BCD的外接球的表面积为________.
规律方法 求解空间几何体的外接球问题的方法
一是构造模型来解决，二是确定球心后求出球的半径，在此过程中要注意选准最佳角度作出截面(使此截面尽可能多的包含球与几何体的各种元素)，来达到空间问题平面化的目的.
训练1 (1)(2023·湖州模拟)已知四棱锥S－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且满足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝eq \f(π,3)，SC＝eq \r(2)，则球O的表面积是( )
A.5π B.4π
C.3π D.2π
(2)(2023·铜仁二模)半径为4的球的球面上有四点A，B，C，D，已知△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D－ABC体积的最大值为________.
热点二 内切球问题
内切球问题的解法(以三棱锥为例)
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；
第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋
VO－PBC⇒VP－ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·r＋eq \f(1,3)S△PAB·r＋eq \f(1,3)S△PAC·r＋eq \f(1,3)SPBC·r＝eq \f(1,3)(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝eq \f(3VP－ABC,S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC).
例6 (1)(2023·长沙模拟)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为( )
A.eq \f(9π,16) B.eq \f(9π,4)
C.eq \f(16π,9) D.eq \f(4π,3)
(2)已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为( )
A.eq \r(3)－1 B.eq \r(3)＋1
C.eq \f(4（\r(3)－1）,3) D.eq \f(4（\r(3)＋1）,3)
规律方法 空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.
训练2 (1)在平面中，若正△ABC内切圆的面积为S1，内切圆与外接圆之间的圆环面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(1,3).在空间中，若正四面体PABC内切球的体积V1，内切球之外与外接球之内的几何体的体积为V2，则eq \f(V1,V2)＝( )
A.eq \f(1,63) B.eq \f(1,26)
C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,7)
(2)(2023·湖北名校联考)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )
A.eq \f(49π,36) B.eq \f(576π,49)
C.eq \f(576π,25) D.eq \f(344π,25)