高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型习题

课后素养落实(十七)　古典概型

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列试验是古典概型的是(　　)

A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}

B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0

C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面

D．某人射击中靶或不中靶

C　[A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C．]

2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)

A．　　　　　　　 B．

C． D．1

C　[从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.]

3．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是(　　)

A．3　  B．4 

C．5　　　　  D．6

D　[事件A包含的样本点有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．故选D．]

4．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)

A．0.6 B．0.5

C．0.4 D．0.3

D　[将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D．]

5．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是(　　)

A． B．

C． D．

A　[从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又样本空间Ω＝{(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)}，共4个样本点，其中能构成一个三角形的有(3,5,7)，共1个样本点，则所求概率为.]

二、填空题

6．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．

　[该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.]

7．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,2)，E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结果用分数表示)．

　[从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为n＝10；

而A，C，E三点共线，B，C，D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10－2＝8.

设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A，则A所包含的样本点个数为m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求概率为P(A)＝＝＝.]

8．从集合{a，b，c，d}的子集中任取一个，这个集合是集合{a，b，c}的子集的概率是________．

　[集合{a，b，c，d}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{b，c，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}，共16个，{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个，故所求概率为.]

三、解答题

9．同时抛掷1角，5角和1元的三枚硬币，计算：

(1)恰有两枚出现正面的概率；

(2)至少有两枚出现正面的概率．

[解]　依题意样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．

(1)用A表示“恰有两枚出现正面”这一事件，则事件A＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}共3个样本点，因此P(A)＝.

(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件，则事件B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}共4个样本点．∴P(B)＝＝.

10．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5，则中二等奖，等于4或3，则中三等奖．

(1)求中三等奖的概率；

(2)求中奖的概率．

[解]　设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，

从四个小球中有放回地取两个有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共16种不同的结果．

(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，共7种结果，

则中三等奖的概率为P(A)＝.

(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2,3)，(3,2)；

两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3,3)．

则中奖概率为P(B)＝＝.

11．(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(　　)

A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是

B．每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16

C．每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是

D．每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16

ACD　[记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有1件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的2件中恰有1件次产品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．故选ACD．]

12．从个位数字与十位数字之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数字为0的概率是(　　)

A．　 B．　　　　

C．　　　　 D．

D　[个位数字与十位数字之和为奇数，则个位数字与十位数字中必有一个奇数一个偶数，所以可以分两类：

(1)当个位数字为奇数时，有5×4＝20(个)，符合条件的两位数．

(2)当个位数字为偶数时，有5×5＝25(个)，符合条件的两位数．

因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数字为0的两位数有5个，所以所求概率为P＝＝.]

13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的坐标，则点P落在圆x2＋y2＝16上或其内部的概率是________．

　[连续掷两次骰子，得到点数m，n记作P(m，n)，共有36种情况，其中点P(m，n)落在圆x2＋y2＝16上或其内部的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共8种情况，所以P＝＝.]

14．用红、黄、蓝三种不同颜色给如图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形颜色都相同的概率是________，3个矩形颜色都不同的概率是________．

　　[所有可能的样本点共有27个，如图所示：

记“3个矩形颜色都相同”为事件A，由图知，事件A中的样本点有3个，故P(A)＝＝.

记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B中的样本点有6个，故P(B)＝＝.]

15．甲、乙等四人参加4×100 m接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．

[解]　设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.

设x为甲跑的棒数，y为乙跑的棒数，则(x，y)共有12种结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．

而甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种可能(1,4)，

故P(AB)＝.所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.