高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型学案及答案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.3 古典概型学案及答案，共10页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程，新知初探，自我检测，达标反馈，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
1．了解基本事件的特点。
2．理解古典概型的定义。
3．会应用古典概型的概率公式解决实际问题。
【学习重难点】
1．基本事件。
2．古典概型的定义。
3．古典概型的概率公式。
【学习过程】
问题导学
预习教材P102－P107的内容，思考以下问题：
1．什么叫基本事件？它有什么特点？
2．什么叫古典概率模型？它有什么特点？
【新知初探】
1．古典概型
一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是有限的（简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性大小都相等（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型。
2．古典概型概率计算公式
假设样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则P（C）＝eq \f(m,n)。
■名师点拨
古典概型的判断
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性。并不是所有的试验都是古典概型。
下列三类试验都不是古典概型：
（1）基本事件个数有限，但非等可能。
（2）基本事件个数无限，但等可能。
（3）基本事件个数无限，也不等可能。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个，则该试验符合古典概型。（ ）
（2）“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件。（ ）
（3）从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型。（ ）
（4）一个古典概型的样本点数为n，则每一个样本点出现的概率都是eq \f(1,n)。（ ）
2．（2018·高考全国卷Ⅱ）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社会服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）
A．0.6
B．0.5
C．0.4
D．0.3
3．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为（ ）
A．eq \f(1,5)
B．eq \f(3,10)
C．eq \f(3,5)
D．eq \f(1,2)
4．从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个。
探究一、古典概型的判断
1．判断下列试验是不是古典概型：
（1）口袋中有2个红球、2个白球，每次从中任取一球，观察颜色后放回，直到取出红球；
（2）从甲、乙、丙、丁、戊5名同学中任意抽取1名担任学生代表；
（3）射击运动员向一靶子射击5次，脱靶的次数。
[规律方法]eq \a\vs4\al()
古典概型的判断方法
一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型。
2．下列试验中是古典概型的是（ ）
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
探究二、古典概型的计算
2．（1）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫。从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ）
A．eq \f(4,5)
B．eq \f(3,5)
C．eq \f(2,5)
D．eq \f(1,5)
（2）（2018·高考江苏卷）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为________。
[规律方法]eq \a\vs4\al()
求古典概型概率的步骤
（1）判断是否为古典概型。
（2）求样本空间包含的样本点个数n。
（3）算出事件A中包含的样本点个数m。
（4）算出事件A的概率，即P（A）＝eq \f(m,n)。
3．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数能构成一组勾股数的概率为（ ）
A．eq \f(3,10)
B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,10)
D．eq \f(1,20)
4．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）
A．eq \f(1,5)
B．eq \f(2,5)
C．eq \f(3,5)
D．eq \f(4,5)
探究三、古典概型的实际应用
5．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动。
（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
（2）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作。
（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ⅱ）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率。
[规律方法]eq \a\vs4\al()
（1）在建立概率模型时，把什么看作一个样本点（即一个试验结果）是人为规定的。我们只要求每次试验有且只有一个基本事件出现。对于同一个随机试验，可以根据需要（建立概率模型的主观原因）建立满足我们要求的概率模型。
（2）注意验证是否满足古典概型的两个特性，即①有限性；②等可能性。
（3）求解时将其转化为互斥事件或对立事件的概率问题。
6．一只口袋里装有形状大小都相同的6个小球，其中2个白球，2个红球，2个黄球，从中随机摸出2个球，试求：
（1）2个球都是红球的概率；
（2）2个球同色的概率；
（3）“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的几倍？
【达标反馈】
1．下列关于古典概型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有样本点有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P（A）＝eq \f(k,n)。
A．②④
B．①③④
C．①④
D．③④
2．下列是古典概型的是（ ）
①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；
②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率。
A．①②③④
B．①②④
C．②③④
D．①③④
3．从1，2，3，4这四个数字中，任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为（ ）
A．eq \f(1,2)
B．eq \f(1,3)
C．eq \f(1,4)
D．eq \f(1,5)
4．据报道：2019年我国高校毕业生达834万人，创历史新高，就业压力进一步加大。若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）× （2）× （3）× （4）√
2．解析：选D．将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，C．设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的样本空间为{（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共10个样本点，其中事件A包含的样本点有（a，b），（a，c），（b，c），共3个，故P（A）＝eq \f(3,10)＝0.3．故选D．
3．解析：选B．样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为eq \f(3,10)，故选B．
4．解析：（甲，乙），（甲，丙），共2个。
答案：2
探究一、古典概型的判断
1．【解】（1）每次摸出1个球后，放回袋中，再摸1个球。显然，这是有放回抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型。
（2）从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊。因此该试验是古典概型。
（3）射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次。这都是样本点，但不是等可能事件。因此该试验不是古典概型。
2．解析：选B．A项这个试验的结果只有两个，即“发芽”与“不发芽”，具备了有限性，而“发芽”与“不发芽”这两个结果出现的可能性一般是不相等的，即不具备等可能性，因此该试验不是古典概型；B项具备“有限性”和“等可能性”；C项，点可以落在圆内任一位置，不具备有限性；D项，因为10环，9环，…，面积各不相同，故命中的概率不同，不具备“等可能性”。
探究二、古典概型的计算
2．【解析】 （1）从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，样本空间为：{（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），（黄，蓝），（黄，绿），（黄，紫），（蓝，绿），（蓝，紫），（绿，紫）}。而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（红，紫），共4个样本点，故所求概率P＝eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)。
（2）记2名男生分别为A，B，3名女生分别为a，b，c，则从中任选2名学生样本空间为{（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）}，共10个样本点，其中恰好选中2名女生有（a，b），（a，c），（b，c），共3个样本点，故所求概率为eq \f(3,10)。
【答案】 （1）C （2）eq \f(3,10)
3．解析：选C．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，样本空间为{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）}，其中勾股数只有（3，4，5），所以概率为eq \f(1,10)。故选C．
4．解析：选C．如图可知从5个点中选取2个点的样本空间为{（O，A），（O，B），（O，C），（O，D），（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）}，共10个样本点。
选取的2个点的距离不小于该正方形边长的情况有（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D），共6个样本点。故所求概率为eq \f(6,10)＝eq \f(3,5)。
5．【解】（1）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人。
（2）（ⅰ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的样本空间为
{（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G）}，共21种抽取结果。
（ⅱ）由（1），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为（A，B），（A，C），（B，C），（D，E），（F，G），共5种结果。所以，事件M发生的概率P（M）＝eq \f(5,21)。
6．解：记两个白球分别为a1，a2；两个红球分别为b1，b2；两个黄球分别为c1，c2，
从中随机取2个球的样本空间为{（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b2，c1），（b2，c2），（c1，c2）}，共15个样本点。
（1）2个球都是红球为（b1，b2）共1个样本点，
故2个球都是红球的概率P＝eq \f(1,15)。
（2）2个球同色的有：（a1，a2），（b1，b2），（c1，c2），共3个样本点，
故2个球同色的概率P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)。
（3）恰有一个是白球的有：（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a2，b1），（a2，b2），（a2，c1），（a2，c2），共8个样本点，其概率P＝eq \f(8,15)；
2个球都是白球的有（a1，a2），共1个样本点，其概率P＝eq \f(1,15)，
所以“恰有一个是白球”是“2个球都是白球”的概率的8倍。
【达标反馈】
1．解析：选B．根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B．
2．解析：选B．①②④为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而③不适合等可能性，故不为古典概型。
3．解析：选A．从1，2，3，4中任取两个不同数字构成一个两位数共有12种不同取法，其中大于30的为31，32，34，41，42，43共6种。故P＝eq \f(6,12)＝eq \f(1,2)。
4．解析：记事件A：甲或乙被录用。从五人中录用三人，样本点有（甲，乙，丙）、（甲，乙，丁）、（甲，乙，戊）、（甲，丙，丁）、（甲，丙，戊）、（甲，丁，戊）、（乙，丙，丁）、（乙，丙，戊）、（乙，丁，戊）、（丙，丁，戊），共10种可能，而A的对立事件A仅有（丙，丁，戊）一种可能，所以A的对立事件A的概率为P（A）＝eq \f(1,10)，所以P（A）＝1－P（A）＝eq \f(9,10)。
答案：eq \f(9,10)