高中数学5.3.3 古典概型学案

古典概型

【学习目标】

1．通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；

2．会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

【学习重难点】

重点：古典概型概念公式的实际应用.

难点：古典概型的判断及其包含的基本事件数.

【学习过程】

一、知识情境：

1． 随机事件的概念

（1）必然事件：每一次试验 的事件，叫必然事件；

（2）不可能事件：任何一次试验的事件，叫不可能事件；

（3）随机事件：随机试验的每一种或随机现象的每一种叫的随机事件，简称为事件。

2．事件的关系

①如果A B为不可能事件（A B）， 那么称事件A与事件B互斥。

其含意是： 事件A与事件B在任何一次实验中同时发生。

②如果A B为不可能事件，且A B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。

其含意是： 事件A与事件在任何一次实验中发生。

二、知识生成

我们来考察两个试验：试验①掷一枚质地均匀的硬币； 试验②掷一枚质地均匀的骰子。在试验①______中， 结果只有个， 即，它们都是随机事件， 即 相等；

试验②_________中， 结果只有个， 即， 它们都是随机事件， 即相等；

我们把这类事件称为基本事件（elementary event）

1．基本事件的概念：  一个事件如果 事件，就称作基本事件。

基本事件的两个特点：1.任何两个基本事件是的；

2.任何一个事件（除不可能事件）都可以 。

例如（1） 试验②中，随机事件“出现偶数点”可表示为基本事件                       的和。

（2） 从字母中， 任意取出两个不同字母的这一试验中，

所有的基本事件是：，共有个基本事件。

2．古典概型的定义

古典概型有两个特征：

1.试验中所有可能出现的基本事件 ；

2.各基本事件的出现是，即它们发生的概率相同。

将具有这两个特征的概率称为古典概型（classical models of probability）。

注：在“等可能性”概念的基础上，很多实际问题符合或近似符合都这两个条件，

即， 都可以作为古典概型来看待。

3．古典概型的概率公式， 设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P（A）定义为：

例如

在试验②中，基本事件只有个，且都是随机事件，即各基本事件的出现是的，又随机事件A =“出现偶数点”包含有基本事件。所以。

三、案例探究：

例1  掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率。

分析： 所有的基本事件是：，这里个基本事件是等可能发生的，故属古典概型。所以，。

例2  一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。

解法1设 “出现点数之和为奇数”，用记“第一颗骰子出现点，第二颗骰子出现点”，。显然出现的个基本事件组成等概样本空间，其中 包含的基本事件个数为，故。

解法2若把一次试验的所有可能结果取为：，则它们组成   样本空间。 基本事件总数，包含的基本事件个数，故。

解法3若把一次试验的所有可能结果取为：，也组成样本空间，

基本事件总数，包含的基本事件个数，故。特别提示：①找出的基本事件组构成的样本空间，必须是等概的。

如：解法2中倘若解为：（两个奇），（一奇一偶），（两个偶）当作基本事件组成样本空间，

②本例又告诉我们，同一问题可取不同的样本空间解答。

例3 从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。

例4 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：

（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；

（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率。

特别提示：①注意放回抽样与不放回抽样的区别。

②关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误。

参考答案：

1． 随机事件的概念

（1）必然事件：每一次试验都一定出现的事件，叫必然事件；

（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件，叫不可能事件；

（3）随机事件：随机试验每一种结果或随机现象的每一种表现叫的随机事件，简称为事件。

2．基本事件的概念：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，就称作基本事件。

基本事件的两个特点：

1．任何两个基本事件是互斥的；

2．任何一个事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

古典概型有两个特征：

1．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

2．各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同。

例1  掷两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率。

分析： 所有的基本事件是： 甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反，这里个基本事件是等可能发生的，故属古典概型。所以， n=4， m=1， P=1/ 4。

例2  一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。

解法1设 “出现点数之和为奇数”，用记“第一颗骰子出现点，第二颗骰子出现点”，。显然出现的36个基本事件组成等概样本空间，其中 包含的基本事件个数为，故。　　

解法2若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们组成等概样本空间。 基本事件总数，包含的基本事件个数，故。，故。　　

解法3 若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，也组成等概样本空间，基本事件总数，包含的基本事件个数，故。所含基本事件数为1，故。

例3 解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和，（a1，b2），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b2，a2）。其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==

例4 分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样。

解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P（A）==0.512．

（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种。设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336， 所以P（B）=≈0.467．

解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x，y，z），（x，z，y），（y，x，z），（y，z，x），（z，x，y），（z，y，x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P（B）=≈0.467．