数学必修 第二册5.1.4 用样本估计总体课后练习题

课后素养落实(十四)　用样本估计总体

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．运动员参加体操比赛，当评委亮分后，往往是先去掉一个最高分和一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是为了(　　)

A．减少计算量　　　　 B．避免故障

C．剔除异常值 D．活跃赛场气氛

C　[在体操比赛的评分中使用的是平均分．记分过程中采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方法，就是为了防止个别裁判的人为因素而给出过高或过低的分数，对选手的得分造成较大的影响，从而可以降低误差，使得比赛尽量公平．]

2．要了解全市高一学生在某一身高范围所占比例的大小，需知道相应样本的(　　)

A．平均数 B．方差

C．众数 D．频率分布

D　[频率分布直方图显示样本在某一范围所占的比例大小，故选D．]

3．一组样本数据a,3,5,7的平均数是b，且a，b是方程x2－5x＋4＝0的两根，则这个样本的方差是(　　)

A．3　　 B．4 

C．5　　　　　 D．6

C　[x2－5x＋4＝0的两根为1,4，当a＝1时，a,3,5,7的平均数是4；当a＝4时，a,3,5,7的平均数不是1，所以a＝1，b＝4，s2＝5.]

4．(多选题)下列说法中正确的为(　　)

A．数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定

B．数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定

C．数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定

D．数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定

ACD　[由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．]

5．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)

A．，s2＋1002 B．＋100，s2＋1002

C．，s2 D．＋100，s2

D　[因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度应保持不变，即方差不变．]

二、填空题

6．用一组样本数据8，x,10,11,9来估计总体的标准差，若该组样本数据的平均数为10，则总体标准差s＝________.

　[因为样本数据的平均数为10，由(8＋x＋10＋11＋9)＝10，得x＝12，∴s2＝(4＋4＋0＋1＋1)＝2，∴s＝.]

7．在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委给某校的评分情况如下表所示：

则这10位评委评分的平均数是________分．

89　[＝＝89.]

8．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示，则

(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．

(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．

(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．

(1)13　(2)62.5　(3)64　[(1)在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.

(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.

(3)0.20×50＋0.40×60＋0.25×70＋0.10×80＋0.05×90＝64.]

三、解答题

9．某车间20名工人年龄数据如下表：

(1)求这20名工人年龄的众数与极差；

(2)以十位数为茎，个位数为叶，做出这20名工人年龄的茎叶图；

(3)求这20名工人年龄的方差．

[解]　(1)这20名工人年龄的众数为：30，这20名工人年龄的极差为：40－19＝21．

(2)以十位数为茎，个位数为叶，做出这20名工人年龄的茎叶图如下.

(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；

所以这20名工人年龄的方差为：

(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.

10．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：

[0,0.5)，4；[0.5,1)，8；[1,1.5)，15；[1.5,2)，22；[2,2.5)，25；[2.5,3)，14；[3,3.5)，6；[3.5,4)，4；[4,4.5]，2.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；

(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？

[解]　(1)频率分布表

(2)频率分布直方图如图：

众数：2.25；中位数：2.02；平均数：2.02.

(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．

11．是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是(　　)

A．＝a＋b　　 B．＝

C．＝ D．＝

C　[依题意可得100＝x1＋x2＋…＋x100,40a＝x1＋x2＋…＋x40,60b＝x41＋x42＋…＋x100，故＝.]

12．(多选题)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)

甲　　　　　　　　　　乙

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

BC　[由条形统计图知：

甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；

乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，

所以甲＝＝6；乙＝＝6.

所以甲＝乙．故A不正确．

甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B正确．

s＝[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝×10＝2，s＝[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝×12＝，因为2<，所以s<s.故C正确．甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故D不正确．故选BC．]

13．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________、________.

81.2　4.4　[设原数据的平均数为A，方差为B，则将原数据都减去80，得一组新数据的平均数为A－80，方差为B，则A－80＝1.2，∴A＝81.2，B＝4.4.]

14．一定数量的汽车在通过某一段公路时的时速数据的频率分布直方图如图所示，时速在[50,70)内的汽车有160辆，则时速在[40,50)内的汽车有________辆．

20　[时速在[50,70)内的频率为0.03×10＋0.05×10＝0.8，

∴样本容量为160÷0.8＝200，

而时速在[40,50)内的频率为0.01×10＝0.1，

∴时速在[40,50)的汽车有200×0.1＝20(辆)．]

15．已知一个样本：30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28,25,

21,23,25,27,29,25,28.

(1)列出样本的频率分布表；

(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；

(3)根据频率分布直方图，估计总体出现在23～28内的频率是多少．

[解]　(1)计算极差：30－21＝9.

决定组距和组数：取组距为2.

∵＝4，∴共分5组．

决定分点，使分点比数据多一位小数．

并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下5组：

20.5～22.5,22.5～24.5,24.5～26.5,26.5～28.5,28.5～30.5.

列出频率分布表如下：

(2)取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图，作出频率分布直方图．

(3)由频率分布表和频率分布直方图观察得：

样本值出现在23～28之间的频率为0.15＋0.40＋0.20＝0.75，所以可以估计总体中出现在23～28之间的数的频率约为0.75.