苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用当堂检测题

课后素养落实(三十二)　瞬时变化率——导数

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A．不存在　　　　 B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直

B　[由导数的几何意义可知选项B正确．]

2．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若 ＝1，则f′(x0)＝(　　)

A．2　　　　B．1　　　　C．　　　　D．0

C　[∵ ＝1，

∴ ＝，

即f(x0)＝ ＝．故选C．]

3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1

C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2

B　[由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为

y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0．]

4．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为(　　)

A．800 m/s　　B．600 m/s　　C．200 m/s　　D．400 m/s

A　[位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，

∴＝at0＋aΔt，

∴ ＝ ＝at0，

已知a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，

∴at0＝800 m/s．所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s．]

5．如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于(　　)

A．－4 B．3

C．－2 D．1

D　[直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0．

又由题意可知f(2)＝2，f′(2)＝－1，

∴f(2)＋f′(2)＝2－1＝1．]

二、填空题

6．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则＝________．

2　[∵f′(1)＝2，

又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1．又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2．

∴＝2．]

7．已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________．

2　－3　[＝

＝＝mΔx＋2mx，

故f′(x)＝ ＝ (mΔx＋2mx)＝2mx＝4x．

所以m＝2．

又f(1)＝－1，即2＋n＝－1，所以n＝－3，

故m＝2，n＝－3．]

8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是________．

(0，0)　[设P(x0，y0)，则

y′|x＝x0＝

＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2．

因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，

所以点P处的切线的斜率为2，

所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0，0)．]

三、解答题

9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．

[解]　∵f′(a)＝ ＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为．

∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1．

10．若一物体的运动时间t(单位：s)与位移s(单位：m)的函数关系式为s＝求此物体在t＝1 s和t＝5 s时的瞬时速度．

[解]　当t＝1时，s＝3t2＋2，

∴v＝ ＝ ＝ (6＋3Δt)＝6．

当t＝5时，s＝29＋3(t－3)2，

∴v＝ ＝ (3Δt＋12)＝12．

故此物体在t＝1 s和t＝5 s时的瞬时速度分别是6 m/s和12 m/s．

11．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2．则下列正确的是(　　)

A．此物体的初速度是3 m/s

B．此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反

C．t＝0到t＝2时平均速度1 m/s

D．t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s

ABC　[A中，初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．

即物体的初速度为3 m/s．即A正确；

B中，v＝

＝

＝

＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．

即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，

方向与初速度相反．即B正确．

C中，＝＝＝1(m/s)．

即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s．即C正确．

D中，v＝

＝ (－3－Δx)＝－3．故D错误，故应选ABC．]

12．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)

A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)

B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)

C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2)

D．0<f(3)－f(2)<f′(3)<f′(2)

B　[由函数的图象可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0．故选B．]

13．已知曲线y＝f(x)＝，y＝g(x)＝，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．

(1，1)　x－2y＋1＝0　[由得∴两曲线的交点坐标为(1，1)．

由f(x)＝，得f′(x)＝ ＝ ＝，

∴y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0．]

14．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．

2　[由导数的定义，得f′(0)＝

＝

＝ (a·Δx＋b)＝b．

因为对于任意实数x，有f(x)≥0，

则所以ac≥，

所以c＞0，

所以＝≥≥＝2．]

15．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

[解]　∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax

－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，

∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，

∴f′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9＝3－9－≥－9－．

由题意知f′(x)的最小值是－12，

∴－9－＝－12，

即a2＝9，

∵a＜0，∴a＝－3．