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高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 瞬时变化率同步达标检测题
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这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.2 瞬时变化率同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A．2B．C．D．
2．某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（ ）
A．B．2.9C．0.45D．
3．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
4．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/sB．6 m/s
C．4 m/sD．11 m/s
5．某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（ ）
A．2B．C．3D．
6．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A．4 m/sB．5 m/sC．6 m/sD．8 m/s
二、多选题
9．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
10．设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
11．已知函数的图像上一点及邻近一点，则的表达式不可能是（ ）
A．B．C．D．
12．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.现有一杯的热红荼置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则.
B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟
C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为 ．
14．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ．
15．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ．
16．如图是函数的图象，回答下列问题．
（1）函数在区间上的平均变化率为 ；
（2）函数在区间上的平均变化率为 ．
四、解答题
17．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 (单位：)与起跳后的时间 (单位：)之间的函数关系式为.
(1)求运动员在第一个内的平均速度；
(2)求运动员在这段时间内的平均速度.
18．有一个长方体的容器（如图），它的宽为10cm，高为100cm．右侧面为一活塞，容器中装有1000mL的水．活塞的初始位置（距左侧面）为，水面高度为100cm．当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm．
(1)写出y关于x的函数解析式
，
；
(2)活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？
(3)试估计当
时，水面高度y的瞬时变化率．
19．某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值：
(1)求服药后30min内，30min到40min，80min到90min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段．
20．投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大（如图）．计算：
(1)半径从增加到时，圆面积S相对于的平均变化率；
(2)半径时，圆面积S相对于的瞬时变化率．
21．自由落体运动的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系（g为重力加速度）．
(1)分别求、、这些时间段内自由落体的平均速度；
(2)求时的瞬时速度；
(3)求时的瞬时速度；
(4)借助（3）的结果，求时的瞬时速度．
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
参考答案：
1．B
【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数从1到的平均变化率为
.
故选：B
2．A
【分析】求出导数，结合瞬时速度的意义求解即可.
【详解】由题意，求导后得，当时，，
故A正确.
故选：A.
3．C
【分析】利用导数的定义求得正确答案.
【详解】设，
故选：C
4．D
【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
5．B
【分析】根据平均速度的公式计算.
【详解】.
故选：B.
6．A
【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求.
【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
7．D
【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.
【详解】因为OP是匀速旋转，
选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；
选项C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项D， OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符合
故选：D
8．B
【分析】图像中，函数图像上某点的切线的斜率即函数在该点处的导数的物理意义表示运动物体在该时刻的瞬时速度，故可利用导数的定义式求解.
【详解】解析：，则，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s．
故选：B
9．ABC
【分析】首先分别表示出，再根据选项A、B比较大小即可；选项C可根据图象，瞬时速度的几何意义可判断；选项D，可以通过观察曲线在各点处的切线的斜率，即可判断.
【详解】由题意可知：，，，
由图象可知且，因此，
而，所以，
因此，此时，所以A选项正确；
由，
可得，
故成立，选项B正确；
选项C，设,,分别作出直线；
,,
瞬时速度的几何意义就是时刻曲线的切线的斜率；
由图象可知，存在，曲线在点处的切线斜率与相等，
即存在，使得，
故C选项正确；
选项D，t时刻的瞬时速度为，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确；
故选：ABC
10．ABD
【分析】利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
11．ACD
【分析】根据平均变化率的定义计算后判断.
【详解】由已知，
正确的是B，
故选：ACD．
12．ABC
【分析】由题知，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．
【详解】由题知，
A：若，即，所以，
则，A正确；
B：若，则，则，
两边同时取对数得，所以，
所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；
C;表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确；
D;，设红茶温度从下降到所需的时间为，则，设红茶温度从下降到所需的时间为，则 ，则红茶温度从下降到所需的时间为；由于所以，故
可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．
故选：ABC．
13．
【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
14．2
【分析】利用平均变化率公式直接求解即可.
【详解】由题意得，
所以，或（舍去）．
故答案为：2
15．80
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.
【详解】因为.
所以该物体时，物体的瞬时速度为.
故答案为：80
16． /0.5
【分析】根据平均变化率的定义，即可求解.
【详解】（1）函数在区间[0，2]上的平均变化率为.
（2）函数在区间[2，4]上的平均变化率为.
故答案为：；2.
17．(1)
(2)
【分析】根据平均速度的求法求得平均速度.
【详解】（1）运动员在第一个内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，
即，
故运动员在第一个内的平均速度为.
（2）运动员在这段时间内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，
即，
故运动员在这段时间内的平均速度为.
18．(1)
(2),，前一个过程变化快
(3)
【分析】（1）根据题意，由水的体积恒定不变，列出方程即可；
（2）根据题意，分别求出活塞位置为1cm、2cm和7cm、8cm时的水面高度，计算可得答案；
（3）根据瞬时变化率的公式，求导计算可得答案.
【详解】（1）水的体积恒定不变，那么就有
，
（2）活塞位置为1cm时，
活塞位置为2cm时，
水面高度改变为
活塞位置为8cm时，
活塞位置为10cm时，
水面高度改变为
可见，前一个过程变化快
（3）瞬时变化率：如果当时，有极限，我们就说函数在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作，，当时，瞬时变化率为此时，的值为，即时，瞬时变化率为
19．(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用平均变化率公式求解；
（2）由平均变化率的正负刻画增减，用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢.
【详解】（1）解：服药后30min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后30min到40min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后80min到90min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：；
（2）用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢，
当时，血液中的药物质量浓度增加；当时，血液中的药物质量浓度减小，
因为，
所以80min到90min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
20．(1)
(2)．
【分析】（1）根据平均变化率的定义进行求解；
（2）在（1）的基础上，结合瞬时变化率的定义得到答案.
【详解】（1）圆面积S相对于半径的平均变化率为
．
（2）在表达式中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于的瞬时变化率为，
恰为此时圆的周长．
21．(1)m/s；m/s；m/s
(2)m/s；
(3)m/s；
(4)m/s；
【分析】（1）根据平均速度的定义代入计算即可求出各时间段内的平均速度；
（2）利用瞬时速度的定义求出瞬时速率的表达式，将时间代入即可；
（3）将代入求解即可得出结果；
（4）将代入计算可得结果.
【详解】（1）在时间内，平均速度m/s；
在时间内，平均速度m/s；
在时间内，平均速度m/s；
（2）瞬时速度；
所以时瞬时速度为m/s；
（3）由（2）知，时的瞬时速度为m/s；
（4）当时的瞬时速度m/s；
一、单选题
1．已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A．2B．C．D．
2．某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度（单位：）与起跳后的时间（单位：）的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度（单位：）为（ ）
A．B．2.9C．0.45D．
3．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
4．质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（ ）
A．2 m/sB．6 m/s
C．4 m/sD．11 m/s
5．某物体做直线运动，若它所经过的位移s与时间t的函数关系为，则这个物体在时间段内的平均速度为（ ）
A．2B．C．3D．
6．已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若一射线从处开始，绕点匀速逆时针旋转（到处为止），所扫过的图形内部的面积是时间的函数，的图象如图所示，则下列图形中，符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若一个物体的运动方程为，其中S的单位是m，t的单位是s，则该物体在3 s末的瞬时速度是（ ）
A．4 m/sB．5 m/sC．6 m/sD．8 m/s
二、多选题
9．小明从家里到学校行走的路程S与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．
C．对于，存在，使得
D．整个过程小明行走的速度一直在加快
10．设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（ ）
A．可以是正数也可以是负数，但不能为0
B．函数值的改变量为
C．函数在上的平均变化率为
D．函数在上的平均变化率
11．已知函数的图像上一点及邻近一点，则的表达式不可能是（ ）
A．B．C．D．
12．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中，则经过分钟后物体的温度将满足且.现有一杯的热红荼置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值）
A．若，则.
B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟
C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
三、填空题
13．函数在区间上的平均变化率为 ．
14．若函数在区间上的平均变化率为3，则m等于 ．
15．物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ．
16．如图是函数的图象，回答下列问题．
（1）函数在区间上的平均变化率为 ；
（2）函数在区间上的平均变化率为 ．
四、解答题
17．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 (单位：)与起跳后的时间 (单位：)之间的函数关系式为.
(1)求运动员在第一个内的平均速度；
(2)求运动员在这段时间内的平均速度.
18．有一个长方体的容器（如图），它的宽为10cm，高为100cm．右侧面为一活塞，容器中装有1000mL的水．活塞的初始位置（距左侧面）为，水面高度为100cm．当活塞位于距左侧面xcm的位置时，水面高度为ycm．
(1)写出y关于x的函数解析式
，
；
(2)活塞的位置x从1cm变为2cm，水面高度y改变了多少？活塞的位置x从8cm变为10cm，水面高度y改变了多少？以上哪个过程水面高度的变化较快？
(3)试估计当
时，水面高度y的瞬时变化率．
19．某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值：
(1)求服药后30min内，30min到40min，80min到90min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率；
(2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段．
20．投石入水，水面会产生圆形波纹区，且圆的面积随着波纹的传播半径的增大而增大（如图）．计算：
(1)半径从增加到时，圆面积S相对于的平均变化率；
(2)半径时，圆面积S相对于的瞬时变化率．
21．自由落体运动的位移d（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系（g为重力加速度）．
(1)分别求、、这些时间段内自由落体的平均速度；
(2)求时的瞬时速度；
(3)求时的瞬时速度；
(4)借助（3）的结果，求时的瞬时速度．
t/min
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.84
0.89
0.94
0.98
1.00
1.00
0.97
0.90
0.79
0.63
0.41
参考答案：
1．B
【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数从1到的平均变化率为
.
故选：B
2．A
【分析】求出导数，结合瞬时速度的意义求解即可.
【详解】由题意，求导后得，当时，，
故A正确.
故选：A.
3．C
【分析】利用导数的定义求得正确答案.
【详解】设，
故选：C
4．D
【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合.
【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s.
故选：D.
5．B
【分析】根据平均速度的公式计算.
【详解】.
故选：B.
6．A
【分析】由的几何意义，得函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，即函数的导数大于1在内恒成立，可得在内恒成立，利用二次函数的性质可求.
【详解】因为的几何意义，表示点与点连线斜率，
∵实数，在区间内，不等式恒成立，
∴函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在内恒成立，∴在内恒成立，
由函数的定义域知，，所以在内恒成立，
由于二次函数在上是单调递减函数，
故，∴，
∴．
故选：A.
7．D
【分析】逐个分析扫过部分的面积增速的快慢即得.
【详解】因为OP是匀速旋转，
选项A，OP扫过的圆内阴影部分面积在开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项B，OP扫过的圆内阴影部分面积是匀速变化的，不合题意；
选项C，OP扫过正方形的阴影部分，是开始时段缓慢增加，中间增速最快，后面时段相对增速越来越慢，不合题意；
选项D， OP扫过的三角形内阴影部分面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段快，选项D符合
故选：D
8．B
【分析】图像中，函数图像上某点的切线的斜率即函数在该点处的导数的物理意义表示运动物体在该时刻的瞬时速度，故可利用导数的定义式求解.
【详解】解析：，则，即物体在3 s末的瞬时速度是5 m/s．
故选：B
9．ABC
【分析】首先分别表示出，再根据选项A、B比较大小即可；选项C可根据图象，瞬时速度的几何意义可判断；选项D，可以通过观察曲线在各点处的切线的斜率，即可判断.
【详解】由题意可知：，，，
由图象可知且，因此，
而，所以，
因此，此时，所以A选项正确；
由，
可得，
故成立，选项B正确；
选项C，设,,分别作出直线；
,,
瞬时速度的几何意义就是时刻曲线的切线的斜率；
由图象可知，存在，曲线在点处的切线斜率与相等，
即存在，使得，
故C选项正确；
选项D，t时刻的瞬时速度为，判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，故而在此时，平均速度最快，因此，选项D不正确；
故选：ABC
10．ABD
【分析】利用平均变化率的概念一一判定即可.
【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数，
函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确；
故选：ABD
11．ACD
【分析】根据平均变化率的定义计算后判断.
【详解】由已知，
正确的是B，
故选：ACD．
12．ABC
【分析】由题知，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．
【详解】由题知，
A：若，即，所以，
则，A正确；
B：若，则，则，
两边同时取对数得，所以，
所以红茶下降到所需时间大约为7分钟，B正确；
C;表示处的函数值的变化情况，若，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降，故C正确；
D;，设红茶温度从下降到所需的时间为，则，设红茶温度从下降到所需的时间为，则 ，则红茶温度从下降到所需的时间为；由于所以，故
可得红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间少，故D错误．
故选：ABC．
13．
【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
14．2
【分析】利用平均变化率公式直接求解即可.
【详解】由题意得，
所以，或（舍去）．
故答案为：2
15．80
【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度.
【详解】因为.
所以该物体时，物体的瞬时速度为.
故答案为：80
16． /0.5
【分析】根据平均变化率的定义，即可求解.
【详解】（1）函数在区间[0，2]上的平均变化率为.
（2）函数在区间[2，4]上的平均变化率为.
故答案为：；2.
17．(1)
(2)
【分析】根据平均速度的求法求得平均速度.
【详解】（1）运动员在第一个内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，
即，
故运动员在第一个内的平均速度为.
（2）运动员在这段时间内的平均速度即高度在区间上的平均变化率，
即，
故运动员在这段时间内的平均速度为.
18．(1)
(2),，前一个过程变化快
(3)
【分析】（1）根据题意，由水的体积恒定不变，列出方程即可；
（2）根据题意，分别求出活塞位置为1cm、2cm和7cm、8cm时的水面高度，计算可得答案；
（3）根据瞬时变化率的公式，求导计算可得答案.
【详解】（1）水的体积恒定不变，那么就有
，
（2）活塞位置为1cm时，
活塞位置为2cm时，
水面高度改变为
活塞位置为8cm时，
活塞位置为10cm时，
水面高度改变为
可见，前一个过程变化快
（3）瞬时变化率：如果当时，有极限，我们就说函数在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作，，当时，瞬时变化率为此时，的值为，即时，瞬时变化率为
19．(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用平均变化率公式求解；
（2）由平均变化率的正负刻画增减，用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢.
【详解】（1）解：服药后30min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后30min到40min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：，
服药后80min到90min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：；
（2）用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢，
当时，血液中的药物质量浓度增加；当时，血液中的药物质量浓度减小，
因为，
所以80min到90min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快.
20．(1)
(2)．
【分析】（1）根据平均变化率的定义进行求解；
（2）在（1）的基础上，结合瞬时变化率的定义得到答案.
【详解】（1）圆面积S相对于半径的平均变化率为
．
（2）在表达式中，让d趋近于0，得到圆面积S相对于的瞬时变化率为，
恰为此时圆的周长．
21．(1)m/s；m/s；m/s
(2)m/s；
(3)m/s；
(4)m/s；
【分析】（1）根据平均速度的定义代入计算即可求出各时间段内的平均速度；
（2）利用瞬时速度的定义求出瞬时速率的表达式，将时间代入即可；
（3）将代入求解即可得出结果；
（4）将代入计算可得结果.
【详解】（1）在时间内，平均速度m/s；
在时间内，平均速度m/s；
在时间内，平均速度m/s；
（2）瞬时速度；
所以时瞬时速度为m/s；
（3）由（2）知，时的瞬时速度为m/s；
（4）当时的瞬时速度m/s；
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