北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程测试题

课后素养落实(八)　圆的一般方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　)

A．一个点　 B．一个圆

C．一条直线 D．不存在

A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]

2．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　)

A．8　　　　B．－4　　　　C．6　　　　D．无法确定

C　[圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，∴m＝6．]

3．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)

A．－2或2　　B．或　　C．2或0　　D．－2或0

C　[配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2或0，故选C．]

4．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)

A．2或1　　B．－2或－1　　C．2　　D．1

C　[∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，

∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，

∴m＞1．又圆C过原点，

∴2m2－6m＋4＝0，

∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2．]

5．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)

A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

C　[∵圆心(－1，－2)，r＝＝2，∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝．

∴共有3个点．]

二、填空题

6．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．

(x－1)2＋y2＝1　[以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1．]

7．若l是经过点P(－1，0)和圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0的圆心的直线，则l在y轴上的截距是________．

－1　[圆心C(－2，1)，则直线l的斜率k＝＝－1，所以直线l的方程是y－0＝－(x＋1)，即y＝－x－1，所以l在y轴上的截距是－1．]

8．过圆x2＋y2－6x＋4y－3＝0的圆心，且平行于直线x＋2y＋11＝0的直线的方程是________．

x＋2y＋1＝0　[由题意知圆心为(3，－2)，设所求直线的方程为x＋2y＋m＝0(m≠11)，将圆心(3，－2)代入，得3－4＋m＝0，∴m＝1，故所求直线的方程为x＋2y＋1＝0．]

三、解答题

9．求经过点A(6，5)，B(0，1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．

[解]　设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为，依题意有

即解得

因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0．

10．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：

(1)实数m的取值范围；

(2)圆心坐标和半径．

[解]　(1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，

故m的取值范围为．

(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，

故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝．

11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)

A．点　　B．直线　　C．线段　　D．圆

D　[∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，

∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，

∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径长的圆．]

12．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　)

A．x2＋y2＝32  B．x2＋y2＝16

C．(x－1)2＋y2＝16  D．x2＋(y－1)2＝16

B　[设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16．]

13．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　)

A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是

B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2

C．a＋b＝1

D．ab的取值范围是

ABCD　[原方程可化为2＋2＝4，故其圆心是，半径是2．

由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，

所以 a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤，

所以ab的取值范围是，故选ABCD．]

14．(一题两空)如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．

x2＋(y＋1)2＝1　π　[将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，∵r2＝1－k2≤1，∴rmax＝1，此时k＝0．

故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π．]

15．已知线段AB的端点B的坐标为(8，6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

[解]　设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)，由于点B的坐标为(8，6)，且P为线段AB的中点，∴x＝，y＝，

于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6．

∵点A在圆C上运动，∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即x＋y＋4x0＝0，

∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1，

∴点P的轨迹是以(3，3)为圆心，1为半径长的圆．