高中数学人教B版 (2019)必修第四册11.4.2 平面与平面垂直练习

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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修第四册11.4.2 平面与平面垂直练习，共18页。

第2课时　平面与平面垂直的性质

必备知识基础练
进阶训练第一层

知识点一
垂直关系的转化
1.m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列三个命题：
(1)若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
(2)若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m；
(3)若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.
其中正确的命题为(　　)
A．(1)(2) B．(3)
C．(2)(3) D．(1)(2)(3)
2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
知识点二
平面与平面垂直的性质定理

3．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.

4．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.

知识点三
平行关系、垂直关系的综合

5．如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.

6．如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．
(1)求证：BF∥平面ADP；
(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.

关键能力综合练
进阶训练第二层

一、选择题

1．如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(　　)
A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是(　　)

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC
3．已知平面α⊥平面β，则下列命题中真命题的个数是(　　)
①α内的任意直线必垂直于β内的无数条直线；
②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任意一条直线；
③α内的任意一条直线必垂直于β；
④过β内的任意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.
A．4B．3
C．2D．1

4．(探究题)如图，A，B，C，D为空间四点，在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴旋转，当平面ADB⊥平面ABC时，CD＝(　　)
A.B．2
C.D．1

5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB：A′B′等于(　　)
A．2：1B．3：1
C．3：2D．4：3

6．如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是(　　)
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°

二、填空题

7．如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是________三角形．
8．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为________．

9．如图，在三棱锥PABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
三、解答题
10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.

学科素养升级练
进阶训练第三层

1．(多选)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面四个结论中正确的是(　　)
A．BC∥平面AGFB．EG⊥平面ABF
C．平面AEF⊥平面BCDD．平面ABF⊥平面BCD

2．如图所示，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)
3．(学科素养——直观想象)如图1，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图2，点E是线段AM的中点．

(1)求四棱锥DABCM的体积；
(2)求证：平面BDE⊥平面ABCM；
(3)过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由．

第2课时　平面与平面垂直的性质
必备知识基础练
1．答案：B

解析：对于(1)，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，才能得到该直线与此平面垂直，而n只与β内的一条直线m垂直，不能得到n⊥β，故(1)不正确；对于(2)，如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D′中，平面DCC′D′⊥平面ABCD，平面ABC′D′与平面DCC′D′的交线为C′D′，与平面ABCD的交线为AB，但C′D′∥AB.故(2)不正确；对于(3)，由于m⊥α，m⊥n，则n在平面α内或n∥α.若n在平面α内，由n⊥β可得α⊥β；若n∥α，过n作平面与α交于直线l，则n∥l，由n⊥β得l⊥β，从而α⊥β.故(3)正确．
2．答案：C
解析：由线面平行、垂直的有关知识可排除A，B，D；对于C，因为m∥α，过m作平面γ交α于m′，则m′∥m，由于m⊥β，故m′⊥β，又m′⊂α，则α⊥β，所以C正确．
3．证明：如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
4．证明：(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，
∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG，
又PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.
5．证明：(1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，
BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
6．证明：(1)如图，取PD的中点为G，连接FG，AG.

∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，
∵CD＝3PE，
∴FG＝2PE，FG∥CD.
∵CD∥AB，AB＝2PE，
∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，
∴BF∥AG，又BF⊄平面ADP，AG⊂平面ADP，
∴BF∥平面ADP.
(2)延长AO交CD于M，连接BM，FM.
∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，O为BD的中点，
∴四边形ABMD是正方形，则BD⊥AM，MD＝2PE，
∴FM∥PD.
∵PD⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD，∴FM⊥BD，
∵AM∩FM＝M，AM，FM⊂平面AMF，
∴BD⊥平面AMF，∴BD⊥平面AOF.
关键能力综合练
1．答案：B
解析：∵PA＝PB，AD＝DB，
∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，
平面ABC∩平面PAB＝AB，PD⊂平面PAB，
∴PD⊥平面ABC.
2．答案：D
解析：由题意得，BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，
且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，
∴CD⊥平面ABD，
则CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，
∴AB⊥平面ADC，
∴平面ABC⊥平面ADC.
3．答案：C
解析：①设α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，b⊥l，则a⊥b，故β内与b平行的无数条直线均垂直于α内的任意直线，为真命题；②β内垂直于α与β交线的直线垂直于平面α，则它垂直于α内的任意直线，为真命题；③α内不与交线垂直的直线不垂直于β，为假命题；④垂直于交线的直线必须在平面β内才与平面α垂直，否则不垂直，为假命题．
4．答案：B
解析：取AB的中点E，连接DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，又CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE.由已知可求得DE＝，CE＝1，故在Rt△DEC中，CD＝＝2.
5．答案：A
解析：由已知条件可知∠BAB′＝，∠ABA′＝，
设AB＝2a，则BB′＝2asin＝a，
A′B＝2acos＝a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，
∴AB：A′B′＝2：1.
6．答案：D
解析：∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，
∴tan∠ADP＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.
7．答案：直角
解析：设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形．
8．答案：60°
解析：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成的二面角的正切值为，故所求的二面角为60°.
9．答案：
解析：∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
10．证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB，
所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，
所以平面PAB⊥平面PCD.

(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.
因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.
学科素养升级练
1．答案：ABD

解析：∵F，G分别是CD，DB的中点，∴GF∥BC，
则BC∥平面AGF，故A正确；
∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，
∵EG∥CD，
∴EG⊥平面ABF，故B正确；
∵E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，
∴CD⊥AF，CD⊥BF，即CD⊥平面ABF，
∵CD⊂平面BCD，
∴平面ABF⊥平面BCD，故D正确；
对于选项C，假设平面AEF⊥平面BCD，
由平面AEF∩平面BCD＝AF，CD⊂平面BCD，CD⊥AF，
∴CD⊥平面AEF，CD⊥EF，与CD，EF夹角为60°矛盾，故C错误．故选ABD.
2．答案：②④
解析：因为PA⊂平面MOB，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO⊄平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．
3．解析：(1)由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，
∴DE⊥平面ABCM.
四棱锥PABCM的体积V＝SABCM·DE＝×××＝.
(2)证明：由(1)可得，DE⊥平面ABCM，DE⊂平面DEB，
∴平面DEB⊥平面ABCM.
(3)过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l⊂平面ABCM；②l⊥AD.理由：
在平面ABCM中，过点B作直线l，使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，∴l⊥平面ADM，∴l⊥AD.