高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直第1课时学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直第1课时学案设计，共9页。学案主要包含了学习重点，学习难点，对点快练，变式练习，解题方法，变式练习2，变式练习1等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
二面角的定义，求解，面面垂直的定义、判定定理
【学习难点】
空间问题与平面问题的转化
问题1：二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个 所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 .
(2)图形表示：
(3)记法：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，通常记作二面角 .如果C和D分别是半平面α和β内的点，也可记作
(4)二面角的平面角：在二面角α－AB－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为
如图，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l二面角α－l－β的平面角是
(5)二面角的平面角的取值范围： .平面角是直角的二面角称为直二面角．
(6)平面与平面所成的角：一般地，两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的4个二面角中， 的角的大小．范围为 .
【对点快练】
判断正误.
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( )
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( )
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )
例1.如图所示，在正方体中，求二面角的大小。
【变式练习】
四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：
(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2) 二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.
【解题方法】
方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.

方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
【变式练习2】
已知Rt△ABC,斜边BC⊂α,点A∉α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.
问题2：平面与平面垂直
1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为 ，则称这两个平面互相 ，记作
2．画法
3．判定定理
(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的 ，则这两个平面互相垂直．
(2)图形表示：
(3)符号表示：
(4)作用：证明平面与平面
证明：
注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由式直棱柱的侧棱垂直于底面。
【对点快练】
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．
2．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
例2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.
(1)求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.
【解题方法】
面面垂直的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
【变式练习1】 若本例改为：在正三棱柱ABC－A1B1C1中，F为A1C1的中点，求证：平面AB1F⊥平面ACC1A1.
【变式练习2】
如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
考点
学习目标
二面角
理解二面角的定义，会作二面角的平面角，能求二面角的平面角的大小
面面垂直的定义
通过直观感知，操作确认，归纳面面垂直的定义
面面垂直的判定定理
掌握面面垂直的判定定理、会用定理证明垂直关系