数学必修 第四册11.3.2 直线与平面平行同步训练题

11.3.2　直线与平面平行

1.如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)

A．相交B．b∥α

C．b⊂αD．b∥α或b⊂α

2．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.

4.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)

A．平行B．平行或异面

C．平行或相交D．异面或相交

5．如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．

6．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

一、选择题

1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

2．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则(　　)

A．GH∥SA

B．GH∥SD

C．GH∥SC

D．以上均有可能

3．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)

A．不可能作出B．只能作出一个

C．能作出无数个D．上述三种情况都存在

4．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是(　　)

A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α

B．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交

C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n

5．(易错题)直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)

A．有且只有一个

B．有无数多个

C．有且只有一个或不存在

D．不存在

6．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：

①OM∥PD；②OM∥平面PCD；

③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.

其中正确的个数为(　　)

A．1B．2

C．3D．4

二、填空题

7．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有________条．

8．如图所示，ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

9．(探究题)如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.

(1)若E是BC的中点，则m的值为________；

(2)若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为______．

三、解答题

10．如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM：MA的值．

1．(多选)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则(　　)

A．AC⊥BD

B．AC∥平面PQMN

C．AC＝BD

D．M，N分别是线段DC，AD的中点

2．如图，三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点，M是AD上一点，且AM＝2MD，设点N是平面ABED内一点，且MN∥平面FGH，则点N的位置是______________________(答案不唯一，写出一种即可)．

3．(学科素养——直观想象)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．

11．3.2　直线与平面平行

必备知识基础练

1．答案：D

解析：由a∥b，且a∥α，知b∥α或b⊂α.

2．证明：如图，取PD的中点G，连接GA，GN.

∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，

∴GN∥DC，GN＝DC.

∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，

∴AM＝DC，AM∥DC，

∴AM∥GN，AM＝GN，

∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.

又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，

∴MN∥平面PAD.

3．证明：连接BC1(图略)，

在△BCC1中，

∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，

又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，

∴四边形ABC1D1是平行四边形，

∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G，

AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.

4．答案：B

解析：由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．

5．证明：因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，

所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.

同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.

所以截面MNPQ是平行四边形．

6．证明：连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，

OM⊂平面BDM，

∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．

2．答案：B

解析：因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.

3．答案：D

解析：设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行．

4．答案：C

解析：由线面平行的性质定理知C正确．

5．答案：A

解析：在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，又∵a∩b′＝A，∴a与b′确定一个平面α，即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的．

6．答案：C

解析：由题意知，OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；PD⊂平面PCD，OM⊄平面PCD，∴OM∥平面PCD，故②正确；同理可得：OM∥平面PDA，故③正确；OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确．故共有3个结论正确．

7．答案：0或1

解析：过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．

8．答案：a

解析：∵MN∥平面AC，平面PMNQ∩平面AC＝PQ，

∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，

故PQ＝＝DP＝a.

9．答案：(1)1　(2)2

解析：(1)如图，设G是CB1上一点，连接DG，GE.

因为AE∥平面DB1C，

所以AE∥DG.

又AD∥平面CBB1C1，

所以AD∥EG，

则四边形DAEG是平行四边形．

故DA＝GE，

所以G是CB1的中点．

故AD＝DA1，即＝1，即m＝1.

(2)如图，设H是CB1上一点，连接DH，HE.

因为AE∥平面DB1C，

所以AE∥DH，又AD∥BB1，

所以AD∥平面CBB1C1，

所以AD∥EH，故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，

因为EH∥BB1，所以＝＝，

所以＝＝，则＝2，即m＝2.

10．解析：如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC⊂平面PAC，

所以PC∥OM，所以＝.

在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，

所以＝.

又AO1＝CO1，所以＝＝，故PM：MA＝1：3.

学科素养升级练

1．答案：AB

解析：由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥平面PQMN，故B正确．

2．答案：N是线段BE上靠近点E的三等分点(答案不唯一)

解析：点N可以是线段BE上靠近点E的三等分点．

证明如下：连接MN，因为AM＝2MD，BN＝2NE，

所以AB∥MN，又G，H分别为AC，BC的中点，

所以GH∥AB，

所以MN∥GH，又GH⊂平面FGH，MN⊄平面FGH，

所以MN∥平面FGH.

3．解析：若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.

因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.

又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，

所以BFNM是平行四边形，

所以MN∥BF，MN＝BF＝1.

而EC∥FB，EC＝2FB＝2，

所以MN∥EC，MN＝EC＝1，

故MN是△ACE的中位线．

所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.