人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试单元测试当堂检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试单元测试当堂检测题，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )

A.eq \f(\r(2),2)B．1C.eq \r(2)D．2eq \r(2)
2．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，HG交于一点P，则( )
A．点P一定在直线BD上B．点P一定在直线AC上
C．点P一定在直线AC或BD上D．点P既不在直线AC上，也不在直线BD上
第1题图
第3题图
第5题图
3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，VA1­BCD＝( )
A．60B．30C．20D．10
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )
A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC
5．如图，在正四面体D­ABC中，P∈平面DBA，则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有( )
A．0条B．1条C．2条D．3条
6．底面半径为eq \r(3)，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为( )
A．6πB．12πC．8πD．16π
7题图
7．E，F，G分别是空间四边形ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是( )
A．0B．1C．2D．3
8．如图，等边三角形ABC的边长为4，M，N分别为AB，AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得平面AMN与平面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A­MNCB的体积为( )
A.eq \f(3,2)B.eq \f(\r(3),2)C.eq \r(3)D．3
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)
9．下列命题正确的是( )
A．若一个平面内两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行
B．若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直
C．垂直于同一直线的两条直线相互平行
D．若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直
10．如图，在正四棱锥S­ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为( )
A．EP⊥ACB．EP∥BDC．EP∥平面SBDD．EP⊥平面SAC
11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，若直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则( )
A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列结论正确的是( )
A．VA­A1DE：VA1­BCDE＝1：3
B．存在某个位置，使DE⊥A1C
C．总有BM∥平面A1DE
D．线段BM的长为定值
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为________厘米．
14．已知四面体P­ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2eq \r(5)，PB⊥平面PAC，则四面体P­ABC外接球的体积为________．
15．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
②若α外的一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直．
其中正确命题的序号是________．
16．已知二面角α­l­β为60°，动点P，Q分别在平面α，β内，P到β的距离为eq \r(3)，Q到α的距离为2eq \r(3)，则P，Q两点之间距离的最小值为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．
18．(12分)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq \f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD面积为2eq \r(7)，求四棱锥P­ABCD的体积．
19．(12分)如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是边长为eq \r(2)的正方形，AA1＝3，点E在棱B1B上运动．
(1)证明：AC⊥D1E；
(2)若三棱锥B1－A1D1E的体积为eq \f(2,3)，求异面直线AD，D1E所成的角．
20．(12分)如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.
21．(12分)如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面AA′C′C；
(2)设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN？试证明你的结论．
22．(12分)
如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，点E是AB的中点．
(1)求证：OE∥平面BCC1B1；
(2)若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC.
第十一章单元测试
1．答案：D
解析：∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，
∴Rt△O′A′B′的直角边长是eq \r(2)∴Rt△O′A′B′的面积是eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1，
∴原平面图形的面积是1×2eq \r(2)＝2eq \r(2).故选D.
2．答案：B
解析：如图，
∵P∈HG，HG⊂平面ACD，
∴P∈平面ACD.
同理，P∈平面BAC.∵平面BAC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC.故选B.
3．答案：D
解析：VA1－BCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×5×4＝10.
4．答案：C
解析：如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.
5．答案：C
解析：过点P分别作BD，AB的平行线，这两条直线都符合题意．
6．答案：D
解析：由题意，圆锥轴截面的顶角为120°，设该圆锥的底面圆心为O′，球O的半径为R，则O′O＝R－1，由勾股定理可得R2＝(R－1)2＋(eq \r(3))2，∴R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π.故选D.
7．答案：C
解析：在△ACD中，
∵G，F分别为AD与CD的中点，∴GF∥AC.而GF⊂平面EFG，AC⊄平面EFG，
∴AC∥平面EFG.
同理，BD∥平面EFG.故选C.
8．答案：A
解析：如图，作出二面角A­MN­B的平面角∠AED，AO为△AED底边ED上的高，也是四棱锥A­MNCB的高．由题意，得ED＝eq \r(3)，AO＝eq \f(\r(3),2)，S四边形MNCB＝eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(3)＝3eq \r(3).
V＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×3eq \r(3)＝eq \f(3,2).
9．答案：BD
解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条平行于它们交线的直线就平行于另一个平面，故A不正确；由平面与平面垂直的判定定理知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故C不正确；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确．
10．答案：AC
解析：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN.
由正四棱锥S­ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.
∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.
∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，
∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN＝M，
∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP.选项A正确．
由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此选项B不正确；
平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此选项C正确．
EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM＝E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即选项D不正确．
11．答案：ABC
解析：因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正确；
因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正确；
因为A∈α，AB∥l，l⊂α，所以B∈α，所以AB⊄β，l⊂β，所以AB∥β，故C正确；
因为AC⊥l，当点C在α内时，AC⊥β成立，当点C不在α内时，AC⊥β不成立，故D不正确．
12．答案：ACD
解析：设A1到平面EBCD的距离为h，D到AB的距离为h′，
则VA­A1DE：VA1­BCDE＝eq \f(1,3)×S△ADE×h：eq \f(1,3)S梯形EBCD×h
＝S△ADE：S梯形EBCD＝eq \f(1,2)×AE×h′：eq \f(CD＋BE,2)×h′＝1：3，A正确；
A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，
∴DE与A1C不垂直，B错误；
取CD中点F，连接MF，BF，则MF綉eq \f(1,2)A1D，FB綉ED，
由MF∥A1D与FB∥ED，可得平面MBF∥平面A1DE，∴总有BM∥平面A1DE，C正确；
∴∠MFB＝∠A1DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cs∠MFB是定值，故D正确．
13．答案：12
解析：设球的体积为V，半径为R，圆柱水桶的半径为r，上升的水高为h，V＝Sh＝πr2h＝eq \f(4,3)πR3，R＝eq \r(3,64×27)＝12(cm)．
14．答案：36π
解析：∵PA＝4，PC＝2，AC＝2eq \r(5)，∴在△PAC中，PA2＋PC2＝20＝AC2，可得AP⊥PC，
又∵PB⊥平面PAC，PA，PC⊂平面PAC，
∴PB⊥PA，PA⊥PC.
以PA，PB，PC为长、宽、高，作长方体如图所示，
则该长方体的外接球就是四面体P­ABC的外接球．
∵长方体的体对角线长为eq \r(42＋42＋22)＝6，
∴长方体外接球的直径2R＝6，得R＝3，
因此，四面体P­ABC的外接球体积为V＝eq \f(4π,3)R3＝＝36π.
15．答案：①②
解析：由面面平行的判定可知①正确；由线面平行的判定可知②正确；显然③错误．
16．答案：2eq \r(3)
解析：如图，分别作QA⊥α于点A，AC⊥l于点C，PB⊥β于点B，PD⊥l于点D，连接CQ，BD，则∠ACQ＝∠PDB＝60°，AQ＝2eq \r(3)，BP＝eq \r(3)，∴AC＝PD＝2.又∵PQ＝eq \r(AQ2＋AP2)＝eq \r(12＋AP2)≥2eq \r(3)，当且仅当AP＝0，即点A与点P重合时取最小值，此时，PQ⊥平面α.
17．解析：四边形ABCD绕AD旋转一周形成的几何体是一个圆台挖去一个圆锥所得的组合体，
S表面＝S圆台底面＋S圆台侧面＋S圆锥侧面
＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×2eq \r(2)
＝(4eq \r(2)＋60)π.
V＝V圆台－V圆锥＝
eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋r1r2＋req \\al(2,2))h－eq \f(1,3)πreq \\al(2,2)h′＝eq \f(1,3)π(25＋10＋4)×4－eq \f(1,3)π×4×2＝eq \f(148,3)π.
18．解析：(1)证明：∵底面ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴BC∥AD，又AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
(2)取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝eq \f(1,2)AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊂平面PAD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝eq \r(2)x，PM＝eq \r(3)x，PC＝PD＝2x.取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝eq \f(\r(14),2)x.
因为△PCD的面积为2eq \r(7)，
所以eq \f(1,2)×eq \r(2)x×eq \f(\r(14),2)x＝2eq \r(7)，
解得x＝－2(舍去)，x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2eq \r(3).所以四棱锥P­ABCD的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(2(2＋4),2)×2eq \r(3)＝4eq \r(3).
19．解析：(1)证明：如图所示：连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD.
∵AC⊂平面ABCD，
∴B1B⊥AC.
∵BD∩B1B＝B，BD，B1B⊂平面B1BDD1，
∴AC⊥平面B1BDD1.
∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E.
(2)∵VB1－A1D1E＝VE－A1B1D1，EB1⊥平面A1B1C1D1，
∴VE－A1B1D1＝eq \f(1,3)S△A1B1D1·EB1.
∵S△A1B1D1＝eq \f(1,2)A1B1·A1D1＝1，
∴VE－A1B1D1＝eq \f(1,3)EB1＝eq \f(2,3).∴EB1＝2.∵AD∥A1D1，
∴∠A1D1E为异面直线AD，D1E所成的角或其补角．
在Rt△EB1D1中，求得ED1＝2eq \r(2).∵D1A1⊥平面A1ABB1，A1E⊂平面A1ABB1，
∴D1A1⊥A1E.
在Rt△EA1D1中，得cs∠A1D1E＝eq \f(\r(2),2\r(2))＝eq \f(1,2)，∴∠A1D1E＝60°.
∴异面直线AD，D1E所成的角为60°.
20．证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.
又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.
(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.
又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.
∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，EF，PE⊂平面PEF，∴BC⊥平面PEF.
又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.
21．解析：(1)证明：如图，设A′B′的中点为E，连接EM，EN，
∵点M，N分别为A′B和B′C′的中点，
∴NE∥A′C′，ME∥AA′，
又∵A′C′⊂平面ACC′A′，AA′⊂平面ACC′A′，NE⊄平面ACC′A′，ME⊄平面ACC′A′，
∴NE∥平面ACC′A′，ME∥平面ACC′A′.
∵NE∩ME＝E，NE⊂平面EMN，ME⊂平面EMN，
∴平面EMN∥平面ACC′A′.
∵MN⊂平面EMN，∴MN∥平面ACC′A′.
(2)如图，连接BN，设AA′＝a，AB＝λAA′＝λa，
由题意知，BC＝eq \r(2)λa，BN＝CN＝eq \r(C′C2＋C′N2)＝eq \r(a2＋\f(1,2)λ2a2).
∵三棱柱ABC­A′B′C′侧棱垂直于底面，
∴平面A′B′C′⊥平面BB′C′C.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点N为B′C′的中点，
∴A′N⊥B′C′.
又平面A′B′C′∩平面BB′C′C＝B′C′，A′N⊂平面A′B′C′，
∴A′N⊥平面BB′C′C，又CN⊂平面BB′C′C，
∴CN⊥A′N.
要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，
∴CN2＋BN2＝BC2，即2(a2＋eq \f(1,2)λ2a2)＝2λ2a2，
∴λ＝eq \r(2)，
则λ＝eq \r(2)时，CN⊥平面A′MN.
22.
证明：(1)连接BC1，因为侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，所以O为AC1的中点，又因为E是AB的中点，所以OE∥BC1，因为OE⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形，
所以AC1⊥A1C，因为AC1⊥A1B，A1C∩A1B＝A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，所以AC1⊥平面A1BC，因为BC⊂平面A1BC，所以AC1⊥BC.