数学第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课后复习题

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积

1．已知高为3的三棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A.B.

C.D.

2．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________．

3．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为________.

4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)

A.B.

C．64πD．128π

5．(多选)圆柱的侧面展开图是长12cm，宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是(　　)

A.cm3B.cm3

C．288πcm3D．192πcm3

6．已知圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的体积为________.

7.一个球的表面积是16π，则它的体积是(　　)

A．64πB.

C．32πD.

8．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于(　　)

A.B．1

C．2D．3

9．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为(　　)

A.B.

C．20πD.

10.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，截去三棱锥A1­ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1­DBC的表面积．

11．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

一、选择题

1．一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2：3，则棱柱与棱锥的体积之比为(　　)

A.B．2

C.D．3

2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　　)

A．5πB．6π

C．20πD．10π

3．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　)

A.B.

C.D.

4．(易错题)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)

A.B.

C．2πD．4π

5．(探究题)如图所示，三棱台ABC­A1B1C1中，A1B1：AB＝1：2，则三棱锥B­A1B1C1与三棱锥A1­ABC的体积比为(　　)

A．1：2B．1：3

C．1：D．1：4

6．如图，圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入3个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径为(　　)

A．4cmB．3cm

C．2cmD．1cm

二、填空题

7．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为________．

8．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径是________．

9．如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，截去一个三棱锥D1­ADC，则剩余部分的体积为________，点D到平面ACD1的距离为________．

三、解答题

10．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

1．(多选)如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，有下列判断，正确的是(　　)

A．直三棱柱侧面积是4＋2

B．直三棱柱体积是

C．三棱锥E­AA1O的体积为定值

D．AE＋EC1的最小值为2

2．两个相同的正四棱锥组成如图①所示的几何体，可放入棱长为1的正方体(如图②)内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有(　　)

A．1个B．2个

C．3个D．无穷多个

3．(情境命题——生活情境)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化公路上的积雪之用)，已建仓库的底面直径为12m，高4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建仓库的底面直径比原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底面直径不变)．

(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积和表面积．

(2)哪个方案更经济？

11．1.6　祖暅原理与几何体的体积

必备知识基础练

1．答案：D

解析：设三棱锥B1 ­ ABC的高为h，则V三棱锥B1 ­ ABC＝S△ABC·h＝××3＝.

2．答案：6＋2

解析：V棱台＝×(2＋4＋)×3

＝×3×(6＋2)＝6＋2.

3．答案：4

解析：由题意得四棱锥的底面积为S＝2××2×2＝4.

故四棱锥的体积V＝Sh＝×4×3＝4.

4．答案：A

解析：作圆锥的轴截面，如图所示：

由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.

设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝r.

由S侧＝π·r·PB＝16π，得πr2＝16π，所以r＝4.则h＝4.

故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝π.

5．答案：AB

解析：当圆柱的高为8 cm时，V＝π×2×8＝(cm3)，当圆柱的高为12 cm时，V＝π×2×12＝(cm3)．

6．答案：224π

解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图．

∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.

∴下底面半径R＝8，高h＝8，

∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π.

7．答案：D

解析：设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的体积V＝πR3＝π.

8．答案：D

解析：设球的半径为R，则4πR2＝πR3，所以R＝3.

9．答案：B

解析：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为1.已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为r＝＝，所以球的体积为：π()3＝.故选B.

10．解析：由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面积为a2，故所求几何体A1B1C1D1 ­ DBC的表面积S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S正方形A1B1C1D1＝a2＋3××a2＋3a2＝a2.

11．解析：如图，连接EB，EC，AC.V四棱锥E ­ ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，

∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥F ­ EBC＝V三棱锥C ­ EFB

＝V三棱锥C ­ ABE＝V三棱锥E ­ ABC

＝×V四棱锥E ­ ABCD＝4.

∴多面体的体积V＝V四棱锥E ­ ABCD＋V三棱锥F ­ EBC＝16＋4＝20.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：设棱柱的高为h，底面积为S，则棱锥的高为h，底面积为S，故二者的体积之比为＝＝＝2.

2．答案：D

解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

3．答案：C

解析：∵V三棱锥C ­ A′B′C′＝V三棱柱ABC ­ A′B′C′＝，

∴V四棱锥C ­ AA′B′B＝1－＝.

4．答案：B

解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示．每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V＝2××2π×＝.

5．答案：D

解析：三棱锥B ­ A1B1C1与三棱锥A1 ­ ABC的高相等，故其体积之比等于△A1B1C1与△ABC的面积之比，而△A1B1C1与△ABC的面积之比等于A1B1与AB比的平方，即1：4，故选D.

6．答案：B

解析：设球的半径为r，依题意得三个球的体积和水的体积之和等于圆柱体的体积，

∴3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.故选B.

7．答案：

解析：S△DD1E＝DD1×1＝，

又点F到平面DD1E的距离为1，

所以VD1 ­ EDF＝VF ­ D1DE＝S△DD1E×1＝.

8．答案：

解析：设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，

R3＝2，∴R＝.

9．答案：a3　a

解析：∵ABCD ­ A1B1C1D1为正方体，

∴VABCD ­ A1B1C1D＝a3.

由题意可知，D1D为三棱锥D1 ­ DAC的高，

∴VD1 ­ ADC＝××a2×a＝a3.

∴剩余部分的体积V＝a3－a3＝a3.

∵正方体的棱长为a，

∴AC＝AD1＝CD1＝＝a，

∴S△ACD1＝(a)2sin 60°＝a2，

又VD1 ­ ADC＝VD ­ ACD1，∴a3＝S△ACD1h，

∴h＝＝a，

∴点D到平面ACD1的距离为a.

10．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.

该组合体的体积V＝πr3＋πr2l

＝π×13＋π×12×3＝.

学科素养升级练

1．答案：ACD

解析：在直三棱柱ABC ­ A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，

底面ABC和A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝4＋2，故A正确；

直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝×1×1×2＝1，故B不正确；

由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，∴三棱锥E ­ AA1O的高为定值，

S△AA1O＝××2＝，∴VE ­ AA1O＝××＝，故C正确；

设BE＝x∈[0,2]，则B1E＝2－x，∴在Rt△ABC和Rt△EB1C1中，AE＋EC1＝＋.由其几何意义，

即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值，由对称可知，当E为BB1的中点时，其最小值为＝2，故D正确．故选ACD.

2．答案：D

解析：沿正四棱锥的底面所在平面将正方体切开，截面如图所示．

可见正方形中内接正方形的面积S不可能唯一，故V＝×S××2不唯一．

3．解析：(1)方案一中仓库的底面直径变成16 m，半径r1为8 m，高h1为4 m，则圆锥的母线长l1＝4 m，所以仓库的体积V1＝πrh1＝π(m3)．表面积S1＝πr1l1＝32π(m2)．

方案二中仓库的高h2变成8 m，半径r2为6 m，则圆锥的母线长为l2＝10 m．所以仓库的体积V2＝πrh2＝π(m3)＝96π(m3)，表面积S2＝πr2l2＝60π(m2)．

(2)因为V2>V1，S2<S1，

故方案二比方案一更经济．