人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积教案及反思

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积

本小节是人教B版必修4《立体几何初步》的第六小节，是在学生已经认识了简单几何体的基础上来学习研究的。本节内容主要通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理参数浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积。在学习的过程中理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比，猜想，论证的数学思想方法，体会祖暅原理中由“面积相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法，进一步提高学生们的空间想象能力，激发学生的探索欲求知欲.

【教学重点】

利用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式、并运用体积公式解决简单的实际问题

【教学难点】

空间问题转化为平面问题解决问题，割补转化法求几何体的体积

引入：

祖暅简介：

祖暅,字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县人（今河北省涞源县人），南北朝时代的伟大科学家。祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了体积的计算原理。祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”即是面积。

祖冲之父子是我们中华民族的骄傲和自豪。祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出上述结论。

问题1：祖暅原理

知识点1：祖暅原理

1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异.

2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示．

思考：

1．夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？

答案：被平行于这两个平面的任意平面所截时，三棱锥和三棱柱不满足两个截面的面积总相等，故这两个几何体的体积不相等．

2．若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？

答案：根据祖暅原理，知三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的体积相等．

问题2：柱体的体积

探究：如图，下面是底面积都等于S，，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅

原理推导柱体的体积公式吗？

(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.

(2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.

问题3：锥体的体积

探究：棱锥和圆锥的体积如何计算？

如图所示，当锥体被平行于底面的平面所截时，得到的截面与底面相似，即

而且相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离纸币，因此截面与底面的面积之比：

(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.

(2)体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则椎体的体积计算公式为V椎体＝Sh.

【对点快练】

1．圆锥的底面半径为4，母线长为6，则体积为________.

答案：π　因为圆锥的高h＝＝2，所以体积V椎体＝Sh＝π×42×2＝π

例1.如图所示，长方体中，求棱锥的体积和长方体的体积之比.

解：已知的长方体可以看成直棱柱，设它的底面面积为S，高为h,则长方体的体积为：

因为棱锥可以看成棱锥，且的面积为，棱锥的高为h,所以

因此所求体积比为.

问题4：台体的体积

探究：棱台、圆台的体积如何求解？

因为台体可以看成锥体截去一个小锥体得到，所以台体的体积可以通过计算锥体的体积之差来得到.

例2.已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为，求这个棱台的体积。

解：如图所示，讲四棱台看成从棱锥中截去所得到的，且设两个棱锥的高分别为与

由已知有：

再由，因此可得：

从而可知棱台的体积为：

知识点：

台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S1、S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝(S2＋＋S1)h.

【对点快练】

已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________.

答案：28　V＝(4＋16＋8)×3＝28.

思考：柱体、锥体、球体的体积有什么关系？

例3.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2，求这个长方体的体积；

(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．

解　(1)设长方体的三条棱长分别为a,2a,3a，由题意得a2＋(2a)2＋(3a)2＝(2)2，得a＝2，∴长方体的三条棱长分别为2,4,6，∴其体积V＝2×4×6＝48.

(2)设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.

例4. (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积；

(2)如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．

解　(1)设圆柱的底面半径为R，高为h，当圆柱的底面周长为2π时，h＝4π，

由2πR＝2π，得R＝1，∴V圆柱＝πR2h＝4π2.

当圆柱的底面周长为4π时，h＝2π，

由2πR＝4π，得R＝2，

∴V圆柱＝πR2h＝4π·2π＝8π2.

∴圆柱的体积为4π2或8π2.

(2)作轴截面A1ABB1，设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l，作A1D⊥AB于点D．

则A1D＝3，∠A1AB＝60°，

∴AD＝＝，

∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，

∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3.

∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.

问题5：球的体积

尝试与发现：

（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？

（2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？

解答：

如图，左图的截面为半径为的圆，右图的截面分别为半径为的两个同心圆环

由于右图的圆环面积为

即左右两图的截面面积始终相等，有祖暅原理，左右两个立体图形的体积相等

即：

知识点：

如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝

【对点快练】

1．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)

A．2倍　 B．4倍　

C．8倍　 D．16倍

答案：C　设球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．

2．已知球的表面积是16π，则该球的体积为________.

答案：π　设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，解得R＝2.体积V＝πR3＝π.

问题6：组合体

知识点：

1．概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体．常见的组合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的．

2．求组合体的体积(或表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可．

【对点快练】

1．如图所示的组合体，其结构特征是(　　)

A．两个圆锥

B．两个圆柱

C．一个棱锥和一个棱柱

D．一个圆锥和一个圆柱

答案：D　如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体．

2．如图是由一个圆锥和一个半球组成的组合体，数据如图，则该组合体的体积为________.

答案：96π (cm3)　[因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π (cm3)，

V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π (cm3)，

所以V＝V半球＋V圆锥＝π＋π＝96π (cm3)．

例5.如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高位2cm，现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度位

（1）估计有多少个这样的零件？

（2）如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1）？

解：（1）每个零件的体积为：

因此每个零件的质量为：

因此可估计出零件的个数为：.

（2）每个零件的表面积为：

因此零件的表面积之和约为：

即需要能涂33389的材料

【变式练习】

如图所给图形及数据(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

解　由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和半个球面．S半球＝8π，S圆台侧＝35π，S圆台底＝25π.

故所求几何体的表面积为68π cm2，由

V圆台＝×(π×22＋＋π×52)×4＝52π(cm3)，

V半球＝π×23×＝π (cm3)，所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π (cm3)．

小结：

1．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．

2．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．