数学必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.6 祖暅原理与几何体的体积练习题

11.1.6 祖暅原理与几何体的体积

一、选择题

1．如图，棱柱的体积为1，则四棱锥的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，.故选：C.

2．如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若内切球的体积为，则圆柱的侧面积为(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设球的半径为，则，解得， 所以圆柱的底面半径，母线长为， 所以圆柱的侧面积为，故选C．

3．设矩形边长分别为，将其按两种方式卷成高为和的圆柱（无底面），其体积分别为和,则与的大小关系是(   )

A． B． C． D．不确定

【答案】C

【解析】由题意，当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则，

解得，则圆柱的体积为，

当卷成高为的圆柱时，此时设圆柱的底面半径为，则，

解得，则圆柱的体积为，

又由，所以，即，故选C.

4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛

C．36斛 D．66斛

【答案】B

【解析】设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.

5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

【答案】CD

【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为，∴A错误；

圆锥的侧面积为，∴B错误；

球面面积为，∵圆柱的侧面积为，∴C正确；

，，

，∴D正确.故选：CD.

6．（多选题）如图，正方体的棱长为4，动点，在棱上，且，动点在棱上，则三棱锥的体积（    ）

\

A．与点，的位置有关 B．

C．不确定 D．与点，，的位置均无关，是定值

【答案】BD

【解析】，所以其体积为定值，与点，，的位置均无关.故选：B,D

二、填空题

7．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这 个圆台的体积是         .

【答案】π

【解析】由于圆台上、下底面面积分别是、，故上下底面半径为,

由侧面积公式可得：，则圆台的母线，圆台的高，

这个圆台的体积：.

8．已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．

【答案】3

【解析】设铜球的半径为，则，得。

9．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.

【答案】

【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：

结合图中数据，计算它的体积为.

10．已知直三棱柱底面的一边长为2cm，另两边长都为3cm，侧棱长为4cm，它的侧面积为       

体积为         

【答案】；

【解析】如图所示，.

三、解答题

11．如图所示，多体中，已知平面是边长为3的正方形，，，到平面的距离为2，求该多面体的体积.

【答案】

【解析】如图，连接，则.

，，，

.

.

12．如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，若不计容器的厚度，如何求出球的体积？

(1)求出球的半径；

(2)求球的体积.

【答案】(1)5；(2).

【解析】 (1)设正方体上底面所在平面截球得小圆，

则圆心为正方体上底面正方形的中心，

设球的半径为，根据题意，球心到上底面的距离等于，

而圆的半径为，由球的截面圆性质，得，

解得；

(2)将球的半径代入球的体积公式得.