高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课堂检测

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.6 祖暅原理与几何体的体积课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1－ABC的体积为( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),6)D.eq \f(\r(3),4)
2．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为( )
A.eq \r(3,2)B.eq \r(3,3)
C．2eq \r(3,2)D.eq \r(2)
3．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(7,6)
C.eq \f(4,5)D.eq \f(5,6)
4．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A.eq \f(4π,3)B.eq \f(\r(2)π,3)
C.eq \f(\r(3)π,2)D.eq \f(π,6)
二、填空题
5．一个长方体的三个面的面积分别是eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，则这个长方体的体积为________．
6．已知三棱锥S－ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．
7．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．
三、解答题
8．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
9．如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
[尖子生题库]
10．若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积．
课时作业(十三) 祖暅原理与几何体的体积
1．解析：V＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4).
答案：D
2．解析：设大球的半径为r，则eq \f(4,3)π×13×2＝eq \f(4,3)πr3，
∴r＝eq \r(3,2).
答案：A
3．解析：如图，去掉的一个棱锥的体积是eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(1,2)×\f(1,2)))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,48)，
剩余几何体的体积是1－8×eq \f(1,48)＝eq \f(5,6).
答案：D
4．解析：由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是eq \f(4,3)×π×13＝eq \f(4π,3).
答案：A
5．解析：设长方体的棱长分别为a，b，c，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝eq \r(6).
答案：eq \r(6)
6.
解析：如图，在三棱锥S－ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝eq \f(\r(3),2)×4×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(3),3).在Rt△SAO中，SO＝eq \r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(3),3)))2)＝eq \f(4\r(6),3)，所以V＝eq \f(1,3)×eq \f(4\r(6),3)×eq \f(\r(3),4)×42＝eq \f(16\r(2),3).
答案：eq \f(16\r(2),3)
7．解析：将三棱锥A－DED1选择△ADD1为底面，E为顶点，则VA－DED1＝VE－ADD1＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
8．解：因为V半球＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×43＝eq \f(128,3)π(cm3)，
V圆锥＝eq \f(1,3)πr2h＝eq \f(1,3)π×42×10＝eq \f(160,3)π(cm3)，
因为V半球所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
9．解：设圆台上、下底面半径分别为r，R.
∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝eq \f(A1D,tan60°)＝eq \r(3)，
∴R－r＝eq \r(3)，BD＝A1D·tan60°＝3eq \r(3)，
∴R＋r＝3eq \r(3)，∴R＝2eq \r(3)，r＝eq \r(3)，h＝3，
∴V圆台＝eq \f(1,3)π(R2＋Rr＋r2)h＝eq \f(1,3)π×[(2eq \r(3))2＋2eq \r(3)×eq \r(3)＋(eq \r(3))2]×3＝21π.
10．解：如图所示，
连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝eq \f(1,2)VA－BB1C1C，
又VA－A1B11C1＝eq \f(1,3)S△A1B11C11·h，
VABC－A1B11C1＝S△A1B11C1·h＝m，
∴VA－A1B11C1＝eq \f(m,3)，
∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝eq \f(2,3)m，
∴VA－BEFC＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)m＝eq \f(m,3).
即四棱锥A－BEFC的体积是eq \f(m,3).