人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.6 祖暅原理与几何体的体积教学设计

祖暅原理与几何体的体积

【教学目标】

1．了解柱、锥、台和球的体积计算公式．(重点)

2．能够运用柱、锥、台、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)

3．台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)

【教学过程】

一、基础铺垫

1．祖暅原理

（1）“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．

（2）作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．

2．柱体、锥体、台体和球的体积公式

其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．

二、新知探究

1．求柱体的体积

【例1】如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．

[解]  V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，

V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，

V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，

∴此几何体的体积：

V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．

【教师小结】

计算柱体体积的关键及常用技巧

（一）计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．

（二）常用技巧：

（1）充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．

（2）由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．

2．求锥体的体积

【例2】如图三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

[思路探究]  ―→―→

―→―→

[解]  设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S＝4S.

∴V＝S△ABC·h＝Sh，

V＝S·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴V＝V台－V－V

＝Sh－－＝Sh，

∴体积比为1∶2∶4．

【教师小结】

三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．

3．求台体的体积

【例3】已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2．求正四棱台的体积．

[思路探究]  可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．

[解]  如图所示，正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1．O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．

由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，

在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，

OE＝AB＝10，

∴O1O＝＝12，

V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)

＝2 800 (cm3)．

故正四棱台的体积为2 800 cm3．

【教师小结】

求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．

4．求球的体积

【例4】过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．

[思路探究]  解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．

[解]  如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.

∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，

∴O′为正三角形ABC的中心，

∴AO′＝AB＝ (cm)．

设OA＝R，则OO′＝R，

∵OO′⊥截面ABC，

∴OO′⊥AO′，

∴AO′＝R＝ (cm)，∴R＝2(cm)，

∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．

即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2．

【教师小结】

球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．

5．组合体的表面积和体积

【例5】已知某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(    )

A．24－  B．24－  C．24－π  D．24－

[思路探究]  解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．

A  [该几何体是一个长方体挖去一个半圆柱体，其体积等于3×2×4－3××π×12＝24－.]

【教师小结】

求组合体的表面积与体积的方法

（1）分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．

（2）根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”、“补形”的方法求体积．

（3）根据设计的计算方法求值．

三、课堂总结

1．本节课的重点是掌握柱体、锥体、台体和球的体积的求法，难点是组合体的表面积．

2．本节课要重点掌握的规律方法

（1）求空间几何体的体积的方法．

（2）求与组合体有关的体积的方法．

3．本节课的易错点是求与三视图有关的几何体的体积时，易把相关数据弄错.

四、课堂检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．              (    )

（2）锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． (    )

（3）由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． (    )

[答案]  （1）×  （2）√  （3）√

2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(    )

A．π  B．2π      C．4π    D．8π

B  [设轴截面正方形的边长为a，

由题意知S侧＝πa·a＝πa2．

又∵S侧＝4π，∴a＝2．

∴V圆柱＝π×2＝2π.]

3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.

  [由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]

4．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．

[解]  如图所示，正三棱锥S­ABC．

设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AH⊥BC．

∵△ABC是边长为6的正三角形，

∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.

在△ABC中，

S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.

在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，

∴SH＝＝＝.

∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9．