高中数学人教B版 (2019)必修 第一册1.2.3 充分条件、必要条件第2课时课后复习题

九　充 要 条 件

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.“x>a”是“x>|a|”的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件       D．既不充分也不必要条件

【解析】选B.当x>a时，

如x＝1，a＝－1，x＝|a|，

所以x>aD⇒/x>|a|，显然x>|a|⇒x>a，

“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件．

2．(2020·沈阳高一检测)已知区间M＝，则下列可作为“∀x∈M，x＋1>0”是真命题的充分不必要条件的是(　　)

A．a>－1    B．a>0    C．a≥－1    D．a≤0

【解析】选B.因为M＝，由“∀x∈M，x＋1>0”可得：a＋1>0，即a>－1；要找“∀x∈M，x＋1>0”是真命题的充分不必要条件，即是找a>－1对应集合的真子集；由题中选项，易知，B正确．

3．(2021·郴州高一检测)“0<a<2”是“∀x∈R，x2＋ax＋1>0”成立的(　　)

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C.充要条件        D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.由不等式x2＋ax＋1>0在R上恒成立，可得Δ＝a2－4×1<0，

解得，－2<a<2，

由0<a<2能推出－2<a<2；由－2<a<2不能推出0<a<2.

故“0<a<2”是“∀x∈R，x2＋ax＋1>0”的充分不必要条件．

4．请用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空．

(1)m＝1是函数y＝xm2－4m＋5为二次函数的______条件．

【解析】当m＝1时，函数y＝x2为二次函数．反之，当函数y＝xm2－4m＋5为二次函数时，m2－4m＋5＝2，解得m＝3或m＝1，

所以m＝1是函数y＝xm2－4m＋5为二次函数的充分不必要条件．

(2)△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的______条件．

【解析】三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形，

所以△ABC是锐角三角形⇒∠ABC为锐角，

∠ABC为锐角D⇒/△ABC是锐角三角形，

所以△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的充分不必要条件．

答案：(1)充分不必要　(2)充分不必要

5．已知集合A＝{x|a－2<x<a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是________．

【解析】因为A∩B＝∅，所以

所以0≤a≤2.

答案：0≤a≤2

6．下列各题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”)?

(1)p：∠C＝90°，q：△ABC是直角三角形．

【解析】由题意得，p⇒q，qD⇒/p，

所以p是q的充分不必要条件．

(2)p：a，b至少有一个不为零，q：a2＋b2＞0.

【解析】若a，b至少有一个不为零，则a2，b2至少有一个大于零，所以a2＋b2＞0，反之由a2＋b2＞0也可推出a，b至少有一个不为零，所以p⇔q，

所以p是q的充要条件．

(3)p：a＋1＞b，q：a＞b.

【解析】p：a＋1＞b，q：a＞b，因为a＋1＞a，所以q⇒p，pD⇒/q，所以p是q的必要不充分条件．

 (4)p：－5x2ym与xny是同类项，q：m＋n＝3.

【解析】若－5x2ym与xny是同类项，

则m＝1，n＝2，所以m＋n＝3，

当m＋n＝3时，－5x2ym与xny不一定是同类项，

所以p⇒q，qD⇒/p，所以p是q的充分不必要条件．

【综合突破练】　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·太原高一检测)已知x，y∈R，则“x＋y≤2”是“x≤1且y≤1”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选B.若x＋y≤2，则不一定推出x≤1且y≤1，比如x＝1.5，y＝0.4；但x≤1且y≤1时一定能推出x＋y≤2，故“x＋y≤2”是“x≤1且y≤1”的必要不充分条件．

2．设P，Q是非空集合，甲为P∩Q＝P∪Q；乙为：P⊆Q，那么甲是乙的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.P∩Q＝P∪Q⇒P＝Q⇒P⊆Q，

当PQ时，P∩Q≠P∪Q，

所以P⊆QD⇒/P∩Q＝P∪Q，

所以甲是乙的充分不必要条件．

3．(2021·南京高一检测)如果“1≤x<4”是“x<m”的充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选D.由“1≤x<4”是“x<m”的充分条件

观察数轴可得m≥4.

4．已知a1，a2，b1，b2均为非零实数，不等式a1x＋b1<0与不等式a2x＋b2<0的解所组成的集合分别为集合M和集合N，那么“＝”是“M＝N”的(　　)

A．充分不必要条件     B．既不充分也不必要条件

C．充要条件       D．必要不充分条件

【解析】选D.取a1＝b1＝1，a2＝b2＝－1，

则可得M＝，N＝，

M≠N，

因此不是充分条件，而由M＝N，可知方程a1x＋b1＝0与a2x＋b2＝0的解相同，

则－＝－，即＝，

因此，“＝”是“M＝N”的必要不充分条件．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．对任意实数a，b，c，下列命题中正确的是(　　)

A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件

B．“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

C．“a>b”是“a2>b2”的充分条件

D．“a<5”是“a<3”的必要条件

【解析】选BD.A中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故A为假命题；B中“a＋5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，“a是无理数”⇒“a＋5是无理数”也为真命题，故“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；C中“a>b”⇒“a2>b2”为假命题，“a2>b2”⇒“a>b”也为假命题，故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故C为假命题；D中{a|a<3}是{a|a<5}的真子集，故“a<5”是“a<3”的必要条件，故D为真命题．

6．(2021·武汉高一检测)已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}，则A∩B＝∅的一个充分不必要条件是(　　)

A．m≤－2     B．m<－2

C．m<2      D．－4<m<－3

【解析】选BD.因为集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}，所以A∩B＝∅等价于m＋1≤－1，即m≤－2，对比选项，m<－2，－4<m<－3均为A∩B＝∅的充分不必要条件．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知p：0<x＜3，q：2x－3<m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________.

【解析】因为由2x－3＜m得x＜，

因为p是q充分不必要条件，

所以{x|0＜x＜3}{x|x＜}，

所以≥3，解得m≥3.

答案：[3，＋∞)

8．已知p：m－1<x<m＋1，q：<x<.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．

【解析】因为p是q的必要不充分条件，

所以.

则解得－≤m≤.

当m＝－时，有；

当m＝时，有.

综上所述，实数m的取值范围是.

答案：

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．设p：x>a，q：x>3.

(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【解析】设A＝，B＝.

若p是q的必要不充分条件，则有BA，

所以a<3.

(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

【解析】若p是q的充分不必要条件，则有AB，

所以a>3.

(3)若a是方程x2－6x＋9＝0的根，判断p是q的什么条件．

【解析】因为方程x2－6x＋9＝0的根为3，则有A＝B，所以p是q的充要条件．

10．对于非零实数x，y有x>y，试探求<的充要条件，并加以证明．

【解析】充要条件是xy>0，证明如下：

必要性：由<，知>0，又x>y，

则x－y>0，所以xy>0.

充分性：因为x>y，所以y－x<0.

因为xy>0，所以>0，

所以<0，即<.

综上所述，对于非零实数x，y，当x>y时，<的充要条件是xy>0.

【应用创新练】

1．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】选C.若φ(a，b)＝0，即＝a＋b，

两边平方得ab＝0，

若a＝0，则＝b，所以b≥0，

若b＝0，则＝a，所以a≥0，

故具备充分性．

若a≥0，b≥0，ab＝0，则不妨设a＝0.

φ(a，b)＝－a－b＝－b＝0.故具备必要性．

2．在下列电路图中，分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件．

【解析】如题图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件．

如题图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件．

如题图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件．

如题图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件．