人教B版 (2019)2.1.1 等式的性质与方程的解集一课一练

十　等式的性质与方程的解集

【基础全面练】　(15分钟·35分)

1.下列由等式的性质进行的变形，错误的是(　　)

A．如果a＝3，那么＝

B．如果a＝3，那么a2＝9

C．如果a＝3，那么a2＝3a

D．如果a2＝3a，那么a＝3

【解析】选D.如果a＝3，那么＝，A正确；

如果a＝3，那么a2＝9，B正确；

如果a＝3，那么a2＝3a，C正确；

如果a＝0，两边都除以a，无意义，故D符合题意；

如果a≠0，那么a＝3.

【补偿训练】

(2020·大连高一检测)根据等式的基本性质，下列结论正确的是(　　)

A．若＝，则x＝y

B．若x＝y，则＝

C．若x＋a＝y－a，则x＝y

D．若x＝y，则ax＝by

【解析】选A.A.若＝，根据等式的基本性质，则x＝y，故该项正确，

B．若x＝y，a＝b≠0，则＝，故该项错误，

C．若x＋a＝y－a，则x＝y－2a，故该项错误，

D．若x＝y，a＝b，则ax＝by，故该项错误．

2．(2021·潍坊高一检测)下列分解因式错误的是(　　)

A．a2－5a＋6＝(a－2)(a－3)

B．1－4m2＋4m＝(1－2m)2

C．－4x2＋y2＝－(2x＋y)(2x－y)

D．3ab＋a2b2＋9＝(3＋ab)2

【解析】选B.A选项根据十字相乘分解因式可知正确；

B选项中的1＋4m2－4m＝(1－2m)2，左右两边不相等，所以B是错的；

C选项根据平方差公式可知正确；D选项根据完全平方公式可知正确．

3．方程x2＋2x－3＝0的解集为(　　)

A．{－1，3}     B．{1，－3}

C．{－1，－3}     D．{1，3}

【解析】选B.因为x2＋2x－3＝0，

所以(x－1)(x＋3)＝0，

x1＝1，x2＝－3.

4．当x＝－7时，代数式(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)的值为________.

【解析】因为(2x＋5)(x＋1)－(x－3)(x＋1)

＝2x2＋7x＋5－(x2－2x－3)

＝x2＋9x＋8，

又因为x＝－7，

所以原式＝(－7)2＋9×(－7)＋8＝－6.

答案：－6

5．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，则m的值应为________．

【解析】因为关于x的一元二次方程(m－2)x2＋x＋m2－4＝0有一个根为0，

所以m2－4＝0且m－2≠0，

解得m＝－2.

答案：－2

6．(2021·济宁高一检测)把下列各式分解因式：

(1)x2－4mx－8mn－4n2；

【解析】原式＝－4m(x＋2n)＝(x＋2n)(x－2n)－4m(x＋2n)

＝(x＋2n)(x－2n－4m).

(2)x2－y2＋4x＋6y－5；

【解析】原式＝－＝(x＋2)2－(y－3)2＝(x＋y－1)(x－y＋5).

(3)x3－11x2＋31x－21；

【解析】原式＝x3－7x2－4x2＋28x＋3x－21＝x2(x－7)－4x(x－7)＋3(x－7)

＝(x－7)＝(x－7)(x－1)(x－3).

 (4)x3－4xy2－2x2y＋8y3.

 【解析】方法一：原式＝x3＋8y3－2xy(x＋2y)

＝(x＋2y)－2xy(x＋2y)＝(x＋2y)＝(x＋2y)(x－2y)2.

方法二：原式＝＋＝x2(x－2y)－4y2(x－2y)＝(x－2y)＝(x＋2y)(x－2y)2.

【综合突破练】　(20分钟·40分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(多选题)(2021·西安高一检测)下列式子中变形正确的是(　　)

A．若3x－1＝2x＋1，则x＝0

B．若ac＝bc，则a＝b

C．若＝，则＝

D．若＝，则y＝x

【解析】选CD.对于A选项，两边同时减，得到x＝2，故A不正确；对于B选项，没有说明c≠0，故B不正确；对于C选项，在等式两边同时乘以a，得到＝.故C正确；对于D选项，在等式两边同时乘以5得到y＝x，故D正确．

【补偿训练】

 (多选题)下列方程的解集包含{2}的是(　　)

A．x2＋2x－8＝0

B．x2－4x＋4＝0

C．x(x－2)＋(x－2)＝0

D．2x2－3x－5＝0

【解析】选ABC.A中x2＋2x－8＝(x－2)(x＋4)＝0，故解集包含{2}；

B中x2－4x＋4＝(x－2)2＝0，故解集包含{2}；

C中x(x－2)＋(x－2)＝(x－2)(x＋1)＝0，故解集包含{2}；

D中2x2－3x－5＝(2x－5)(x＋1)＝0，故解集不包含{2}．

【光速解题】选ABC.将x＝2代入方程中逐一检验，易得D项错误．

2．如果x＝y，a为有理数，那么下列等式不一定成立的是(　　)

A．1－y＝1－x     B．x2＝y2

C．＝      D．ax＝ay

【解析】选C.A.因为x＝y，所以－x＝－y.

所以－x＋1＝－y＋1，即1－y＝1－x，故A一定成立，与要求不符；

B．如果x＝y，则x2＝y2，故B一定成立，与要求不符；

C．当a＝0时，＝无意义，故C不一定成立，与要求相符；

D．由等式的性质可知：ax＝ay，故D一定成立，与要求不符．

3．整式－(an＋1)(an－1)＋(an)2(n∈N)化简的结果是(　　)

A．1    B．0    C．－1    D．±1

【解析】选A.－(an＋1)(an－1)＋(an)2＝－(a2n－1)＋a2n＝－a2n＋1＋a2n＝1.

【补偿训练】

如果x2＋mx＋n＝(x－10)(x＋3)恒成立，那么m，n的值为(　　)

A．7，－30    B．－7，－30

C．1，－30    D．－1，－30

【解析】选B.因为(x－10)(x＋3)＝x2－10x＋3x－30＝x2－7x－30＝x2＋mx＋n，

所以m＝－7，n＝－30.

4．如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，则3A－B的值为(　　)

A．2    B．－15    C．17    D．21

【解析】选D.x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，

得A＝2，B＝－15.3A－B＝3×2＋15＝21.

【补偿训练】

分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是(　　)

A．2(x＋y)2－13(x＋y)＋20

B．(2x＋2y)2－13(x＋y)＋20

C．2(x＋y)2＋13(x＋y)＋20

D．2(x＋y)2－9(x＋y)＋20

【解析】选A.(x＋y－4)(2x＋2y－5)

＝[(x＋y)－4][2(x＋y)－5]

＝2(x＋y)2－8(x＋y)－5(x＋y)＋20

＝2(x＋y)2－13(x＋y)＋20.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2021·东莞高一检测)已知实数a，b满足2＋2＝0，则a＋b的值为________.

【解析】由2＋2＝0所以a＋2＝0且b2－2b－3＝0，解得a＝－2，b＝3或－1，

所以，a＋b＝－2－1＝－3或a＋b＝1.

答案：1或－3

【补偿训练】

 已知x2－4x－1＝0，则代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值为________．

【解析】因为x2－4x－1＝0，

所以x2－4x＝1，

所以(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2

＝4x2－12x＋9－(x2－y2)－y2

＝3x2－12x＋9＋y2－y2

＝3(x2－4x)＋9

＝3×1＋9

＝12.

答案：12

6．若m＋n＝5，m－n＝2，则m2－n2的值为______，m3－n3＝________．

【解析】m2－n2＝(m＋n)(m－n)＝5×2＝10，

由m＋n＝5平方得m2＋n2＋2mn＝25①，

由m－n＝2平方得m2＋n2－2mn＝4②，

①－②得mn＝，

故m3－n3＝(m－n)(m2＋mn＋n2)

＝(m－n)[(m＋n)2－mn]

＝2×

＝2×＝.

答案：10　

三、解答题

7．(10分)解方程：

(1)x2－3x＝0.

【解析】x(x－3)＝0，x＝0或x－3＝0，

所以x1＝0，x2＝3.

(2)x＝0.

【解析】x＝0或x－1＝0，

所以x1＝0，x2＝1.

(3)(x－1)2＝3x－3.

【解析】由(x－1)2－3(x－1)＝0，

得(x－1)(x－1－3)＝0，

即x－1＝0或x－4＝0，

所以x1＝1，x2＝4.

【补偿训练】

已知：a，b，c为△ABC的三边长，

(1)当a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc时，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

【解析】(1)△ABC为等边三角形

证明：因为a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ac，

所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0，

所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0，

所以a＝b，b＝c，a＝c，△ABC为等边三角形．

 (2)判断代数式a2－b2＋c2－2ac值的符号．

【解析】a2－b2＋c2－2ac＝(a2－2ac＋c2)－b2

＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)

＝[(a＋b)－c][a－(b＋c)]，

又因为a＋b>c，a<b＋c，

所以[(a＋b)－c][a－(b＋c)]<0，

所以a2－b2＋c2－2ac值的符号为负．