高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值精练

课后素养落实(四十一)　离散型随机变量的均值

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)，则EX＝(　　)

A．2.5　　　　B．3.5　　　　C．0.25　　　　D．2

A　[EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝．]

2．随机变量X的分布列如下表，则EX等于(　　)

A．1.5　　B．1.6　　C．1.7　　D．1.8

A　[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故选A．]

3．甲、乙两工人在同样的条件下生产某种产品，日产量相等，每天出废品的情况如下，则有结论(　　)

A．甲的产品质量比乙的产品质量好一些

B．乙的产品质量比甲的产品质量好一些

C．两人的产品质量一样好

D．无法判断谁的质量好一些

B　[∵甲的废品数的均值为0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，

乙的废品数的均值为0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．

甲的废品数的均值>乙的废品数的均值，

∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些．]

4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于(　　)

A．16　　B．11　　C．2.2　　D．2.3

A　[由已知得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5EX＋4＝5×2.4＋4＝16．故选A．]

5．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望EX为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　[依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝．

若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(X＝2)＝，P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝＝，

故EX＝2×＋4×＋6×＝．]

二、填空题

6．从1，2，3，4，5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的均值为________．

8.5　[从1，2，3，4，5中任取不同的两个数，其乘积X的值为：2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每个值的概率都是．

∴EX＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×＝8.5．]

7．李老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如表：

请一位同学计算ξ的均值，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，该同学给出了正确答案Eξ＝________．

2　[设P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，则2a＋b＝1．

于是，Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．]

8．某地有A、B、C、D四人先后感染了某种流感病毒，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定下，B、C、D直接受A感染的人数X就是一个随机变量，X的均值为________．

　[X可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝×＝，P(X＝2)＝×＋×＝，P(X＝3)＝×＝．

则EX＝1×＋2×＋3×＝．]

三、解答题

9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．

(1)求ξ的分布列；

(2)求ξ的数学期望(均值)．

[解]　(1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6．

P(ξ＝1)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝6)＝，所以ξ的分布列为

(2)Eξ＝1×＋3×＋4×＋6×＝(小时)．

10．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．

(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列．

(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．

[解]　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝．

(2)依题意得，X1的分布列为

X2的分布列为

(3)由(2)得EX1＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，

EX2＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．

因为EX1>EX2，所以应生产甲品牌轿车．

11．已知随机变量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，则m的值为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

A　[由Y＝12X＋7得EY＝12EX＋7＝34，从而EX＝，所以EX＝1×＋2×m＋3×n＋4×＝，又m＋n＋＋＝1，联立解得m＝．故选A．]

12．设l为平面上过点(0，1)的直线，l的斜率k等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离d，则随机变量ξ的数学期望Eξ为(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

B　[当k＝±2时，直线l的方程为±2x－y＋1＝0，此时d＝；当k＝±时，d＝；当k＝±时，d＝；当k为0时，d＝1．由等可能事件的概率公式可得ξ的分布列为

所以Eξ＝×＋×＋×＋1×＝．]

13．(多选题)设随机变量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，则(　　)

A．a＝0.3 B．b＝0.5

C．P(X≤1)＝0.4 D．P(X＞1)＝0.6

ABCD　[根据题意，解得由此易知，ABCD均正确．]

14．(一题两空)一次单元测验由4个选择题组成，每个选择题有4个选项，其中仅有1个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分．一学生选对任意一题的概率为0.9，则该学生在这次测验中选对的题数的均值是________，成绩的均值是________．

3.6　18　[设该学生在这次测验中选对的题数为X，该学生在这次测试中成绩为Y，则Y＝5X．

EX＝0×0.14＋1×C×0.9×0.13＋2×C×0.92×0.12＋3×C×0.93×0.1＋4×0.94＝3.6．

由随机变量均值的性质得EY＝E(5X)＝5×3.6＝18．]

15．某商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品作销毁处理，且两天内的销售情况互不影响，为了解市场的需求情况，现统计该食品在本地区100天的销售量如下表：

视样本频率为概率，回答下列问题：

(1)根据该食品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为X，求X的分布列与数学期望；

(2)以两天内该食品所获得的利润期望为决策依据，该商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？

[解]　(1)根据题意可得，X的所有可能取值为30，31，32，33，34，35，36．

则P(X＝30)＝×＝，

P(X＝31)＝××2＝，

P(X＝32)＝××2＋×＝，

P(X＝33)＝××2＋××2＝，

P(X＝34)＝××2＋×＝，

P(X＝35)＝××2＝，

P(X＝36)＝×＝．

所以X的分布列为

EX＝30×＋31×＋32×＋33×＋34×＋35×＋36×＝32.8．

(2)当购进32份时，利润为

32×4×＋(31×4－8)×＋(30×4－16)×＝107.52＋13.92＋4.16＝125.6(元)．

当购进33份时，利润为

33×4×＋(32×4－8)×＋(31×4－16)×＋(30×4－24)×＝77.88＋30＋12.96＋3.84＝124.68(元)．

125．6＞124.68，

可见，当购进32份时，利润更大．