高中数学苏教版 (2019)必修 第一册8.2 函数与数学模型第2课时综合训练题

课后素养落实(二十二)　函数的最大值、最小值

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)

A．2 B． 

C． D．－

B　[∵函数y＝在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝＝.]

2．函数f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域为(　　)

A．[－6，－2] B．[－11，－2]

C．[－11，－6] D．[－11，－1]

B　[函数f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，

所以当x＝2时，f(x)取得最大值为－(2－2)2－2＝－2；

当x＝5时，f(x)取得最小值为－(5－2)2－2＝－11，

所以函数f(x)的值域是[－11，－2]．故选B.]

3．(多选题)若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可能是(　　)

A．2 B．0 

C．－2 D．1

AC　[当a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2.

当a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2.

综上a＝±2.]

4．函数f(x)＝|1－x|－|x－3|，x∈R的值域为(　　)

A．[－2,2] B．(－2,2]

C．(－2,2) D．[－2,2)

A　[f(x)＝|1－x|－|x－3|＝|x－1|－|x－3|，利用绝对值的几何意义可知f(x)表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴(略)可知值域为[－2,2]．]

5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．a>0 B．a≥0

C．a<0 D．a≤0

C　[令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，图象如图： 

∴f(x)的最小值为f(0)＝f(2)＝0.

而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.]

二、填空题

6．函数f(x)＝|x－2|－2在区间[0,3]上的最小值为________，最大值为________．

－2　0　[f(x)＝图象如图．

由图可知，x＝2时，f(x)min＝－2；

x＝0时，f(x)max＝f(0)＝0.]

7．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{x＋1,3－x}(x∈R)的最小值是________．

2　[画出函数f(x)的图象(图略)，故f(x)的最小值为2.]

8．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．

[2,4]　[f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈[0，m]．

由最小值为1知m≥2.

由最大值为5知f(0)＝5，f(4)＝5.所以2≤m≤4.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝2ax＋(a∈R)．

(1)当a＝时，试判断f(x)在(0,1]上的单调性并用定义证明你的结论；

(2)对于任意的x∈(0,1]，使得f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．

[证明]　(1)∵a＝，∴f(x)＝x＋，取任意的x1，x2，且0<x1<x2≤1，

f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋

＝(x1－x2).  (*)

∵0<x1<x2≤1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，

得(*)式大于0，即f(x1)－f(x2)>0，

所以f(x)在(0,1]上的单调递减．

(2)由f(x)≥6在(0,1]上恒成立，得2ax＋≥6 恒成立，

即2a≥6－2，∈[1，＋∞)⇒max＝9⇒2a≥9，即a≥.

10．已知二次函数y＝f(x)＝x2－2x＋2.

(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；

(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值；

(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．

[解]　y＝f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.

(1)∵对称轴x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，y有最小值，

ymin＝f(1)＝1.

∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴当x＝4时，y有最大值，

ymax＝f(4)＝10.

(2)∵1∉[2,3]，且1<2，∴f(x)在[2,3]上是单调增函数，

∴当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝2，

当x＝3时，f(x)max＝f(3)＝5.

(3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，

当t＋1<1，即t<0时，函数在[t，t＋1]上为减函数，

g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；

当t＋1≥1且t<1，即0≤t<1时，g(t)＝f(1)＝1；

当t≥1时，函数在[t，t＋1]上为增函数，

g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.

∴g(t)＝

1．若函数f(x)＝在区间[2,4]上的最小值为5，则k的值为(　　)

A．10 B．10或20

C．20 D．无法确定

C　[当k＝0时，不满足．

当k>0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是减函数，

∴f(x)min＝f(4)＝＝5，

∴k＝20满足条件，

k<0时，y＝f(x)＝在[2,4]上是增函数，

f(x)min＝f(2)＝＝5，

∴k＝10，

又∵k<0，∴k＝10舍去，

综上有k＝20.]

2．(多选题)已知函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值可能是(　　)

A．30 B．40

C．80 D．180

ABD　[由于二次函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上既没有最大值也没有最小值，因此函数f(x)＝4x2－kx－8在区间(5,20)上是单调函数．二次函数f(x)＝4x2－kx－8图象的对称轴方程为x＝，因此≤5或≥20，所以k≤40或k≥160.]

3．函数g(x)＝2x＋的最小值为________，f(x)＝2x－的值域为________．

－2　　[g(x)＝2x＋在[－1，＋∞)上为增函数，所以g(x)min＝g(－1)＝－2.

设＝t(t≥0)，则x＋1＝t2，即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝22－(t≥0)，∴当t＝时，ymin＝－.

∴f(x)的值域为.]

4．对任意的两个实数a，b，定义min(a，b)＝若f(x)＝4－x2，g(x)＝3x，则min(f(x)，g(x))的最大值为________．

3　[f(x)－g(x)＝4－x2－3x，

当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)≥0，即－4≤x≤1时，f(x)≥g(x)．

当4－x2－3x＝－(x－1)(x＋4)＜0，即x＞1或x＜－4时，f(x)＜g(x)，

所以min(f(x)，g(x))＝作出大致图象如图所示，由图象可知函数的最大值在点A处取得，最大值为f(1)＝3.]

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f ＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

[解]　(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.

(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，

当x>1时，f(x)<0，∴f <0，

即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，

∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数，

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f ＝f(x1)－f(x2)，得f ＝f(9)－f(3)，

而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.