高中数学8.2 函数与数学模型学案

这是一份高中数学8.2 函数与数学模型学案，共13页。学案主要包含了指数爆炸，函数模型增长差异的比较等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解指数爆炸、对数增长等含义.2.借助信息技术，作出函数图象，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.3.了解不同函数模型的“变化趋势”，加深对自然现象的理解．
导语
如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！
一、指数爆炸(求值)
知识梳理
指数变化
当a>1时，指数函数y＝ax随着x的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势，因此“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容．
当0例1 四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
则关于x呈指数型函数变化的变量是________．
答案 y2
解析 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．
反思感悟 指数函数增长的特点
指数函数y＝ax(a＞1)是增函数，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．
跟踪训练1 下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最符合的函数模型是( )
A.一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 C
解析 画出图形，如图所示．
随着自变量x的增加，函数值y以“爆炸”式的速度增长，故为指数型函数模型．
二、函数模型增长差异的比较(图象)
问题 把一次函数y＝2x，对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，并比较它们的增长差异．
提示
一次函数y＝2x匀速增长，指数函数y＝2x增长越来越快，对数函数y＝lg x增长最慢．
知识梳理
指数函数与对数函数、幂函数的增长趋势比较
例2 (1)下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 023x
B．y＝x2 023
C．y＝lg2 023x
D．y＝2 023x
答案 A
(2)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)之间的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与(p>0，k>0)可供选择．
试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式．
解 由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，
而函数(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ka2＝24，,ka3＝36，))
解得k＝eq \f(32,3)，a＝eq \f(3,2)，故该函数模型的解析式为y＝eq \f(32,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))x(x∈N＋)．
反思感悟 指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法
(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．
(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．
跟踪训练2 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 022)，g(2 022)的大小．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)因为f(1)>g(1)，f(2)f(9)g(10)，
所以1所以x1<6x2，
从图象上可以看出，
当x1所以f(6)当x>x2时，f(x)>g(x)，
所以f(2 022)>g(2 022)．
又因为g(2 022)>g(6)，
所以f(2 022)>g(2 022)>g(6)>f(6)．
1．知识清单：
(1)指数增长．
(2)幂函数、指数函数、对数函数增长趋势的比较．
2．方法归纳：数形结合法．
3．常见误区：函数值大小关系比较时没有注意所给区间．
1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是( )
A．y＝50x B．y＝1 000x
C．y＝0.4×2x－1 D．y＝eq \f(1,1 000)ex
答案 D
解析 指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快．
2．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．幂函数
C．指数型函数 D．对数型函数
答案 D
解析 初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y与x的关系．
3．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型为( )
A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝lg2t
C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝2t2
答案 A
解析 由散点图可知，与指数函数拟合的最贴切．
4．若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，lgax的大小关系是____________．
答案 ax＞xn＞lgax
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝lg2t
答案 D
2．当2＜x＜4时，2x，x2，lg2x的大小关系是( )
A．2x＞x2＞lg2x B．x2＞2x＞lg2x
C．2x＞lg2x＞x2 D．x2＞lg2x＞2x
答案 B
解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝lg2x，y＝x2，y＝2x的图象(图略)，在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝lg2x的图象，所以x2＞2x＞lg2x.
方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．可取x＝3，经检验易知x2>2x>lg2x.
3．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y(万公顷)关于年数x(年)的函数关系较为近似的是( )
A．y＝0.2x B．y＝eq \f(1,10)(x2＋2x)
C．y＝eq \f(2x,10) D．y＝0.2＋lg16x
答案 C
解析 将x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分别代入验算．
4．有一组实验数据如下表所示：
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝lgax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝lgax＋b(a>1)
答案 C
解析 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变．
5．某新款电视投放市场后第一个月销售了100台，第二个月销售了200台，第三个月销售了400台，第四个月销售了790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是( )
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100x
答案 C
解析 将数据代入各函数中，易知指数型函数能较好地与题中的数据相对应．
6．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)，以下说法正确的是( )
A．当x>1时，乙走在最前面
B．当01时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
答案 BCD
解析 f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝lg2(x＋1)相应的函数模型分别是指数型函数，二次函数，一次函数和对数型函数模型．当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，f1(5)>f2(5)，A不正确；根据四种函数的变化特点，对数型函数的变化是先快后慢，当x＝1时甲、乙、丙、丁四个物体又重合，从而可知当01时，丁走在最后面，B正确；指数函数变化是先慢后快，当运动的时间足够长，最前面的一定是按照指数型函数运动的物体，即一定是甲物体，D正确；结合对数型和指数型函数的图象变化情况，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，C正确．
7．物价上涨是当前的热点话题，特别是肉价，我国某部门为尽快实现稳定肉价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是________．
答案 ②
解析 Q的值随t的变化越来越快，即运输效率在逐步提高，只有②吻合．
8.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：
(1)通话5分钟，需付电话费________元；
(2)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为____________．
答案 (1)6 (2)y＝1.2t(t≥3)
解析 (1)由图象知，当t＝5时，y＝6，需付电话费6元．
(2)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，
且经过(3,3.6)和(5,6)两点，
故设函数关系式为y＝kt＋b，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3k＋b＝3.6，,5k＋b＝6，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1.2，,b＝0.))
故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y＝1.2t(t≥3)．
9.函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．
解 (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当0f(x)；
当x1g(x)；
当x>x2时，g(x)>f(x)；
当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．
10．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.
(1)求y与x的关系式；
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效；而低于500 mg时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过多少小时(精确到0.1)?
(参考数据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1)
解 (1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg，经过x个小时后，药物在病人血液中的量为y＝2 500×(1－20%)x＝2 500×0.8x(mg)，即y与x的关系式为y＝2 500×0.8x.
(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg以上时，才有疗效，而低于500 mg时，病人就有危险，
∴令2 500×0.8x≥500，即0.8x≥0.2.
∵0.87.2≈0.2，y＝0.8x是减函数，
∴x≤7.2，
∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时．
11．下列对函数g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )
A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢
B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快
C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢
D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快
答案 C
解析 观察函数
g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x与在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．
12．某种纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质的20%，要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需过滤的次数为(参考数据：lg 2≈0.301 0)( )
A．10 B．11 C．12 D．13
答案 B
解析 设过滤次数为x，原有杂质为a，
则a(1－20%)x＜a·10%，
所以x＞eq \f(lg 0.1,lg 0.8)＝eq \f(1,1－3lg 2)≈10.31，
即x＞10.31，即至少需要过滤11次．
13．安徽怀远石榴(Punicagranatum)自古就有“九州之奇树，天下之名果”的美称，今年又喜获丰收．某中学数学兴趣小组进行社会调查，了解到某石榴合作社为了实现100万元利润目标，准备制定激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过6万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不能超过利润的20%.同学们利用函数知识设计了如下函数模型，其中符合合作社要求的是( )
(参考数据：1.015100≈4.432，lg 11≈1.041)
A．y＝0.04x
B．y＝1.015x－1
C．y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,19)－1))
D．y＝lg11(3x－10)
答案 D
解析 对于函数y＝0.04x，当x＝100时，y＝4>3，不符合题意；
对于函数y＝1.015x－1，当x＝100时，y＝3.432>3，不符合题意；
对于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,19)－1))，不满足单调递增，不符合题意；
对于函数y＝lg11(3x－10)，满足当x∈(6,100]时，函数为增函数，
且y≤lg11(3×100－10)＝lg1129014．如图，与函数y＝2x，y＝5x，，y＝lg0.5x，y＝lg0.3x相对应的图象依次为__________________．(只填序号)
答案 (2)(1)(3)(5)(4)
解析 (1)(2)分别为y＝5x和y＝2x的图象；
(3)为的图象；(4)(5)分别为y＝lg0.3x和y＝lg0.5x的图象．
15．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________.
答案 (4) (1) (3) (2)
解析 A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；
B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；
C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，
但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．
16．假设有一套住房从2012年的20万元上涨到2022年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2012年以来经过的年数．
(1)求函数P1＝f(t)的解析式；
(2)求函数P2＝g(t)的解析式；
(3)完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．
解 (1)因为P1是按直线上升的房价，
设f(t)＝kt＋b(k≠0)，t≥0，
由f(0)＝k·0＋b＝20，
f(10)＝k·10＋b＝40，
可得k＝2，b＝20，
即P1＝2t＋20，t≥0.
(2)因为P2是按指数增长的房价，
设g(t)＝a0at(a＞0且a≠1)，t≥0，
由g(0)＝a0a0＝20，g(10)＝a0a10＝40，
可得a0＝20，
即P2＝20×，t≥0.
(3)由(1)和(2)知，当t＝5时，
P1＝30，P2＝20eq \r(2)；
当t＝15时，P1＝50，P2＝40eq \r(2)；
当t＝20时，P1＝60，P2＝80，
则表格如下：
则图象为
根据表格和图象可知，房价按函数P1＝f(t)呈直线上升，每年的增加量相同，保持相同的增长速度；按函数P2＝g(t)呈指数增长，每年的增加量越来越大，开始增长慢，然后会越来越快，但保持相同的增长比例．x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1 024
32 768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
x
3
4
5
6
7
y
3.38
5.06
7.59
11.39
67.09
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝lgax(a>1)
y＝xα(α>0)
在(0，＋∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随α值的不同而不同
增长速度
ax的增长快于xα的增长，xα的增长快于lgax的增长
增长后果
当x足够大时，有ax>xα>lgax(a>1)
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
40
P2/万元
20
40
t
0
5
10
15
20
P1/万元
20
30
40
50
60
P2/万元
20
20eq \r(2)
40
40eq \r(2)
80