苏教版 (2019)必修 第一册7.4 三角函数应用同步训练题

课后素养落实(四十四)　函数的实际应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是(　　)

A．y＝2x　　　　　 B．y＝2x－1

C．y＝2x D．y＝2x＋1

D　[分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个．]

2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(　　)

A．310元 B．300元

C．390元 D．280元

B　[由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.]

3．有一组实验数据如下表所示：

则能体现这些数据关系的函数模型是(　　)

A．u＝log2t B．u＝2t－2

C．u＝ D．u＝2t－2

C　[可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它，散点图如图所示．

由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，排除B，故选C.]

4．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)

A．y＝100x　 B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x 　 D．y＝100log2x＋100

C　[根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．故选C.]

5．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为(　　)

A．60　 B．75 

C．90　 D．100

B　[由已知，得a＝a·e－50k，∴e－k＝.

设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则a＝a·e－kt1，∴＝(e－k)t1＝

，∴＝，t1＝75.]

二、填空题

6．已测得(x，y)的两组值为(1,2)，(2,5)，现有两个拟合模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1.若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．

甲　[对于甲：x＝3时，y＝32＋1＝10，对于乙：x＝3时，y＝8，因此用甲作为拟合模型较好．]

7．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.

9　[设出租车行驶x km时，付费y元，

则y＝

由y＝22.6，解得x＝9.]

8．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

8　[设至少过滤n次才能达到市场需求，则

2%n≤0.1%，即n≤，

所以nlg ≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.]

三、解答题

9．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升．某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如表：

(1)有下列函数模型：

①y＝a·bx－2 016；②y＝a(x－2 016)＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)．试从以上函数模型中，选择模型________(填模型序号)，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系，并直接写出所选函数模型的解析式；

(2)若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

[解]　(1)选择模型①，所选函数模型的解析式为y＝4×x－2 016.

(2)∵y＝4×x－2 016，

∴令y>40，得4×x－2 016>40，

∴x－2 016>10，

∴x－2 016>10＝≈5.678 6，

∴x>2 021.678 6，

∴从2022年开始，该城市的包装垃圾将超近40万吨．

10．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

(3)今后最多还能砍伐多少年？

[解]　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝a，

即(1－x)10＝，

解得x＝1－.

(2)设经过m年剩余面积为原来的，

则a(1－x)m＝a，

即＝，＝，

解得m＝5，

故到今年为止，已砍伐了5年．

(3)设从今年开始，再砍伐n年，

则n年后剩余面积为a(1－x)n.

令a(1－x)n≥a，

即(1－x)n≥，≥，≤，

解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．

1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：

要使收入每天达到最高，则每间应定价为(　　)

A．20元　 B．18元　　　

C．16元　 D．14元

C　[每天的收入在四种情况下分别为20×65%×100＝1 300(元)，18×75%×100＝1 350(元)，16×85%×100＝1 360(元)，14×95%×100＝1 330(元)．]

2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)

A．1010.1　　 B．10.1 

C．lg 10.1　　 D．10－10.1

A　[根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，把m1与m2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg，得lg ＝10.1，所以＝1010.1，故选A.]

3．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．

已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．

60,16　[因为组装第A件产品用时15分钟，

所以＝15，①

所以必有4<A，且＝＝30，②

联立①②解得c＝60，A＝16.]

4．某地区发生里氏8.0级特大地震．地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：

注：地震强度是指地震时释放的能量．

地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a，b为常数)．利用散点图(如图)可知a的值等于________．(取lg 2≈0.3进行计算)

　[由记录的部分数据可知

x＝1.6×1019时，y＝5.0，

x＝3.2×1019时，y＝5.2.

所以5.0＝alg (1.6×1019)＋b，  ①

5．2＝alg (3.2×1019)＋b，  ②

②－①得0.2＝alg ，0.2＝alg 2.

所以a＝＝＝.]

已知某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝

(1)写出年利润W(单位：万美元)关于年产量x(单位：万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

[解]　(1)当0＜x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40；

当x＞40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.

所以W＝

(2)①当0＜x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104，

所以Wmax＝W(32)＝6 104.

②当x＞40时，W＝－－16x＋7 360＝7 360－≤7 360－2＝5 760，

当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，等号成立，

即W的最大值为5 760.

综上知，当年产量为32万部时，取得最大利润为6 104万美元．