人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时练习题

8.3　简单几何体的表面积与体积

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

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1.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B的体积是(　　)

A. B. C. D.

解析因为VC-A'B'C'=V柱=,

所以VC-AA'B'B=1-.

答案C

2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面A1B1C1D1内任意一点,则四棱锥P-ABCD的体积为(　　)

A. B. C. D.

解析因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,

点P是面A1B1C1D1内任意一点,

所以点P到平面ABCD的距离d=AA1=1,

S正方形ABCD=1×1=1,所以四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=×AA1×S正方形ABCD=×1×1=.

答案B

3.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为V,点P,Q分别在侧棱AA'和CC'上,AP=C'Q,则四棱锥B-APQC的体积为(　　)

A. B.

C. D.

答案B

4.正三棱锥的底面边长为a,高为a,则此棱锥的侧面积等于(　　)

A.a2 B.a2 C.a2 D.a2

解析侧棱长为a,斜高为,故S侧=×3×a×a2.

答案A

5.已知正六棱台的两底面边长分别为1 cm和2 cm,高是1 cm,则它的侧面积是(　　)

A. cm2 B.9 cm2 C. cm2 D.3 cm2

解析作出正六棱台的一部分如图所示,由题意可知,四边形ABB1A1为等腰梯形,OO1为高,且OO1=1 cm,AB=1 cm,A1B1=2 cm.取AB和A1B1的中点C,C1,连接OC,CC1,O1C1,则C1C为正六棱台的斜高,且四边形OO1C1C为直角梯形.根据正六棱台的性质,可得OC= cm,O1C1= cm,故CC1= cm.又上、下底面的周长分别为c=6AB=6 cm,c'=6A1B1=12 cm.故正六棱台的侧面积S正六棱台侧=(c+c')h'=×(6+12)× (cm2).

答案A

6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,F为线段B1C上的一点,则三棱锥F-DED1的体积为　　　　　. 

答案

7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4 cm,AC=3 cm,AA1=5 cm,BD=2 cm,则截去的三棱锥的体积为　　　　cm3,剩余部分的体积为　　　　cm3. 

答案6　24

8.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F分别为AC,AB的中点,平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V2的两部分,则V1∶V2=　　　　　. 

解析设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.

因为E,F分别为AC,AB的中点,所以S△AEF=S.

所以V1=Sh,V2=V-V1=Sh.所以V1∶V2=7∶5.

答案7∶5

9.如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,求此正三棱锥的表面积.

解如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h',取AB的中点E,连接SE,OE,则SE⊥AB,SE=h'.

∵S侧=2S底,∴×3a·h'=2×a2.∴a=h'.

∵SO⊥OE,

∴SO2+OE2=SE2,

即32+=h'2,

∴h'=2,

∴a=h'=6.

∴S底=a2=×62=9,S侧=2S底=18.

∴S表=S侧+S底=18+9=27.

10.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高.

解如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O',O分别为上、下底面的中心,D,D'分别为BC,B'C'的中点,则DD'是等腰梯形BCC'B'的高,

所以S侧=3××(20+30)·DD'=75DD'.

又A'B'=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面的面积之和为

S上+S下=×(202+302)=325(cm2).

由S侧=S上+S下,得75DD'=325,

所以DD'= cm.

又O'D'=×20=(cm),OD=×30=5(cm),

所以棱台的高为

O'O=

=

=4(cm).