2021学年8.3 简单几何体的表面积与体积巩固练习

这是一份2021学年8.3 简单几何体的表面积与体积巩固练习，共7页。
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥B­AB1C的体积为( )
A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),6) D． eq \f(\r(3),4)
【解析】选D.＝＝ eq \f(1,3) S△ABCh
＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(3),4) ×3＝ eq \f(\r(3),4) .
【加固训练】
把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体则所有小正方体的表面积为________．
【解析】原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为 eq \f(1,3) a，每个小正方体的表面积S1＝ eq \f(1,9) a2×6＝ eq \f(2,3) a2，所以27个小正方体的表面积是 eq \f(2,3) a2×27＝18a2.
答案：18a2
2．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2) C． eq \f(2,3) D． eq \f(3,4)
【解析】选C.因为VC­A′B′C′＝ eq \f(1,3) V柱＝ eq \f(1,3) ，
所以VC­AA′B′B＝1－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(2,3) .
3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A，C，B1，D1为顶点的正三棱锥的表面积为4 eq \r(3) ，则该正方体的棱长为( )
A． eq \r(2) B．2 C．4 D．2 eq \r(2)
【解析】选A.设正方体棱长为a，侧面的对角线长为 eq \r(2) a，
所以正三棱锥A­CB1D1的棱长为 eq \r(2) a，其表面积为4× eq \f(\r(3),4) ×( eq \r(2) a)2＝4 eq \r(3) ，可得a2＝2，即a＝ eq \r(2) .
4．三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，则三棱锥A1­ABC，B­A1B1C，C­A1B1C1的体积之比为( )
A．1∶1∶1 B．1∶1∶2
C．1∶2∶4 D．1∶4∶4
【解析】选C.如图，设棱台的高为h，
S△ABC＝S，则＝4S.
所以＝ eq \f(1,3) S△ABC·h＝ eq \f(1,3) Sh，
＝ eq \f(1,3) ·h＝ eq \f(4,3) Sh.
又＝ eq \f(1,3) h(S＋4S＋2S)＝ eq \f(7,3) Sh，
所以＝－－
＝ eq \f(7,3) Sh－ eq \f(Sh,3) － eq \f(4Sh,3) ＝ eq \f(2,3) Sh.
所以体积比为1∶2∶4.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2021·新乡高一检测)如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为________．
【解析】设正四棱柱的底面边长为m，则4(42－m2)＝60，解得m＝1，
所以该几何体的表面积为：42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.
答案：110
6．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是 eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(6) ，则这个长方体的体积为________．
【解析】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，)) 三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝ eq \r(6) .
答案： eq \r(6)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为780 cm2，求其体积．
【解析】正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．
设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．
因为S侧＝4× eq \f(1,2) ×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，
所以EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝ eq \f(1,2) A1B1＝5 cm，OE＝ eq \f(1,2) AB＝10 cm，
所以O1O＝ eq \r(132－（10－5）2) ＝12(cm).
所以该正四棱台的体积为V＝ eq \f(1,3) ×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3).
8．如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2.上面是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积．
【解析】下面是一个直三棱柱，由题意可知S底＝ eq \f(1,2) ·2·2＝2，S侧面＝3×2＋3×2＋3× eq \r(22＋22) ＝12＋6 eq \r(2) ，
上面是一个三棱锥，除底面BCE外的表面积S1＝ eq \f(1,2) ×3×2＋ eq \f(1,2) ×3×2 eq \r(2) ＋ eq \f(1,2) ×2× eq \r(13)
＝3＋3 eq \r(2) ＋ eq \r(13) ，
所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9 eq \r(2) ＋ eq \r(13) .
V＝V三棱锥＋V三棱柱＝ eq \f(1,3) ×2×3＋2×3＝2＋6＝8.
【综合突破练】 (20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为( )
A． eq \f(3,2) B． eq \f(7,4) C．2 D． eq \f(9,4)
【解析】选D.因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，
所以棱柱EFCB­E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝ eq \f(3,4) S△ABC×3＝ eq \f(9,4) S△ABC.
设甲中水面的高度为h，则S△ABC×h＝ eq \f(9,4) S△ABC，
解得h＝ eq \f(9,4) .
2．(多选题)长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则( )
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3 eq \r(2)
D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2 eq \r(5)
【解析】选BC.长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误．长方体的体积为3×2×1＝6，B正确．如图①所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形，如图②所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，
则有AC1＝ eq \r(26) ，即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是 eq \r(26) ；如图③所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝ eq \r(32＋32) ＝3 eq \r(2) ，即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3 eq \r(2) ；如图④所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，
则有AC1＝ eq \r(42＋22) ＝2 eq \r(5) ，即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2 eq \r(5) .
因为3 eq \r(2)