人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义课后复习题

专题07 导数的概念及其意义、导数的运算

一、单选题

1．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））已知，等于（  ）

A．1 B．-1 C．3 D．

【答案】C

【解析】

因为，

所以.

故选C

2．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））设函数在处存在导数为2，则（    ）.

A． B．6 C． D．

【答案】A

【解析】

根据导数定义，

所以选A

3．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））函数在处的切线方程是(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

求曲线y＝exlnx导函数，可得f′（x）＝exlnx

∴f′（1）＝e，

∵f（1）＝0，∴切点（1，0）．

∴函数f（x）＝exlnx在点（1，f（1））处的切线方程是：y﹣0＝e（x﹣1），

即y＝e（x﹣1）

故选：A．

4．（2020·蚌埠田家炳中学高二开学考试（理））曲线在点（1,1）处切线的斜率等于（     ）.

A． B． C．2 D．1

【答案】C

【解析】

由，得，故，故切线的斜率为，故选C.

5．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））若f′(x0)＝－3，则等于(　　)

A．－3 B．－6

C．－9 D．－12

【答案】D

【解析】

分析：

由于f′(x0)＝＝－3，而的形态与导数的定义形态不一样，故需要对转化成

利用＝

即可求解.

详解：

f′(x0)＝＝－3，

＝

＝

＝

＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.

答案：D

6．（2020·江西省奉新县第一中学高二月考（理））已知的导函数为，且在处的切线方程为，则(    )

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

根据题意，切线斜率即为，故；

又因为点满足切线方程，即；

故.

故选：B.

7．（2020·黄冈中学第五师分校高二期中（理））函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正，

，

，可看作过和的割线的斜率，由图象可知，

.

故选：.

8．（2020·湖北省高二期中）若函数与图象在交点处有公切线，则（    ）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【解析】

，.

由于函数与图象在交点处有公切线，

所以，即.

所以.

故选：A

二、多选题

9．（2020·江苏省高二期中）直线能作为下列（    ）函数的图像的切线.

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】

函数，可得不成立；所以不正确；

  ，可以成立；所以正确；

，，可以成立；所以正确；

，可成立．所以正确；

故直线能作为函数图象的切线，

故选：BCD．

10．（2019·山东省高二期中）设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

因为，故可得；

设切线的倾斜角为，则，

故可得，

故选：CD.

11．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）已知点在函数的图象上，则过点A的曲线的切线方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

因为点在函数的图象上，所以．

设切点，则由得，，即，

所以在点处的切线方程为：，即．

而点在切线上，∴， 即，

解得或，∴切线方程为：和．

故选：AD．

12．（2020·江苏省高二期中）在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的距离可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】

设直线与曲线相切于点，

则，因为解得，即，

故曲线与直线的最短距离为

所以可以为

故选：CD

三、填空题

13．（2020·江西省石城中学高二月考（文））曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

,,

∴切线方程为，即

故答案为：

点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

14．（2020·横峰中学高二开学考试（文））曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】

则

所以

故答案为-3.

15．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线在点处的切线方程为，则______．

【答案】

【解析】

曲线，

则，

曲线在点处的切线方程为，

所以当时，满足，

解得，

代入并由正切函数的差角公式可得

，

故答案为：.

16．（2020·浙江省高三其他）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时，他将切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．现已知直线是函数的切线，也是函数的切线，则实数____，_____．

【答案】-1    -2   

【解析】

由题意可知，故，则函数的切点为，代入，得；又，故，则函数的切点为，代入，得．

故答案为：－1；－2．

四、解答题

17．（2020·江苏省邗江中学高一期中）求下列函数的导数：

（1）               （2）

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1），则；

（2），则.

18．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）求下列函数的导数：

（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）

；

（2）

；

（3）

19．（2020·阳江市第三中学高二月考）已知函数

（Ⅰ）求这个函数的导数；

（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）因为，所以；

（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，

所以切线的斜率是，

又，所以切线方程为，整理得.

20．（2020·定远县育才学校高二月考（理））已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.

（I）求和的值.

（II）求函数的解析式.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．

故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．

得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．

（2）∵f（x）过点P（0，2）

∴d=2

∵f（x）=x3+bx2+cx+d

∴f′（x）=3x2+2bx+c

由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6

又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1

联立方程得

故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2

21．（2020·江苏省高二期中）设，，，，.

（1）求及；

（2）求曲线在处的切线方程.

【答案】（1），；（2）5x-16y+11=0

【解析】

（1）当x=5时，，

函数的导数，

函数在x=5处的切线斜率：

；

（2），

所以，

x=5处的切线斜率：，

y=，

所以切点坐标为，

则切线方程为：，

化简得5x-16y+11=0．

故切线方程为：5x-16y+11=0．

22．（2020·攀枝花市第十五中学校高二期中（文））设函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求的解析式；

（2）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.

【答案】（1）；（2）证明见解析，.

【解析】

（1）将点的坐标代入直线的方程得，

，则，直线的斜率为，

于是，解得，故；

（2）设点为曲线上任意一点，由（1）知，

，又，

所以，曲线在点的切线方程为，

即，

令，得，从而得出切线与轴的交点坐标为，

联立，解得，

从而切线与直线的交点坐标为.

所以，曲线在点处的切线与直线、所围成的三角形的面积为

故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值且此定值为.