专题5.1 导数的概念及其意义、导数的运算（B卷提升篇）

专题5.1导数的概念及其意义、导数的运算（B卷提升篇）

（人教A版第二册,浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2020·辽宁高二期末）已知函数，若，则实数的值为（    ）

A．2 B．1 C． D．

【答案】A

【解析】

根据题意，函数，

其导数，则，

又由，即，解可得；

故选：A.

2.（2019·广东湛江·期末（文））已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，，因此，.

故选：A.

3．（2020·霍邱县第二中学开学考试（理））已知，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】A

【解析】

函数，则，

令代入上式可得，则，

所以，

则，

故选：A.

4.（2020·广西月考（理））近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长

速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量

的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，

故函数的图象应一直下凹的.

故选B.

5．（2020·江苏南通·高三月考）已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

详解：

，

将代入得，故选D．

6．（2020·陕西省丹凤中学一模（理））点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】

由，

则，

则，

又，

所以，

故选：D.

7．（2020·霍邱县第二中学开学考试）若曲线在处的切线与直线互相垂直，则实数等于（   ）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

【答案】D

【解析】

由题可得：，，

曲线在处的切线的斜率为1，
曲线在处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为，

，解得：；

故答案选D.

8．（2019·江西修水·期末（理））已知过点P作曲线y＝x3的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是(　　)

A．(0,1) B．(0,0)

C．(1,1) D．(－2，－1)

【答案】C

【解析】

的导数为，

设切点为，可得切线的斜率为，

切线的方程为，

若，则，解得，只有一解；

若，则，可得，只有一解；

若，则，可得，

即为，解得或，有两解；

若，则，

可得，

由

当时，递减；当或时，递增．

可得为极小值，为极大值，

则有3个不等实数解．

故选：C．

9．（2020·河北衡水·月考（理））已知M为抛物线上一点，C在点M处的切线交C的准线于点P，过点P向C再作另一条切线，则的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设 ，由题意知，，则，

C在点M处的切线，所以

所以 ，则，

将代入的方程可得，即

抛物线的准线方程为：

则.设与曲线C的切点为，

则，解得或（舍去），

则，所以的方程为.

故选：D

10．（2020·江苏省江浦高级中学月考）直线是曲线和曲线的公切线，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，

，则，由，可得，

则，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，可得，①

，则，由，可得，

，即点，

将点的坐标代入直线的方程可得，，②

联立①②可得，.

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______.

【答案】

【解析】

因为函数，

所以，

又因为曲线在处的切线与直线平行，

所以，

解得，

故答案为：

12.（2020·全国月考）已知函数，则在曲线的所有切线中，斜率的最大值为______.

【答案】

【解析】

因为，所以，

因为当时取得最大值为，

所以根据导数的几何意义可知，曲线的切线中斜率的最大值为.

故答案为：.

13．（2020·甘肃省高三二模（文））已知曲线在点处的切线方程为，则______．

【答案】

【解析】

曲线，

则，

曲线在点处的切线方程为，

所以当时，满足，

解得，

代入并由正切函数的差角公式可得

，

故答案为：.

14．（2019·浙江西湖·学军中学高二期中）过原点作曲线的切线，则切点的坐标为______，切线的斜率为______．

【答案】（1,） e

【解析】

设切点为，因为y=ex，所以，所以切线方程为：，因为切线方程过原点，把原点坐标代入，得，所以切点坐标为，切线的斜率为．

15.（2020·山东省青岛市二模）已知函数（为自然对数的底数）的图象恒过定点，

（1）则点的坐标为__________；

（2）若在点处的切线方程，则__________.

【答案】       

【解析】

当时，，点的坐标为；

，，解得：.

故答案为：；.

16．（2020·宁波市北仑中学高二期中）设曲线在点处的切线与曲线上点处的切线垂直，则直线的方程为________，的坐标为________.

【答案】       

【解析】

由可知 ，当 时，切线的斜率 ，

则，即切线的方程为；设，则 ，由，

则，所以点处的切线斜率为 .由两直线垂直，可得 ，

解得或（舍去），则，所以.

故答案为: ;.

17．（2020·湖南天心·长郡中学月考（文））已知曲线：，曲线：，

（1）若曲线在处的切线与在处的切线平行，则实数________；

（2）若曲线上任意一点处的切线为，总存在上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为________.

【答案】－2       

【解析】

 (1),则曲线在处的切线的斜率,

在处的切线的斜率,

依题意有,即;

(2)曲线上任意一点处的切线的斜率,

则与垂直的直线的斜率为,

而过上一点处的切线的斜率,

依题意必有,解得,

故答案为:.

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18.( 2020·吉林蛟河一中月考（文））已知函数

（Ⅰ）求这个函数的导数；

（Ⅱ）求这个函数在处的切线方程.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）因为，所以；

（Ⅱ）由题意可知，切点的横坐标为1，

所以切线的斜率是，

又，所以切线方程为，整理得.

19．（2020·广西钦州·高二期末（文））函数在点处的切线为．

（1）若与直线平行，求实数的值；

（2）若与直线垂直，求实数的值．

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意得：

∴在处切线斜率

∵切线与平行

∴，解得

（2）由（1）知，切线斜率，

∵切线与垂直

∴，

解得．

20．（2020·全国高一课时练习）比较函数与在区间上的平均变化率的大小.

【答案】在区间上的平均变化率比的平均变化率小.

【解析】

在区间上的平均变化率为；

在区间上的平均变化率为：

.

，

在区间上的平均变化率比在区间上的平均变化率小.

21．（2020·江苏张家港·高二期中）已知，函数的导函数为．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）若，则，所以，

则，即曲线在点处的切线斜率为，

又，

所以所求切线方程为：；

（2）由得

，

所以，，，

因此

.

22．（2020·吉林蛟河一中月考（理））已知函数．

（1）求；

（2）求曲线过点的切线的方程．

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1），则；

（2）设切点为，

，所以，切线的斜率为，

所求切线方程为．

将，代入切线方程，得．

整理得，解得或.

当时，， 切线方程为，化简得；

当时，，切线方程为，化简得．

综上所述，曲线过点的切线的方程为或．