高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列本章综合与测试复习练习题

数学选择性必修二尖子生同步培优题典

第四章 数列单元检测B

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注：本检测满分150分。其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题

一、单选题

1．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则（    ）

A．-4 B．-6 C．-8 D．-10

2．设正项等比数列的前项和为，，则公比等于（    ）

A． B． C． D．

3．已知等差数列，的前项和分别为和，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．若数列满足：，而数列的前项和最大时，的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

5．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（    ）

A． B．G C． D．A

6．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（    ）．

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

7．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是，接下来的两项是、，再接下来的三项是、、，以此类推，若且该数列的前项和为2的整数幂，则的最小值为（    ）

A．440 B．330 C．220 D．110

8．等差数列，满足，则（ ）

A．的最大值为50 B．的最小值为50

C．的最大值为51 D．的最小值为51

二、多选题

9．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，现有下列4个命题中正确的有（    ）

A．若，则；

B．若，则使的最大的n为15

C．若，，则中最大

D．若，则

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足：，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

12．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

三、填空题

13．已知数列满足，，则__________．

14．设数列的前项和为，若，且，则_______.

15．已知函数，，正项等比数列满足，则等于______．

16．如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则__________．

四、解答题

17．在①对任意，满足，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

问题：已知数列的前项和为，，______，若数列是等差数列，求数列的通项公式；若数列不一定是等差数列，说明理由．

18．已知等比数列的前n项和为，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列为递增数列，数列满足，求数列的前n项和.

（3）在条件（2）下，若不等式对任意正整数n都成立，求的取值范围.

19．设数列的前项和为，且满足，.

（1）求（用表示）；

（2）求证：当时，不等式成立.

20．市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；②等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款）.

已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，试计算小张该笔贷款的总利息；

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批（不考虑其他因素）；

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.

参考数据：.

21．已知数列满足，，.

（1）若.

①求数列的通项公式；

②证明：对， .

（2）若，且对，有，证明：.

22．已知数列的前项和为，，且为与的等差中项，当时，总有.

（1）求数列的通项公式；

（2）记为在区间内的个数，记数列的前项和为，求.