高中数学人教A版必修第一册5.1.2 孤度制课时作业含解析 练习

这是一份高中数学人教A版必修第一册5.1.2 孤度制课时作业含解析，共1页。

[对应学生用书P83]
知识点1 角度制与弧度制
1．用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，1度的角等于周角的eq \f(1,360).
2．规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
3．半径为1的圆叫做单位圆．
4．角的弧度数的求法
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝eq \f(l,r).
[微思考]
“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？
提示：“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在圆的半径大小无关．
知识点2 角度与弧度的换算
[微体验]
(1)45°15′＝________弧度；(2)－eq \f(3,5)π rad＝________度．
解析 (1)45°15′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(181,4)))°，∴45°15′＝eq \f(π,180)×eq \f(181,4)＝eq \f(181,720)π.
(2)－eq \f(3,5)π rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)×180))°＝－108°.
答案 (1)eq \f(181,720)π (2)－108°
知识点3 扇形的面积和弧长公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则
[微体验]
1．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为________．
解析 由题意可得S＝eq \f(1,2)lr⇒1＝eq \f(1,2)l×1⇒l＝2⇒α＝eq \f(l,r)＝2.
答案 2
2．设扇形的面积为4，圆心角为2，则扇形的半径为________．
解析 由S＝eq \f(1,2)αR2，即4＝eq \f(1,2)×2×R2，得R＝2.
答案 2
[对应学生用书P84]
探究一 角度与弧度的换算
(1)将下列各角度化为弧度：①112°30′；②－315°.
(2)将下列各弧度化为度：①－eq \f(5π,12) rad；②eq \f(19,3)π.
解 (1)①∵1°＝eq \f(π,180) rad，
∴112°30′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,180)×112.5))rad＝eq \f(5π,8) rad.
②－315°＝－315×eq \f(π,180)＝－eq \f(7π,4).
(2)①∵1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°，
∴－eq \f(5π,12) rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.
②eq \f(19,3)π＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,3)π×\f(180,π)))°＝1 140°.
[方法总结]
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点
(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝eq \f(π,180) rad和1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α·\f(180,π)))°；n°＝n·eq \f(π,180).
(3)注意点
①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．
②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数．
③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
[跟踪训练1] 将下列角度与弧度进行互化：
(1)eq \f(511,6)π；(2)－eq \f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°.
解 (1)eq \f(511,6)π＝eq \f(511,6)×180°＝15 330°.
(2)－eq \f(7π,12)＝－eq \f(7,12)×180°＝－105°.
(3)10°＝10×eq \f(π,180)＝eq \f(π,18).
(4)－855°＝－855×eq \f(π,180)＝－eq \f(19π,4).
探究二 用弧度制表示终边相同的角
把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)eq \f(23π,6)；(3)－4.
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋eq \f(5π,3)，是第四象限角．
(2)∵eq \f(23π,6)＝2π＋eq \f(11π,6)，
∴eq \f(23π,6)与eq \f(11π,6)终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq \f(π,2)＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
[方法总结]
用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
[跟踪训练2] (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与eq \f(2π,5)角终边相同的角．
解 (1)∵－1 480°＝－1 480×eq \f(π,180)＝－eq \f(74π,9)，
而－eq \f(74π,9)＝－10π＋eq \f(16π,9)，且0≤α≤2π，∴α＝eq \f(16π,9).
∴－1 480°＝eq \f(16π,9)＋2×(－5)π.
(2)∵eq \f(2π,5)＝eq \f(2π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝72°，
∴终边与eq \f(2π,5)角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与eq \f(2π,5)角终边相同的角为72°，432°.
探究三 扇形面积和弧长的计算问题
(1)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，求扇形的圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm，求扇形的面积．
解 (1)设扇形的半径为r cm, 弧长为l cm，圆心角为θ rad，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2r＝6，,\f(1,2)lr＝2.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝2，,l＝2.))
∴θ＝eq \f(l,r)＝1或4(rad)．
(2)设扇形的弧长为l，
∵72°＝72×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,5)(rad)，
∴l＝αR＝eq \f(2π,5)×20＝8π(cm)．
∴S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)×8π×20＝80π(cm2)．[来源:学_科_网]
[变式探究] 在本例(1)中，若扇形的周长6 cm改为40 cm，则当它的半径和圆心角各取什么值时，能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.
∴S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×(40－2r)r＝(20－r)r＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大．
最大面积为100 cm2，这时θ＝eq \f(l,r)＝eq \f(40－2×10,10)＝2 rad.
[方法总结]
弧度制下解决扇形相关问题的步骤
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝eq \f(1,2)αr2和S＝eq \f(1,2)lr.(这里α必须是弧度制下的角)
(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．
[对应学生用书P85]
1．角度制与弧度制的互化
角度制与弧度制是角的两种不同的度量方法，但不论用角度还是弧度，任何一个角都有唯一的一个实数与之对应，且在同一个问题中，通常选取一种度量单位，不能把角度制与弧度制混用．
2．角度与弧度的互化关系的记忆方法
从圆周角入手可知圆周角为360°，圆周长为2πr，所以圆周角的弧度数为eq \f(2πr,r)＝2π，从而记住2π rad＝360°.若此式两边除以2π，则1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°；若此式两边同除以360，则1°＝eq \f(π,180) rad.进行角度制与弧度制的互化的关键是利用180°＝π rad.
3．弧长和扇形面积公式
与角度制下的弧长和扇形的面积公式比较，显然弧度制下的弧长和扇形面积公式更简练，因此在遇到用角度表示的角时，一般化为弧度计算．
课时作业(三十三) 弧度制
[见课时作业(三十三)P176]
1．1 920°转化为弧度数为( )
A．eq \f(16,3) B．eq \f(32,3)
C．eq \f(16π,3) D．eq \f(32π,3)
D [1 920°＝1 920×eq \f(π,180)＝eq \f(32π,3).]
2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )
A．eq \f(40,3)π B．eq \f(20,3)π
C．eq \f(200,3)π D．eq \f(400,3)π
A [240°＝240×eq \f(π,180) rad＝eq \f(4,3)π rad，∴弧长l＝|α|·r＝eq \f(4,3)π×10＝eq \f(40,3)π.]
3．2弧度的角所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [因为eq \f(π,2)<2<π，所以2弧度的角是第二象限角．]
4．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．
解析 方法一：－690°＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(690×\f(π,180)))＝－eq \f(23,6)π，
所以－eq \f(23,6)π＝－4π＋eq \f(π,6).即－690°＝－4π＋eq \f(π,6).
方法二：－690°＝－2×360°＋30°，
所以－690°＝－4π＋eq \f(π,6).
答案 －4π＋eq \f(π,6)
5．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用30 km每小时的速度通过，10 s间转过________弧度．
解析 10 s间列车转过的扇形弧长为eq \f(10,3 600)×30＝eq \f(1,12)(km)，转过的角α＝eq \f(\f(1,12),2)＝eq \f(1,24)(rad)．[来源:学.科.网]
答案 eq \f(1,24)
6．试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．
解 因为eq \f(4π,3)的终边与－eq \f(2π,3)的终边相同，
故终边落在阴影区域内角的集合S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋2kπ≤α≤\f(π,4)＋2kπ，k∈Z)))).
1．集合P＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，Q＝{α|－4≤α≤4}，则P∩Q＝( )
A．∅
B．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}
C．{α|－4≤α≤4}
D．{α|0≤α≤π}
B [如图．
P∩Q＝{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π}．]
2．与eq \f(9π,4)终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°，k∈Z B．k·360°＋eq \f(9π,4)，k∈Z
C．k·360°－315°，k∈Z D．kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z
C [弧度和角度不能在同一个表达式中出现，故选项A、B错误．而kπ＋eq \f(5π,4)，k∈Z表示的是一、三象限的角．]
3．如果圆心角为eq \f(2π,3)的扇形所对的弦长为2eq \r(3)，则扇形的面积为________．
解析 如图，作BF⊥AC.已知AC＝2eq \r(3)，∠ABC＝eq \f(2π,3)，
则AF＝eq \r(3)，∠ABF＝eq \f(π,3)，
∴AB＝eq \f(AF,sin ∠ABF)＝2，即R＝2.
S＝eq \f(1,2)αR2＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)π×22＝eq \f(4,3)π.
答案 eq \f(4π,3)
4．已知角α，β的终边关于x＋y＝0对称，且α＝－eq \f(π,3)，则β＝________.
解析 如图：－eq \f(π,3)角的终边关于y＝－x对称的射线对应角为－eq \f(π,4)＋eq \f(π,12)＝－eq \f(π,6)，所以β＝－eq \f(π,6)＋2kπ，k∈Z.
答案 2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z
5．(拓广探索)已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)弧AB的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解 (1)因为120°＝eq \f(120,180)π＝eq \f(2,3)π，
所以l＝α·r＝eq \f(2,3)π×6＝4π，所以弧AB的长为4π.
(2)因为S扇形AOB＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，
于是有S△OAB＝eq \f(1,2)AB·OD＝eq \f(1,2)×2×6cs 30°×3＝9eq \r(3).
所以弓形的面积为S扇形AOB－S△OAB＝12π－9eq \r(3).
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数
α为度数
α为弧度数
扇形的弧长
l＝eq \f(απR,180)
l＝αR
扇形的面积
S＝eq \f(απR2,360)
S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2