人教版九年级上册22.3 实际问题与二次函数精练

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第二十二章 二次函数
二次函数的应用
知识梳理


考点1 根据实际问题列二次函数的关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．
②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
考点2 二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．


例题剖析


【例题1】 （2020秋•齐河县期末）今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000枚，二、三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为，则该药店三月份销售口罩枚数（枚与的函数关系式是　　
A． B． C． D．
【分析】设出二、三月份的平均增长率，则二月份的市场需求量是，三月份的产量是，据此列函数关系式即可．
【解答】解：该药店三月份销售口罩枚数（枚与的函数关系式是：．
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数，解题的关键是正确列出二次函数关系式．原来的数量为，平均每次增长或降低的百分率为的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是．增长用“”，下降用“”．
【例题2】 （2020秋•远安县期末）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数关系是　　
A． B． C． D．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，
依题意得第三个月投放单车辆，
则．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．

【例题3】 （2021春•青秀区校级月考）国家决定对某药品分两次降价，若设平均每次降价的百分比为，该药品的原价为33元，降价后的价格为元，则与之间的函数关系为　　
A． B． C． D．
【分析】原价为33，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则函数解析式即可求得．
【解答】解：根据题意：平均每次降价的百分比为，该药品的原价为33元，降价后的价格为元，
可得与之间的函数关系为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的．
【例题4】 （2021•江夏区模拟）如图，在中，，，为边上的点且，点在边上且满足，设，，则与的函数关系式为　　

A． B． C． D．
【分析】过作，过作，则，由此得出关于和的方程，即可得出关系式．
【解答】解：过作，过作，则，

，，，，
，
在中，，
，
，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分析，难度适中．
【例题5】 （2020秋•科左中旗期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，围成的苗圃面积为，则关于的函数关系式为　　

A． B． C． D．
【分析】先用含的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积长宽列出关于的函数关系式．
【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米，则苗圃园与墙平行的一边长为米．
依题意可得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题列二次函数关系式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【例题6】 （2020秋•荔湾区期末）喜迎圣诞，某商店销售一种进价为50元件的商品，售价为60元件，每星期可卖出200件，若每件商品的售价每上涨1元，则每星期就会少卖出10件．设每件商品的售价上涨元正整数），每星期销售该商品的利润为元，则与的函数解析式为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出与的函数关系式．
【解答】解：设每件商品的售价上涨元为正整数），
则每件商品的利润为：元，
总销量为：件，
商品利润为：
，
，
．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题咧二次函数解析式，根据每天的利润一件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键．
【例题7】 （2020•山西模拟）2019年女排世界杯于9月在日本举行，中国女排以十一连胜的骄人成绩卫冕冠军，充分展现了团队协作、顽强拼搏的女排精神．如图是某次比赛中垫球时的动作．若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在同一竖直平面内建立如图所示的直角坐标系，已知运动员垫球时（图中点离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为　　

A． B．
C． D．
【分析】由题意可知点坐标为，点坐标为，点坐标为，设排球运动路线的函数表达式为：，将点、、的坐标代入得关于、、的三元一次方程组，解得、、的值，则函数解析式可得，从而问题得解．
【解答】解；由题意可知点坐标为，点坐标为，点坐标为
设排球运动路线的函数解析式为：
排球经过、、三点

解得：
排球运动路线的函数解析式为
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式并求得关系式，数形结合并明确二次函数的一般式是解题的关键．





















好题速递


基础巩固

1. （2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是　　
A． B．
C． D．
【分析】由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论．
【解答】解：每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价元，
销售每件的利润为元，每星期的销售量为，
每星期售出商品的利润．
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式．
2. （2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨元，月销售利润为元，则与的函数关系式为　　
A． B．
C． D．
【分析】直接利用销量每千克利润总利润，得出函数关系式即可．
【解答】解：设每千克涨元，月销售利润为元，则与的函数关系式为：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，正确表示出销量是解题关键．

3. （2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为　　

A． B．
C． D．
【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．
【解答】解：关于的函数表达式为：
．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．
4. （2020•萧山区模拟）长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，则与之间的关系式是　　
A． B．
C． D．
【分析】原长方形的各边边长减少后得到的新长方形的边长为，和，周长为，自变量的范围应能使长方形的边长是正数，即满足，．
【解答】解：长方形的长为、宽为，它的各边都减少，得到的新长方形的周长为，
与之间的关系式是：．
故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题列函数关系式，关键是正确理解题意，此题的难点是写出自变量的取值范围．



5. （2020•鼓楼区校级模拟）记某商品销售单价为元，商家销售此种商品每月获得的销售利润为元，且是关于的二次函数．已知当商家将此种商品销售单价分别定为55元或75元时，他每月均可获得销售利润1800元；当商家将此种商品销售单价定为80元时，他每月可获得销售利润1550元，则与的函数关系式是　　
A． B．
C． D．
【分析】设二次函数的解析式为：，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：设二次函数的解析式为：，
当，75，80时，，1800，1550，
，
解得，
与的函数关系式是，
故选：．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确的列方程组是解题的关键．
6. （2018秋•运城期末）如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若，，以顶点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为　　

A． B． C． D．
【分析】直接根据题意得出点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】解：，，
，
设抛物线解析式为：，
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确得出点坐标是解题关键．
7. （2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点．拱高为78米（即最高点到的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为　　

A． B． C． D．
【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．
8. （2019秋•淮北期中）用一根长的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为　　
A ． B ．
C ． D ．
【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．
【解答】解：由题意得：矩形的另一边长，
矩形的面积与它的一边长之间的函数关系式为．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解决本题的突破点．
9. （2017秋•新昌县期末）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线表达式是．则选取点为坐标原点时的抛物线表达式是　　

A． B．
C． D．
【分析】根据题意得出点坐标，进而利用顶点式求出函数解析式即可．
【解答】解：由题意可得出：，
将代入得出，，
解得：，
选取点为坐标原点时的抛物线解析式是：．
故选：．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
10. （2018•宝安区二模）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价元后，每星期售出此畅销书的总销售额为元，则与之间的函数关系为　　
A． B．
C． D．
【分析】根据降价元，则售价为元，销售量为本，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：设每本降价元，则售价为元，销售量为本，
根据题意得，，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．
11. （2018•胶州市一模）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据售价减去进价表示出实际的利润；
【解答】解：设这种商品的售价为元时，获得的利润为元，根据题意可得：，
故选：．
【点评】此题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解“商品每个涨价2元，其销售量就减少10个”．
12. （2018秋•曲阜市校级月考）如图，铅球的出手点距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为　　

A． B． C． D．
【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是，把抛物线经过的点，代入二次函数的顶点坐标式，列出方程，解出系数则可．
【解答】解：根据题意，设二次函数的表达式为，
抛物线过即代入，
解得．
这个二次函数的表达式为：

．
故选：．
【点评】本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．
13. （2021•河南二模）如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为，，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，则下列所列方程正确的是　　

A． B．
C． D．
【分析】设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：设挡板的宽度为，小球滚动的区域（空白区域）面积为，根据题意可得：
，
故选：．
【点评】此题考查由实际问题抽象二元一次方程，关键是根据面积公式得出方程解答．
14. （2021•洪洞县二模）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为　　

A．米 B．8米 C．10米 D．2米
【分析】小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可．
【解答】解：当时，即，
解得：（舍去），，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
15. （2020秋•文登区期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为　　
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【分析】由每件首饰售价不能高于40元，得出的取值范围；根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【解答】解：每件首饰售价不能高于40元，
，
依题意得：



，
当时，，
每件首饰售价为（元，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. （2021•中山区一模）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中，那么这个被蘸上了墨水的函数值是　　



0
1
2
3




3
4
3
0

A． B．3 C．4 D．0
【分析】由图表可知，和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：、时的函数值都是3相等，
此函数图象的对称轴为直线．
这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
17. （2020秋•红桥区期末）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：满足函数表达式，则最佳加工时间为　　
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的性质可得．
【解答】解：根据题意：，
当时，取得最大值，
则最佳加工时间为．
故选：．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
18. （2020秋•西湖区期末）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为，则该工厂第一季度的产值关于的函数解析式为　　．
【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列出二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
19. （2021•山西模拟）用长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为，则围成长方形的生物园的面积（单位：与的函数表达式是　　．（不要求写自变量的取值范围）

【分析】直接利用长方形面积求法得出函数关系式．
【解答】解：围成长方形的生物园的长为，则长方形的生物园的宽为，
围成长方形的生物园的面积（单位：与的函数表达式是：
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出长方形的宽是解题关键．
20. （2020秋•抚顺县期末）某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则与之间的关系式为　　．
【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式．
【解答】解：由题意得：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列函数关系式．
21. （2020秋•思明区校级月考）扎西的爷爷用一段长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，设这个矩形的宽为，则矩形面积随之变化的函数解析式为　　．

【分析】根据题意和图形，可以写出矩形面积随之变化的函数解析式，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
【点评】本题考查根据实际问题列出二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式．
22. （2021•连云港）某快餐店销售、两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份种快餐的利润，同时提高每份种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份种快餐利润每降1元可多卖2份，每份种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　1264　元．
【分析】设每份种快餐降价元，则每天卖出份，每份种快餐提高元，则每天卖出份，由于这两种快餐每天销售总份数不变，可得出等式，求得，用表达出，结合二次函数的性质得到结论．
【解答】解：设每份种快餐降价元，则每天卖出份，每份种快餐提高元，则每天卖出份，
由题意可得，，
解，
总利润

，
，
当时，取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
【点评】本题属于经济问题，主要考查二次函数的性质，设出未知数，根据“这两种快餐每天销售总份数不变”列出等式，找到量之间的关系是解题关键．
23. （2021春•洪山区校级月考）飞机着陆后滑行的距离（单位：关于滑行时间（单位：的函数解析式是，飞机着陆至停下来共滑行　　．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
【解答】解：，
当时，取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键．
24. （2021•石家庄模拟）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐很小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”与加工煎炸时间（单位：近似满足的函数关系为：，，，是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到与的解析式为　　；并得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为　　．

【分析】将图象中的三个点、、代入函数关系中，可得函数关系式为：，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．
【解答】解：将图象中的三个点、、代入函数关系中，
，
解得，
所以函数关系式为：，
由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：，
则当分钟时，可以得到最佳时间．
故答案为：，3.75分钟．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．










能力提升

1. （2019春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价元为整数），每个月的销售量为元．
（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
（2）设每月的销售利润为，请直接写出与的函数关系式．
【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，，，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，，，
（2）由利润（售价成本）销售量列出函数关系式，
【解答】解：（1）当时，，即，
当时，，即．
则；
（2）由题意可得，
，
．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．
2. （2019•开远市一模）某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价元为非负整数），每星期的销量为件．
（1）求与的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）设利润为元，写出与的函数关系式．
【分析】（1）涨价为元，可用表示出每星期的销量，并得到的取值范围；
（2）根据总利润销量每件利润可得出利润的表达式．
【解答】解：（1）设每件涨价元由题意得，
每星期的销量为，且为整数）；
（2）设每星期的利润为元，
．
【点评】本题考查了二次函数的应用，与实际结合得比较紧密，解答本题的关键是表示出涨价后的销量及单件的利润，得出总利润的二次函数的表达式．
3. （2021•凉山州模拟）为鼓励大学生毕业返乡创业拉动县域绿色特产销售，某县为大学生开设团队创业途径，某团队试销一款苦荞茶，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销调研发现，销售过程中每天还要支付其他费用500元，日销售量γ（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并根据题意写出自变量x的取值范围；
（2）当每天的销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
（3）若在销售过程中每天的利润不低于700元，请确定销售单价的取值范围．

【分析】（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100，代入解析式可得k、b的值，销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，30≤x≤60．
（2）设该公司日获利为W元，由题意得W＝﹣2（x﹣65）2+1950，根据二次函数的对称轴为直线x＝65，当x＜65时，W随x的增大而增大，当x＝60时，W有最大值．
（3）W≥700时，解得40≤x≤90，因为x的范围是30≤x≤60，即可得出x的范围为40≤x≤60．
【解答】解：（1）设一次函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100，
∴，
解得，销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，30≤x≤60，
∴y与x之间的关系式为：y＝﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）设该公司日获利为W元，由题意得W＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣500＝﹣2（x﹣65）2+1950，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴x＝65，
∴当x＜65时，W随x的增大而增大，
∵30≤x≤60，
∴x＝60时，W有最大值，
Wmax＝﹣2×（60﹣65）2+1950＝1900，
故当销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1900元；
（3）由题意：﹣2（x﹣65）2+1950≥700，
解得：40≤x≤90，
∵30≤x≤60，
∴得40≤x≤60，
故每天的利润不低于700元，销售单价的取值范围是40～60元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
4. （2021•随州）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足y＝﹣x2+bx+c，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．
（1）直接写出b，c的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？

【分析】（1）根据题意可推出点A坐标为（0，1），点B坐标为（6，2），将这两点坐标代入二次函数表达式即可求得b、c的值；
（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求得大棚的最高点；
（3）先求出大棚内可以搭建支架土地的宽，再求需要搭建支架部分的面积，进而求得需要准备的竹竿．
【解答】解：（1）b═，c═1．
（2）由y══，
可知当x═时，y有最大值，
故大棚最高处到地面的距离为米；
（3）令y═，则有═，
解得x1═，x2═，
又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣═（米），
又大棚的长为16米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×═88（平方米），
故共需要88×4═352（根）竹竿，
答：共需要准备352根竹竿．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，不仅要求对二次函数的相关性质很熟练，还要结合具体的实际意义解此类题目．
5. （2021•蔡甸区二模）空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价；
（2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？
（3）在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z＝﹣10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？
【分析】（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元，根据题意得列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设这100台空气净化器的销售总价为y元，根据购进A型空气净化器的台数，得出购进B型空气净化器的台数，由题意可得一元一次不等式，解得m的取值范围，再由销售利润等于A型的利润加上B型的利润，即可得出y关于m的函数关系式，结合一次函数的性质及x的取值范围即可求解；
（3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元，根据销售利润等于A型的利润加上B型的利润，列出w关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元，
，
解得：，
答：每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元；
（2）设这100台空气净化器的销售总价为y元，
则y＝1000m+1500（100﹣m）＝﹣500m+150000，
∵100﹣m≤2m，
∴m≥，
∵m取正整数，
∴当m＝34时销售总价最大，最大值为133000元；
（3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元，由题意得：
w＝（1000﹣800）m+（1500+10m﹣700）（100﹣m）＝﹣10（m﹣20）2+84000，
∵当m大于20时，w随m的增大而减小，且m≥，
∴当m＝34时，w有最大值为82040元．
答：销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元．
【点评】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6. （2021•新洲区模拟）去年疫情期间，部分药店乘机将口罩涨价销售，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩的销售价格（元只）和日销售量（只与第天为整数）的关系如下表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元只）
2
3
4
5
6
日销售量（只
70
75
80
85
90
物价部门迅速发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元只，该药店从第6天起将该型号口罩的销售价格调整为1元只．据统计，该药店从第6天起该型号口罩的日销售量（只与第天有如下关系：且为整数），已知该型号口罩的进价为0.5元只．
（1）分别直接写出该药店该月前5天该型号口罩的销售价格和日销售量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩每天所获利润（元与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，决定对在销售过程中获得的正常利润（该型号口罩销售价格不得高于1元只）之外的非法所得部分处以倍的罚款．若按处罚规定，该药店在这个月销售该型号口罩的过程中的罚款金额不低于2000元，则的取值范围是．
【分析】（1）根据表格数据可得前5天的某型号口罩销售价格（元只）和销量（只与第天的关系；
（2）当且为整数时，；当且为整数时，．再根据二次函数的性质即可求出第5天时利润最大为495元；
（3）根据题意可得，获得的正常利润之外的非法所得部分为：（元，再根据罚款金额不低于2000元，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）根据表格数据可知：
前5天的某型号口罩销售价格（元只）与第天的关系为：
且为整数)，
设销量（只与第天的关系为：，
,
解得：，
且为整数）；
（2）当且为整数时，

；
当且为整数时，

．
即有，
当且为整数时，售价，销量均随的增大而增大，
故当时，有最大值为：元；
当且为整数时，
，
故当时，有最大值为：300元；
由，可知：
第5天时利润最大为495元；
（3）根据题意可知：
获得的正常利润之外的非法所得部分为：
（元，
，
解得．
则的取值范围为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系．
7. （2021•长沙模拟）疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现从开始，在校门口的学生人数（单位：人）随时间（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数的一部分，如图所示．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）从开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？
（3）现学校通过调整校门口的入校通道，提高体温检测效率．经过调整，现在每分钟可以多通过2人，请问所有学生能够在7点30分完成进校吗？请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）令，得：，解方程并作出取舍即可；
（3）设第分钟时的排队等待人数为人，则，从而可得关于的二次函数，计算当时的值，则可得答案．
【解答】解：（1）设与之间的函数解析式为，
根据题意得：，
解得：，
；
（2）令，得：，
解得：（舍，．；
从开始，需要34分钟校门口的学生才能全部进校；
（3）设第分钟时的排队等待人数为人，
由题意得：
，
当时，．
点30分时所有学生不能全部完成进校．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法、二次函数与一元二次方程的关系及二次函数的函数值等知识点是解题的关键．
8. （2021•东西湖区模拟）某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案：若单独投资燃油汽车时，则所获利润（千万元）与投资金额（千万元）之间存在正比例函数关系例，并且当投资2千万元时，可获利润0.8千万元；
方案：若单独投资新能源汽车时，则所获利润（千万元）与投资金额（千万元）之间存在二次函数关系：，并且当投资1千万元时，可获利润1.4千万元；当投资3千万元时，可获利润3千万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5千万元，求此时该公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的利润率不低于，且获得总利润为不低于4千万元，直接写出的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车投资千万元，先表示出此时关于的函数关系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于，且获得总利润为不低于4千万元，分别列出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，当时，，代入得，
，
解得，
正比例函数的表达式为．
当时，；当时，，代入，
得：，
，
二次函数表达式为；
（2）根据题意得：，
，
，
解得：．
该公司对这两种汽车的投资金额均为5千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资千万元，对新能源汽车投资千万元，
则，
根据题意得：，
，
，
；
获得总利润为不低于4千万元，
，
．
综上所述，的取值范围是．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数和一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数与不等式的关系是解题的关键．
9. （2021•邛崃市模拟）今年甲、乙两个果园的红心猕猴桃喜获丰收，已知甲果园的总产量为27吨，乙果园的总产量13吨，某果业公司租用、两种型号的保鲜货车去果园运输猕猴桃，甲果园需要型保鲜货车满载猕猴桃运输6趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输5趟才能刚好运输完：乙果园需型保鲜货车满载猕猴桃运输2趟，同时需要型保鲜货车满载猕猴桃运输3趟刚好运输完．
（1）求、两种保鲜货车满载猕猴桃运输一趟分别是多少吨？
（2）果业公司收购该批猕猴桃的单价为0.8万元吨，目前公司可以0.9万元吨的价格售出，如果保鲜冷藏储存起来，旺市再销售以便获取最大利润，由于失水和腐烂，水果重量每天减少0.5吨，且每天需支付各种费用0.08万元吨，而每天的价格会持续上涨0.1万元吨、如果公司计划把该批猕猴桃最多保鲜冷藏储存20天，那么储存多少天后出售这批猕猴桃所获得的利润最大？最大利润是多少万元？
【分析】（1）设型保鲜货车载重量为吨，型保鲜货车载重量为吨，根据题意列方程组解答即可；
（2）设储存天之后，获得利润为万元，根据题意求出与的函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设型保鲜货车载重量为吨，型保鲜货车载重量为吨，
由题意得：，
解之得：，
答：型保鲜货车的满载重量为2吨，型保鲜货车的满载重量为3吨．
（2）设储存天之后，获得利润为万元，根据题得：
，
，
有最大值，
对称轴为，且，为整数，
当或4时，
答：保鲜储存至第3或4天时，利润最大为4.6万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．



中考真题

1. （2019•无锡）某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数（间与定价（元间）之间满足．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为　　
A．252元间 B．256元间 C．258元间 D．260元间
【分析】根据：总利润每个房间的利润入住房间的数量每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【解答】解：设每天的利润为元，根据题意，得：



，
当时，，不是整数，
舍去，
当或时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又想让客人得到实惠，
（舍去）
宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．
故选：．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．




2. （2019•南通）如图是王阿姨晚饭后步行的路程（单位：与时间（单位：的函数图象，其中曲线段是以为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是　　

A．，王阿姨步行的路程为
B．线段的函数解析式为
C．，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段的函数解析式为
【分析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
【解答】解：、，王阿姨步行的路程为，故没错；
、设线段的函数解析式为，
把，代入得，
解得：，
线段的函数解析式为，故没错；
、在点的速度为，在点的速度为，故错误；
、当时，由图象可得，将代入得，故没错．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，正确的识别图象、数形结合是解题的关键．
3. （2019•山西）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉索与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于，两点．拱高为78米（即最高点到的距离为78米），跨径为90米（即米），以最高点为坐标原点，以平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为　　

A． B． C． D．
【分析】直接利用图象假设出抛物线解析式，进而得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
故此抛物线钢拱的函数表达式为：．
故选：．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确假设出抛物线解析式是解题关键．
4. （2019•临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：与小球运动时间（单位：之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度时，．
其中正确的是　　

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
【分析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
小球的高度时，或，故④错误；
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意，属于中考基础题，常考题型．
5. （2019•襄阳）如图，若被击打的小球飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为　4　．

【分析】根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间
【解答】解：
依题意，令得

得
解得（舍去）或
即小球从飞出到落地所用的时间为
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单
6. （2019•铁岭）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为（元，日销量为（件，日销售利润为（元．
（1）求与的函数关系式．
（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？
（3）求日销售利润（元与销售单价（元的函数关系式，当为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）根据题意得到函数解析式；
（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，，
故与的函数关系式为；
（2）根据题意得，，解得：，（不合题意舍去），
答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；
（3）根据题意得，，
，
当时，随的增大而增大，
当时，，
答：当为12时，日销售利润最大，最大利润960元．
【点评】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润单个利润销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．
7. （2019•鄂尔多斯）某工厂制作，两种手工艺品，每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元的最大值及相应的值．
【分析】（1）根据数量关系，设未知数，列分式方程即可求出，
（2）、的工艺品数量相等，由工作效率的关系可得，生产产品的人数是产品人数的2倍，根据三种工艺品生产人数的和为65，从而得出与的函数关系式，
（3）由于工艺品每件盈利，随着的变化而变化，得出工艺品的每件盈利与的关系，再根据总利润等于三种工艺品的利润之和，得出与的二次函数关系，利用函数取最大值时，即为顶点坐标，因为此时不为整数，因此要根据抛物线的增减性和对称性，确定为何整数时，最大．
【解答】解：（1）设制作一件获利元，则制作一件获利元，由题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元．
（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：
，

答：与之间的函数关系式为．
（3）由题意得：
，
又
，
，对称轴为，而时，的值不是整数，
根据抛物线的对称性和增减性可得：当或时，最大，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，元．
此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为3198元．
【点评】考查分式方程及应用、一次函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，但在利用二次函数的增减性时，有时还要根据实际情况，在对称轴的两侧取合适的值时，求出函数的最值，这一点容易出现错误．
8. （2019•包头）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．
（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？
（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？
【分析】（1）根据题意可以列出方程，进而求得结论；
（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：（1）该出租公司这批对外出租的货车共有辆，
根据题意得，，
解得：，
经检验：是分式方程的根，
（元，
答：该出租公司这批对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金150元；
（2）设每辆货车的日租金上涨元时，该出租公司的日租金总收入为元，
根据题意得，，
，
，
当时，有最大值，
答：每辆货车的日租金上涨100元时，该出租公司的日租金总收入最高．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．