高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理第4课时学案

第4课时　余弦定理与正弦定理的应用

知识点　实际问题中的有关术语率

1.方位角的范围是什么？

[提示]　[0°，360°)

2．若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？

[提示]　南偏西60°.

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)俯角是铅垂线与视线所成角，其范围是. (　　)

(2)在O点测得点A在其北偏西30°，则在O点测得点A的方位角是30°.

  (　　)

(3)方位角与方向角的实质一样，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．  (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

类型1　测量距离问题

【例1】　某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离(参考数据：sin 75°＝).

[解]　∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°.

∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，

∴AD＝CD＝a.

在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，

由正弦定理＝，

得BD＝CD·＝a·＝a×＝a·＝a.

在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos ∠ADB＝a2＋(a)2－2·a·a·＝a2，∴AB＝ km.

故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km.

测量距离的基本类型及方案

1．(1)海上A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　)

A．10海里   B．海里

C．5海里   D．5海里

(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.

(1)D　(2)30　[(1)如图所示，根据题意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里).故选D.

(2)tan 30°＝，tan 60°＝，

又∵AD＋DB＝120，

∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 60°，

∴AD＝90，故CD＝30.]

类型2　测量高度问题

【例2】　如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.

利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．

[解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.

在△BCD中，由余弦定理可得

CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos ∠CBD，即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，

所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，

所以塔高AB＝200米．

1.本题与立体几何有关，解决的关键是准确作出空间图形．

2.准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角等，建立相应的数学模型，将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识求解．

2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(参考数据：cos 15°＝)(　　)

A.240(－1)m　　 B．180(－1)m

C．120(－1)m     D．30(＋1)m

C　[由题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝30°，作AD⊥BC交CB的延长线于点D，

在直角△ACD中，AC＝＝＝120，

在△ABC中，由正弦定理得

BC＝＝＝＝120(－1).]

类型3　测量角度问题

【例3】　如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．

结合图形将实际问题转化为解三角形问题，应用正、余弦定理求解．

[解]　设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里．

在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6，

∴BC＝海里．又∵＝，

∴sin ∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

在△BCD中，由正弦定理，得＝，

∴sin ∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶．

又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，

∴∠CDB＝30°，∴BD＝BC，即10t＝，

∴t＝小时≈15分钟．

∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．

1.理解题意，作出正确的示意图是解决本题的关键．

2.测量两个点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解．

3．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1小时后开始持续影响基地2小时．求台风移动的方向．

[解]　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在同一直线上，且AD＝20，AC＝20.

由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，

BC＝(＋1)×10.在△ADC中，

因为DC2＝AD2＋AC2，

所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.

在△ABC中，由余弦定理得

cos ∠BAC＝＝.

所以∠BAC＝30°，又因为B位于A南偏东60°，

且60°＋30°＋90°＝180°，所以D位于A的正北方向，

又因为∠ADC＝45°，

所以台风移动的方向为北偏西45°.

1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)

A．东偏北45°10′方向上  B．东偏北44°50′方向上

C．南偏西44°50′方向上  D．西偏南44°50′方向上

C　[如图所示．

]

2.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，由此可以计算出A，B两点的距离为(　　)

A．50 m　 B．50 m

C．25 m   D．m

A　[由正弦定理得＝，又∵B＝30°，

∴AB＝＝＝50(m).]

3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是_______m，_______m.

20　　[甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20(m)；

乙楼的高为：20－20tan 30°＝20－20×＝(m).]

4．一船以每小时15 km的速度向东行驶，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.

30　[如图所示，AC＝15×4＝60.∠BAC＝30°，∠B＝45°，在△ABC中，＝，∴BC＝30.]

5．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝________ cm.

　[如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，

则在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，

则∠AOB＝60°，

由正弦定理知x＝＝

＝(cm).]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.如何解决测量距离、高度及角度问题？

[提示]　测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题．

2.利用正、余弦定理解决测量问题的步骤是什么？

[提示]　正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语．

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出．

(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解．

(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．