高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算第2课时教案设计

这是一份高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算第2课时教案设计，共6页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

第二课时 向量的向量积
本节主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.本节课主要从平面向量夹角及模长两方面继续研究平面向量.
课程目标
1、理解平面向量的数量积定义与向量的夹角的关系.
2、掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用.
数学学科素养
1.数学抽象：利用数量积定义得到夹角、模长公式；
2.逻辑推理：由已知条件求夹角；
3.数学运算：求模长,根据向量垂直求参数；
4.数学建模：应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题时，综合考虑，层层分析.
重点：平面向量数量积的性质与运算律应的应用;
难点：对向量数量积概念的应用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
上一节课主要就定义对数量积进行的研讨，本节课主要是对其性质的应用，那么有哪些应用？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本17-21页，思考并完成以下问题
数量积运算中常用到哪些公式？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．常用公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
④(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c.
四、典例分析、举一反三
题型一 向量模的有关计算
例1 已知|a|＝3，|b|＝4，向量a与b的夹角θ为120°，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)|a＋b|；(4)|a－b|.
【答案】(1)－6. (2)13. (3) eq \r(13). (4) eq \r(37).
【解析】(1)a·b＝|a||b|cs θ＝3×4×cs 120°＝－6.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×(－6)＋16＝13.
(3)|a＋b|＝eq \r(（a＋b）2)＝eq \r(13).
(4)|a－b|＝eq \r(（a－b）2)
＝eq \r(a2－2a·b＋b2)
＝eq \r(9－2×（－6）＋16)
＝eq \r(37).
解题技巧（求向量模的常见方法和思路）
(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
跟踪训练一
1、已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝eq \f(1,2).若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.
2、已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝eq \r(10)，则|b|＝________.
【答案】1、eq \f(2\r(3),3). 2、3eq \r(2).
．
【解析】1、令e1与e2的夹角为θ，
∴e1·e2＝|e1|·|e2|cs θ＝cs θ＝eq \f(1,2).
又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. ∵b·(e1－e2)＝0，∴b与e1，e2的夹角均为30°，
∴b·e1＝|b||e1|cs 30°＝1，
从而|b|＝eq \f(1,cs 30°)＝eq \f(2\r(3),3).
2、∵a，b的夹角为45°，|a|＝1，
∴a·b＝|a||b|cs 45°＝eq \f(\r(2),2)|b|，
|2a－b|2＝4－4×eq \f(\r(2),2)|b|＋|b|2＝10，
∴|b|＝3eq \r(2).
题型二 两个向量的夹角和垂直
例2 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq \r(7)，则a，b的夹角为( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6) C.eq \f(π,4) D.eq \f(2π,3)
(2)已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
【答案】 (1) A. (2)见解析.
【解析】 (1) 设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝eq \f(1,2)，
∴|a||b|cs θ＝eq \f(1,2)，即cs θ＝eq \f(1,2).
又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为eq \f(π,3).
(2)证明 ∵|a＋tb|＝eq \r(a＋tb2)＝eq \r(a2＋t2b2＋2ta·b)＝eq \r(|b|2t2＋2a·bt＋|a|2)，
∴当t＝－eq \f(2a·b,2|b|2)＝－eq \f(a·b,|b|2)时，|a＋tb|有最小值．
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb2＝a·b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a·b,|b|2)))·|b|2＝a·b－a·b＝0.∴b⊥(a＋tb)．
解题技巧： (求向量夹角的思路)
(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值．
(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cs θ的值.
跟踪训练二
1、已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．
2、已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，当m为何值时，c与d垂直．
【答案】1、eq \f(π,3). 2、当m＝eq \f(4,3)时，c与d垂直.
【解析】1、设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2csθ＝－6，所以csθ＝eq \f(1,2).因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,3).
2、由已知得a·b＝2×1×cs 60°＝1.
若c⊥d，则c·d＝0.
∴c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，
∴m＝eq \f(4,3).
故当m＝eq \f(4,3)时，c与d垂直．
题型三 平面向量数量积的综合应用
例3 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角．
【答案】见解析.
【解析】由已知条件得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（a＋3b）·（7a－5b）＝0,（a－4b）·（7a－2b）＝0))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7a2＋16a·b－15b2＝0 ①,7a2－30a·b＋8b2＝0 ②))
②－①得23b2－46a·b＝0，
所以2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，所以|a|＝|b|，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2).
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝eq \f(π,3)，
即a与b的夹角为eq \f(π,3).
解题技巧（平面向量解决问题归纳）
应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角及长度等几何问题．
跟踪训练三
1、已知x＝1是方程x2＋|a|x＋a·b＝0的根，且a2＝4，〈a，b〉＝120°，求向量b的模．
【答案】3．
【解析】因为a2＝4，所以|a|2＝4，所以|a|＝2.
把x＝1代入方程x2＋|a|x＋a·b＝0，
得1＋|a|＋a·b＝0，所以a·b＝－3，
则a·b＝|a||b|cs〈a，b〉＝2|b|cs 120°＝－3，
所以|b|＝3，即向量b的模为3.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
6.2.4 向量的数量积
第二课时 向量的向量积
1.常用公式 例1 例2 例3

七、作业
课本22页习题6.2剩余题.
学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强.