高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积导学案
展开8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
学 习 目 标 | 核 心 素 养 |
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究,掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法.(重点) 2.会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积.(难点、易错点) | 1.借助棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积的计算,培养数学运算素养. 2.通过对棱柱、棱锥、棱台的体积的探究,提升逻辑推理的素养. |
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
棱柱的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);
棱锥的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高);
棱台的体积公式V=h(S′++S).其中,台体的上、下底面面积分别为S′、S,高为h.
思考:简单组合体分割成几个几何体,其表面积不变吗?其体积呢?
[提示] 表面积变大了,而体积不变.
1.棱长为3的正方体的表面积为( )
A.27 B.64 C.54 D.36
C [根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形.从而,其表面积为6×32=54.]
2.长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则长方体的体积与表面积分别为( )
A.6,22 B.3,22 C.6,11 D.3,11
A [V=1×2×3=6,S=2(1×2)+2(1×3)+2(2×3)=22.]
3.棱长都是3的三棱锥的表面积S为 .
9 [因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,所以S=4××32=9.]
简单几何体的表面积 |
【例1】 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积.
[解] 如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,对角线A1C=15,B1D=9,
∴a2+52=152,b2+52=92,
∴a2=200,b2=56.
∵该直四棱柱的底面是菱形,
∴AB2=+===64,
∴AB=8.
∴直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.
求几何体的表面积问题,通常将所给几何体分成基本几何体,再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差,从而获得几何体的表面积,另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积.
1.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a时,该三棱锥的表面积是( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
A [∵侧面都是等腰直角三角形,故侧棱长等于a,
∴S表=a2+3××=a2.]
简单几何体的体积 |
【例2】 三棱台ABCA1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,求三棱锥A1ABC,三棱锥BA1B1C,三棱锥CA1B1C1的体积之比.
[解] 设三棱台的高为h,S△ABC=S,则S△A1B1C1=4S.
∴VA1ABC=S△ABC·h=Sh,
VCA1B1C1=S△A1B1C1·h=Sh.
又V台=h(S+4S+2S)=Sh,
∴VBA1B1C=V台-VA1ABC-VCA1B1C1
=Sh--=Sh,
∴体积比为1∶2∶4.
求几何体体积的常用方法
2.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为 .
[利用三棱锥的体积公式直接求解.
VD1EDF=VFDD1E=S△D1DE·AB=××1×1×1=.]
棱台与棱锥之间关系的综合问题 |
【例3】 已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.
[解] 如图,E,E1分别是BC,B1C1的中点,O,O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.
连接OE,O1E1,
则OE=AB=×12=6,
O1E1=A1B1=3.
过E1作E1H⊥OE,垂足为H,
则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,
HE=OE-O1E1=6-3=3.
在Rt△E1HE中,
E1E2=E1H2+HE2=122+32=32×17,
所以E1E=3.
所以S侧=4××(B1C1+BC)×E1E
=2×(6+12)×3=108.
在本例中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的有关知识求解吗?
[解] 如图,正四棱台的侧棱延长交于一点P.
取B1C1,BC的中点E1,E,则EE1的延长线必过P点(以后可以证明).O1,O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.由正棱锥的定义,CC1的延长线过P点,
且有O1E1=A1B1=3,OE=AB=6,
则有==,
即=.所以PO1=O1O=12.
在Rt△PO1E1中,
PE=PO+O1E=122+32=32×17,
在Rt△POE中,
PE2=PO2+OE2=242+62=62×17,
所以E1E=PE-PE1=6-3=3.
所以S侧=4××(BC+B1C1)×E1E
=2×(12+6)×3=108.
解决有关正棱台的问题时,常用两种解题思路:一是把基本量转化到直角梯形中去解决;二是把正棱台还原成正棱锥,利用正棱锥的有关知识来解决.
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长,是掌握它们的表面积有关问题的关键.
2.计算棱柱、棱锥、棱台的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截面,将空间问题转化为平面问题.
3.在几何体的体积计算中,注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.
1.判断正误
(1)锥体的体积等于底面积与高之积.( )
(2)台体的体积,可转化为两个锥体体积之差.( )
(3)正方体的表面积为96,则正方体的体积为64.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1ACD的体积是( )
A. B.
C. D.1
A [三棱锥D1ADC的体积V=S△ADC×D1D=××AD×DC×D1D=×=.]
3.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图),则三棱锥B1ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
[答案] D
4.把一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则所有小正方体的表面积为 .
18a2 [原正方体的棱长为a,切成的27个小正方体的棱长为a,每个小正方体的表面积S1=a2×6=a2,所以27个小正方体的表面积是a2×27=18a2.]
5.如图所示,三棱锥的顶点为P,PA,PB,PC为三条侧棱,且PA,PB,PC两两互相垂直,又PA=2,PB=3,PC=4,求三棱锥PABC的体积V.
[解] 三棱锥的体积V=Sh,其中S为底面积,h为高,而三棱锥的任意一个面都可以作为底面,所以此题可把B看作顶点,△PAC作为底面求解.
故V=S△PAC·PB=××2×4×3=4.
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