人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步本章综合与测试课时训练

知识系统整合

规律方法收藏

1．对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图．

2．在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题．

3．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可．

4．判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义；②利用判定定理；③与平行关系联合运用，即若a∥b，且a⊥α，则b⊥α.

5．两平面相交成直二面角时，两平面垂直．作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础．同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一．对于本节内容及相关问题应引起足够重视．

6．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两条边分别与二面角的棱垂直．准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法．这里要注意角的顶点的恰当选取；②垂面法；③垂线法．当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角．

7．面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理．

8．转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．

思想培优

空间几何体的结构特征

1．空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础，理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别．

2．旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也就掌握了它们各自的性质．

[典例1]　给出下列四个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②棱柱的上下底面全等；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是(　　)

A．0 B．1 

C．2 D．3

解析　①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

答案　B

空间几何体的直观图

空间几何体的直观图是空间几何体的表现形式，是学好空间几何的基础和关键，只有正确作出空间几何体的直观图，才能分析其中各元素及各组成部分之间的关系．

[典例2]　画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4，OC⊥OB，AD⊥OB)．

解　以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图1.作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图2.

空间几何体的体积与表面积

几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．

[典例3]　已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC的体积的最大值为36，则球O的表面积为多少？

解　如图所示，当点C位于垂直于平面OAB的直径顶端时，三棱锥O－ABC的体积最大．

设球O的半径为R，此时

VO－ABC＝VC－OAB＝×R2×R＝＝36.

∴R＝6.

∴球O的表面积为S＝4πR2＝144π.

空间中的位置关系

1．空间中两直线的位置关系

2．空间中线与面的位置关系

3．两个平面的位置关系

[典例4]　已知m，n是不同的直线α，β是两个不重合的平面．给出下列结论：

①若m∥α，则m平行于平面α内任意一条直线；

②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β；

④若α∥β，m⊂α，则m∥β.

其中正确的结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．

解析　若m∥α，则m平行于过m的平面与α相交的交线，并非所有的直线，故①错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n，也可能m，n异面，故②错误．③④正确．

答案　③④

平行问题

立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：

[典例5]　如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；

(2)求四面体N－BCM的体积．

解　(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.

如图，取BP的中点T，连接AT，TN，

由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.

又AD∥BC，故TN綊AM，

所以四边形AMNT为平行四边形，

所以MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.

如图，取BC的中点E，连接AE.

由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.

由AM∥BC得M到BC的距离为，

故S△BCM＝×4×＝2.

所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.

垂直问题

1．空间中垂直关系的相互转化

2．判定线面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理；

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；

(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；

(4)利用面面垂直的性质．

3．判定线线垂直的方法

(1)平面几何中证明线线垂直的方法；

(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

4．判断面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

[典例6]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：

(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直线A1F∥平面ADE.

证明　(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1⊂平面BCC1B1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.

又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.

(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，

所以A1F⊥B1C1.

因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，

所以CC1⊥A1F.

又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，

所以A1F⊥平面BCC1B1.

由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.

又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，

所以A1F∥平面ADE.

线线角、线面角和二面角问题

1．两条异面直线所成的角的范围是.找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到．

2．直线和平面所成的角的范围是.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角．当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为90°时，直线与平面垂直．

3．如果求两个相交平面所成的二面角．除垂直外，均有两个答案，即θ或180°－θ.具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：(1)定义法；(2)垂面法．

4．求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．

[典例7]　如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD＝DC＝2，BC＝2.

(1)求PB与平面ADC所成角的大小；

(2)求异面直线PC，BD所成角的正弦值．

解　(1)因为PD⊥平面ABCD，

所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角．

因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC，

所以BD＝2，tan∠PBD＝＝，所以∠PBD＝30°，

即PB与平面ADC所成角的大小为30°.

(2)取PA的中点G，连接OG，DG，如图．

显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC，BD所成的角．

因为OG＝PC＝，OD＝BD＝，DG＝PA＝，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝，所以异面直线PC，BD所成角的正弦值为.

[典例8]　如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．

(1)证明：平面POD⊥平面PAC；

(2)求二面角B－PA－C的余弦值.

解　(1)证明：如图，连接OC.

∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO.

∵OA＝OC，D是AC的中点，

∴AC⊥OD.

又OD∩PO＝O，

∴AC⊥平面POD.

又AC⊂平面PAC，∴平面POD⊥平面PAC.

(2)在平面POD中，过点O作OH⊥PD于点H.

由(1)知，平面POD⊥平面PAC，且交线为PD，OH⊂平面POD，

∴OH⊥平面PAC.

又PA⊂平面PAC，∴PA⊥OH.

在平面PAO中，过点O作OG⊥PA于点G，

连接HG，

则有PA⊥平面OGH，∴PA⊥HG.

故∠OGH为二面角B－PA－C的平面角．

∵C是的中点，AB是直径，∴OC⊥AB.

在Rt△ODA中，OD＝OA·sin45°＝.

在Rt△POD中，

OH＝＝＝＝.

在Rt△POA中，

OG＝＝＝＝.

又GH⊂平面PAC，∴OH⊥GH.

在Rt△OHG中，sin∠OGH＝＝＝.

∴cos∠OGH＝＝＝.

故二面角B－PA－C的余弦值为.