高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第2课时导学案，共6页。

类型1 用奇偶性求解析式
【例1】 函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式．
[解] 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，
又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴当x<0时，f(x)＝－x－1.
又x＝0时，f(0)＝0，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))
利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”，在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间的函数解析式中．
(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)．
提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，则函数f(x)的解析式为__________．
(1)x(x＋1) (2)eq \f(1,x2－1) [(1)设x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)．因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1)．
(2)∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
由f(x)＋g(x)＝eq \f(1,x－1)，①
用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq \f(1,－x－1)，
∴f(x)－g(x)＝eq \f(1,－x－1)，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝eq \f(1,x2－1).]
类型2 利用函数的单调性与奇偶性比较
大小
【例2】 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是单调递增的，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)时，f(x)是单调递增的，则x∈(－∞，0)时，f(x)是单调递减的，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3)＞f(－2)，故选A.]
(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系如何？
(2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小．
[解] (1)因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以有f(2)>f(3)>f(π)．又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)>f(－3)>f(π)．
(2)因为函数为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以函数在R上是增函数，
因为－3<－2<π，所以f(－3)比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上：
(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))B [∵函数f(x＋2)是偶函数，
∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，又f(x)在[0,2]上单调递增，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) 类型3 利用函数的单调性与奇偶性解
不等式
【例3】 已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)判断f(x)在[－2,2]上的单调性，由此思考如何解不等式f(1－m)[解] 因为f(x)在区间[－2,2]上为奇函数，且在区间[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减．
又f(1－m)m，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,m<\f(1,2).))解得－1≤m故实数m的取值范围是－1≤m抽象不等式的求解策略
解有关奇函数f(x)的不等式f(a)＋f(b)<0，先将f(a)＋f(b)<0变形为f(a)<－f(b)＝f(－b)，再利用f(x)的单调性去掉“f”，化为关于a，b的不等式．另外，要特别注意函数的定义域．
由于偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反，所以我们要利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)＝f(－|x|)将f(g(x))中的g(x)全部化到同一个单调区间内，再利用单调性去掉符号f，使不等式得解．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．(1)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，若f(a)A．ab
C．|a|<|b|D．0≤ab≥0
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则eq \f(fx,x)<0的解集为________．
(1)C (2)(－3,0)∪(3，＋∞) [(1)∵f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，
∴由f(a)(2)结合题意，画出草图如图所示，
由eq \f(fx,x)<0可知：当x<0时，f(x)>0，此时x∈(－3,0)，当x>0时，f(x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3,0)∪(3，＋∞)．]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1D．y＝－eq \f(2,x)
B [对于函数y＝|x|＋1，
f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，
所以y＝|x|＋1是偶函数，当x＞0时，y＝x＋1，
所以在(0，＋∞)上单调递增；另外函数y＝x3不是偶函数；y＝－x2＋1在(0，＋∞)上单调递减；y＝－eq \f(2,x)不是偶函数．故选B.]
2．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2D．－1C [因为函数f(x)在实数集上是偶函数，且f(3)1或a<－2.故选C.]
3．若f(x)满足f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则( )
A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))B．f(－1)C．f(2)D．f(2)D [∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
又f(x)在(－∞，－1]上递增，且－2<－eq \f(3,2)<－1，
∴f(－2)∴f(2)4．若奇函数f(x)在区间[－4，－2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________．
－2 [∵奇函数图象关于原点对称，∴f(x)在区间[2,4]上的最小值为－2.]
5．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，
故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0.
故f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若奇函数f(x)在原点处有定义，则f(0)为定值吗？若f(x)为偶函数呢？
[提示] 若f(x)为奇函数，且在原点处有定义，则f(0)＝0；
若f(x)为偶函数，则无法判断该值的大小．
2．如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上的单调性如何？
[提示] 如果奇函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数f(x)在区间(a，b)上单调递减，那么f(x)在(－b，－a)上单调递增．
3．若奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(a)>f(b)，则a，b的大小关系如何？若f(x)为偶函数呢？
[提示] 奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|.
学 习 任 务
核 心 素 养
1．会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式．(重点)
2．能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决较简单的问题．(难点)
1．利用奇偶性求函数的解析式，培养逻辑推理素养．
2．借助奇偶性与单调性的应用，提升逻辑推理、数学运算素养.