2020-2021年陕西省高一（下）3月月考数学试卷 (1)北师大版

这是一份2020-2021年陕西省高一（下）3月月考数学试卷 (1)北师大版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={−1, 0, 1}，B={1, 2, 3}，则A∪B=( )
A.{1}B.[−1,3]C.{−1,0, 1, 2, 3}D.{−1, 0, 1, 1, 2, 3}

2. 函数f(x)=x2+csxx的图象大致为( )
A.B.
C.D.

3. 下列函数是奇函数且最小正周期为π的是( )
A.y=sinxB.y=sinx⋅csxC.y=cs2xD.y=tan2x

4. 函数fx=lnx+x−3的零点所在的区间是( )
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4

5. 已知三点A1,−3，B2,−1，Ck,k−2共线，则实数k的值为( )
A.0B.1C.2D.3

6. cs45∘sin75∘−sin135∘sin15∘=( )
A.12B.−12C.32D.−32

7. 如图，△ABC中，E，F分别是BC，AC边的中点，AE与BF相交于点G，则AG→=( )

A.13AB→+13AC→B.13AB→+23AC→
C.12AB→+12AC→D.23AB→+23AC→

8. 等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形．例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36∘的等腰三角形，如图所示，在黄金三角形ABC中，BCAC=5−12，根据这些信息，可求得cs144∘的值为( )

A.1−54B.−5−12C.−5+14D.−3+58

9. 已知函数fx=csωx−sinωxω>0在区间[−π4,π4]上单调递减，则ω的最大值为( )
A.12B.1C.2D.3

10. 已知fx是定义在R上的偶函数，且满足fx+2=fx，当x∈0,1时，fx=2x−1，则函数y=fx−|lg4|x||的零点个数为( )
A.2B.4C.6D.8

11. 若实数x，y，z满足lg2x=lg3y=2z ，则( )
A. x
12. 当x=θ时，函数fx=2sinx−csx取得最大值，则tanθ=( )
A.−2B.2C.−12D.12
二、填空题

10lg2−lg23⋅lg34=_______.

若cs2π−α=53，α∈−π2,0，则tanπ−α=________.

在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60∘，E为CD的中点．若AC→⋅BE→=1，则AB的长为________．

若函数fx=sin4x+asin2x+cs4xx∈R的最小值为−12，则a=________ .
三、解答题

设函数f(x)=lg12(10−ax)，且f(3)=−2．
(1)求a的值；

(2)求使f(x)≥0的x的取值范围；

已知向量a→，b→，满足：|a→|=4，|b→|=3，2a→−3b→⋅2a→−b→=43 .
(1)求a→与b→的夹角θ；

(2)求|a→−2b→|；

(3)若(a→+b→)⊥(a→+λb→)，求实数λ的值．

如图，锐角α，β顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边与单位圆的交点A，B的横坐标分别为210，255 .

(1)求csα+β的值；

(2)求α+2β的值．

已知函数fx是定义在−4,4上的奇函数，当x∈0,4时，fx=2x+a⋅4x .
(1)求实数a的值及函数fx在[−4,0)上的解析式；

(2)当x∈−3,−1时，不等式fx≤m2x恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数fx=Acsωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示．

(1)求fx的解析式；

(2)将函数fx的图像先向右平移π4个单位，再将所得函数图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数gx的图像，若gx在区间−5π12,a上的值域为−22,2，求实数a的取值范围．

已知函数fx=4csωxsinωx+φ−1(ω>0，0<φ<π)的图像关于直线x=π6对称，且两相邻对称中心之间的距离为π2．
(1)求函数y=fx的单调递增区间；

(2)若x∈0,π时，函数gx=fx−b有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围及tanx1+x2的值．
参考答案与试题解析
2020-2021年陕西省高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
利用并集定义直接求解．
【解答】
解：∵ 集合A={−1, 0, 1}，B={1, 2, 3}，
∴ A∪B={−1, 0, 1, 2, 3}．
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的图象
【解析】
先判断函数奇函数，再求出f(1)即可判断
【解答】
解：由题意，得f(−x)=(−x)2+cs(−x)−x=−x2+csxx=−f(x)，
则函数f(x)为奇函数，且关于原点对称，故排除选项A，B；
当x=1时，f(1)=1+cs1>0，故排除选项C.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的判断
三角函数中的恒等变换应用
三角函数的周期性及其求法
【解析】
根据求周期的公式和奇偶性的判断，即可解得此题.
【解答】
解：A选项：T=2π1=2π，故A选项错误；
B选项：y=sinx⋅csx=12sin2x，
∴T=2π2=π，
且f−x=12sin−2x=−12sin2x=−fx，故B选项正确；
C选项：∵T=2π2=π，
且f−x=cs−2x=cs2x=fx，
则fx是偶函数，故C选项错误；
D选项：T=π2，故D选项错误.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
由题意得到函数fx=lnx+x−3在0，+∞上连续且单调递增，f(2)f(3)<0，即可得到答案.
【解答】
解：由题意，得f(1)=ln1+1−3=−2<0，
f(2)=ln2+2−3=ln2−1<0，
f(3)=ln3+3−3=ln3>0，
f(4)=ln4+4−3=ln4+1>0，
则f(2)f(3)<0，
故函数fx=lnx+x−3的零点所在的区间是2,3 .
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
用向量坐标表示AB→，AC→，由A，B，C三点共线即可求k的值.
【解答】
解：∵ A1,−3，B2,−1，Ck,k−2，
∴ AB→=1,2， AC→=k−1,k+1，
又A，B，C三点共线，即AB→与AC→共线，
∴ 2k−1−k+1=0，
解得k=3.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
两角和与差的正弦公式
【解析】
应用两角差的正弦公式，直接把所给式子化为sin30∘，再求出30∘的正弦值即可．
【解答】
解：原式=cs45∘sin75∘−sin45∘cs75∘
=sin75∘−45∘=sin30∘=12.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
根据题意即可知道，G为△ABC的重心，根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则、向量数乘的几何意义即可得出AG→=13AB→+13AC→．
【解答】
解：由题意，得点G为△ABC的重心，
则AG→=23AE→=23(AB→+12BC→)
=23AB→+13(AC→−AB→)
=13AB→+13AC→．
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
黄金分割法—0.618法
二倍角的余弦公式
【解析】

【解答】
解：由图可知，∠ACB=72∘，
且cs72∘=5−14，
所以cs144∘=2cs272∘−1=−5+14.
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的单调性
【解析】
直接利用单调性，即可求出.
【解答】
解：由题意，得f(x)=csωx−sinωx=2csωx+π4，
由2kπ≤ωx+π4≤π+2kπ，k∈Z，
得−π4ω+2kπω≤x≤3π4ω+2kπω，k∈Z，
则−π4ω≤−π4，3π4ω≥π4，ω>0，
解得0<ω≤1，
则ω的最大值为1.
故选B.
10.
【答案】
D
【考点】
函数的零点
函数奇偶性的性质
【解析】

【解答】
解：∵ fx是定义在R上的偶函数，
∴ fx=f(−x)，
∵ x∈0,1时，fx=2x−1，
∴ x∈−1,0时，−x∈0,1，则fx=f(−x)=2−x−1.
又∵ fx+2=fx，
∴ T=2.
令g(x)=lg4|x|，则fx−|lg4|x||=0，
即f(x)=|g(x)|，
作出图象如图所示：
当x>4或x<−4时，g(x)>f(x)，此时无交点，
∴ 当x>0时，有4个零点，
由图象对称性可知，共有8个零点.
故选D.
11.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
指数式与对数式的互化
【解析】
（1）不妨设出一个数，利用这个数进行化简，进而求解即可.
【解答】
解：不妨设lg2x=lg3y=2z=1，
解得x=2，y=3，z=0，
则z故选D.
12.
【答案】
A
【考点】
两角和与差的正弦公式
【解析】

【解答】
解：当x=θ时，fx=2sinx−csx
=525sinx−15csx=5sinx+α，
取得最大值，其中csα=25，sinα=−15，
所以θ+α=2kπ+π2，k∈Z，
即θ=2kπ+π2−α，k∈Z，
所以tanθ=tan2kπ+π2−α=tanπ2−α
=sinπ2−αcsπ2−α=csαsinα=−2 .
故选A.
二、填空题
【答案】
0
【考点】
对数的运算性质
【解析】
利用对数的性质、运算法则、换底公式直接求解．
【解答】
解：原式=2−lg24=2−2=0.
故答案为：0.
【答案】
255
【考点】
诱导公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
先利用诱导公式求出csα，再利用基本关系式求出sinα,tanα，再利用诱导公式即可解得此题.
【解答】
解：∵cs2π−α=csα=53，
∴sin2α=1−59=49，
∵α∈−π2,0，
∴sinα=−23，
∴tanα=−2353=−255，
∴tanπ−α=−tanα=255.
故答案为：255.
【答案】
12
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】
利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出．
【解答】
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC→ = AD→，AB→ = DC→，
又E为CD的中点，
∴ EC→ = 12AB→，
∴ AC→⋅BE→=(AD→+DC→)⋅(BC→−EC→)
=(AD→+AB→)⋅(AD→−12AB→)
=AD→2+12AB→⋅AD→−12AB→2
=12+12|AB→|×1×cs60∘−12|AB→|2=1，
整理，得2|AB→|2−|AB→|=0，
∵ |AB→|≠0，
∴ |AB→|=12，
即AB的长为12．
故答案为：12.
【答案】
±1
【考点】
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】

【解答】
解：f(x)=(sin2x+cs2x)2−2sin2xcs2x+asin2x
=−12(sin2x−a)2+1+a22，
当a>0，则当sin2x=−1时，f(x)取得最小值，
∴ 12−a=−12，
解得a=1；
当a<0，则当sin2x=1时，fx取得最小值，
即12+a=−12，
解得a=−1 .
综上，a=±1.
故答案为：±1.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ f(3)=lg12(10−3a)=−2，
∴ 10−3a=(12)−2=4，
解得a=2．
(2)∵ f(x)=lg12(10−2x)，
∴ f(x)≥0即为lg12(10−2x)≥0，
∴ 0<10−2x≤1，
∴ 92≤x<5，
∴ f(x)≥0的x的取值范围为{x|92≤x<5}.
【考点】
函数的求值
其他不等式的解法
【解析】
(1)直接令x＝3代入函数f(x)的表达式即可求出a；
(2)f(x)=lg12(10−2x)，f(x)≥0可化为lg12(10−2x)≥0，解此对数不等式即可；
【解答】
解：(1)∵ f(3)=lg12(10−3a)=−2，
∴ 10−3a=(12)−2=4，
解得a=2．
(2)∵ f(x)=lg12(10−2x)，
∴ f(x)≥0即为lg12(10−2x)≥0，
∴ 0<10−2x≤1，
∴ 92≤x<5，
∴ f(x)≥0的x的取值范围为{x|92≤x<5}.
【答案】
解：(1)∵|a→|=4，|b→|=3，(2a→−3b→)⋅(2a→−b→)=43，
∴ 43=4a→2−8a→⋅b→+3b→2，
即64−8×4×3csθ+27=43，
解得csθ=12.
∵ θ∈0,π，
∴ θ=π3 .
(2)|a→−2b→|=(a→−2b→)2
=a→2−4a→⋅b→+4b→2
=42−4×4×3×csθ+4×32
=27．
(3)∵ (a→+b→)⊥(a→+λb→)，
∴ (a→+b→)(a→+λb→)=a→2+(λ+1)a→⋅b→+λb→2=0，
即16+6λ+1+9λ=0，
整理，得15λ=−22，
解得λ=−2215 .
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】

．
.
【解答】
解：(1)∵|a→|=4，|b→|=3，(2a→−3b→)⋅(2a→−b→)=43，
∴ 43=4a→2−8a→⋅b→+3b→2，
即64−8×4×3csθ+27=43，
解得csθ=12.
∵ θ∈0,π，
∴ θ=π3 .
(2)|a→−2b→|=(a→−2b→)2
=a→2−4a→⋅b→+4b→2
=42−4×4×3×csθ+4×32
=27．
(3)∵ (a→+b→)⊥(a→+λb→)，
∴ (a→+b→)(a→+λb→)=a→2+(λ+1)a→⋅b→+λb→2=0，
即16+6λ+1+9λ=0，
整理，得15λ=−22，
解得λ=−2215 .
【答案】
解：(1)由三角函数定义，得csα=210，csβ=255，
∵ α，β为锐角，
∴ sinα=1−2102=7210，sinβ=1−2552=55，
∴ csα+β=csαcsβ−sinαsinβ
=210×225−7210×55
=−1010．
(2)由(1)知csα+β=−1010，
∴ π2<α+β<π，
∴ sinα+β=1−−10102=31010，
∴ sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]
=sin(α+β)csβ+cs(α+β)sinβ
=31010×255−1010×55
=22 .
∵ π2<α+β<π，0<β<π2，
∴ π2<α+2β<3π2，
∴ α+2β=3π4．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
任意角的三角函数
两角和与差的余弦公式
【解析】


【解答】
解：(1)由三角函数定义，得csα=210，csβ=255，
∵ α，β为锐角，
∴ sinα=1−2102=7210，sinβ=1−2552=55，
∴ csα+β=csαcsβ−sinαsinβ
=210×225−7210×55
=−1010．
(2)由(1)知csα+β=−1010，
∴ π2<α+β<π，
∴ sinα+β=1−−10102=31010，
∴ sin(α+2β)=sin[(α+β)+β]
=sin(α+β)csβ+cs(α+β)sinβ
=31010×255−1010×55=22 .
∵ π2<α+β<π，0<β<π2，
∴ π2<α+2β<3π2，
∴ α+2β=3π4．
【答案】
解：(1)由题意，得函数fx是定义在−4,4上的奇函数，
即f0=1+a=0，解得a=−1，
所以当x∈0,4时，fx=2x+a⋅4x=2x−4x，
当x∈[−4,0）时，−x∈[0,4)，即f−x=2−x−4−x.
又fx是奇函数，
所以fx=−f−x=4−x−2−x，
所以fx在[−4,0)上的解析式为fx=4−x−2−x．
(2)因为x∈−3,−1，不等式fx≤m2x恒成立，
即4−x−2−x≤m2x在x∈−3,−1恒成立.
因为2x>0，
所以2−x−1≤m.
因为函数yx=2−x−1在[−3,−1]上单调递减，
所以函数gx的最大值为g−3=7，
所以m≥7，
即实数m的取值范围是[7,+∞) ．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数恒成立问题
【解析】

【解答】
解：(1)由题意，得函数fx是定义在−4,4上的奇函数，
即f0=1+a=0，解得a=−1，
所以当x∈0,4时，fx=2x+a⋅4x=2x−4x，
当x∈[−4,0）时，−x∈[0,4)，即f−x=2−x−4−x.
又fx是奇函数，
所以fx=−f−x=4−x−2−x，
所以fx在[−4,0)上的解析式为fx=4−x−2−x．
(2)因为x∈−3,−1，不等式fx≤m2x恒成立，
即4−x−2−x≤m2x在x∈−3,−1恒成立.
因为2x>0，
所以2−x−1≤m.
因为函数yx=2−x−1在[−3,−1]上单调递减，
所以函数gx的最大值为g−3=7，
所以m≥7，
即实数m的取值范围是[7,+∞) ．
【答案】
解：(1)由图像可知，πω=π8+3π8，
解得ω=2，
∵ fπ8=Acsπ4+φ=0，且|φ|<π2，
∴ φ=π4，
∵ f0=Acsπ4=1，
∴ A=2，
∴ fx=2cs2x+π4．
(2)由题意，得gx=2csx−π4，
又x∈−5π12,a，
∴ x−π4∈−2π3,a−π4，
结合余弦函数图像可知，0≤a−π4≤2π3，
解得π4≤a≤11π12，
∴ 实数a的取值范围是π4,11π12．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）由图可得πω=π8+3π8⇒ω=2，fπ8=Acsπ4+φ=0，φ=π4，
1=Acsπ4，A=2,fx=2cs2x+π4．
(2)由题意，得gx=2csx−π4，
又x∈−5π12,a，
∴ x−π4∈−2π3,a−π4，
结合余弦函数图像可知，0≤a−π4≤2π3，
解得π4≤a≤11π12，
∴ 实数a的取值范围是π4,1112．
【解答】
解：(1)由图像可知，πω=π8+3π8，
解得ω=2，
∵ fπ8=Acsπ4+φ=0，且|φ|<π2，
∴ φ=π4，
∵ f0=Acsπ4=1，
∴ A=2，
∴ fx=2cs2x+π4．
(2)由题意，得gx=2csx−π4，
又x∈−5π12,a，
∴ x−π4∈−2π3,a−π4，
结合余弦函数图像可知，0≤a−π4≤2π3，
解得π4≤a≤11π12，
∴ 实数a的取值范围是π4,11π12．
【答案】
解：(1)f(x)=4csωxsin(ωx+φ)−1
=4csωx(sinωxcsφ+csωxsinφ)−1
=4sinωxcsωxcsφ+4cs2ωxsinφ−1
=2sin2ωxcsφ+2(1+cs2ωx)sinφ−1
=2sin2ωxcsφ+2cs2ωxsinφ+2sinφ−1
=2sin(2ωx+φ)+2sinφ−1，
∵ 两相邻对称中心之间的距离为π2，
∴ 函数f(x)的周期为π，
即T=2π2ω=π，
解得ω=1，
∴ f(x)=2sin(2x+φ)+2sinφ−1，
又f(x)的图像关于直线x=π6对称，
∴ 2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=π6+kπ，k∈Z.
∵ 0<φ<π，
∴ φ=π6，
∴ f(x)=2sin2x+π6.
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ，k∈Z．
(2)当x∈[0,π]时，函数g(x)=f(x)−b有两个不同的零点x1，x2，
即当x∈[0,π]时，方程sin2x+π6=b2有两个不同的根x1，x2，
令t=2x+π6，则t∈π6,13π6，
所以方程sint=b2在π6,13π6上有两个不同的根t1，t2，
作出函数的图像如图所示，
①当12则t1+t2=2×π2，
即2x1+π6+2x2+π6=π，
解得x1+x1=π3，
tan(x1+x2)=tanπ3=3；
②当−1则t1+t2=2×3π2，
即2x1+π6+2x2+π6=3π，
解得x1+x2=4π3，
tan(x1+x2)=tan4π3=3，
综上，b的取值范围是(−2,1)∪(1,2)，tan(x1+x2)=3．
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
两角和与差的正弦公式
正弦函数的图象
函数的零点与方程根的关系
【解析】


【解答】
解：(1)f(x)=4csωxsin(ωx+φ)−1
=4csωx(sinωxcsφ+csωxsinφ)−1
=4sinωxcsωxcsφ+4cs2ωxsinφ−1
=2sin2ωxcsφ+2(1+cs2ωx)sinφ−1
=2sin2ωxcsφ+2cs2ωxsinφ+2sinφ−1
=2sin(2ωx+φ)+2sinφ−1，
∵ 两相邻对称中心之间的距离为π2，
∴ 函数f(x)的周期为π，
即T=2π2ω=π，
解得ω=1，
∴ f(x)=2sin(2x+φ)+2sinφ−1，
又f(x)的图像关于直线x=π6对称，
∴ 2×π6+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=π6+kπ，k∈Z.
∵ 0<φ<π，
∴ φ=π6，
∴ f(x)=2sin2x+π6.
令−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，
解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴ 函数y=f(x)的单调递增区间为−π3+kπ,π6+kπ，k∈Z．
(2)当x∈[0,π]时，函数g(x)=f(x)−b有两个不同的零点x1，x2，
即当x∈[0,π]时，方程sin2x+π6=b2有两个不同的根x1，x2，
令t=2x+π6，则t∈π6,13π6，
所以方程sint=b2在π6,13π6上有两个不同的根t1，t2，
作出函数的图像如图所示，
①当12则t1+t2=2×π2，
即2x1+π6+2x2+π6=π，
解得x1+x1=π3，
tan(x1+x2)=tanπ3=3；
②当−1则t1+t2=2×3π2，
即2x1+π6+2x2+π6=3π，
解得x1+x2=4π3，
tan(x1+x2)=tan4π3=3，
综上，b的取值范围是(−2,1)∪(1,2)，tan(x1+x2)=3．