2020-2021年陕西省榆林市高一（下）4月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021年陕西省榆林市高一（下）4月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是( )
A.α=βB.α=2kπ+β(k∈Z)
C.α=π+βD.α=(2k+1)π+β(k∈Z)

2. 下列命题正确的是( )
A.若a→⋅b→=a→⋅c→，则b→=c→
B.若|a→+b→|=|a→−b→|，则a→⋅b→=0
C.若a→ // b→，b→ // c→，则a→ // c→
D.若a→与b→是单位向量，则a→⋅b→=1

3. 若P(2, −1)为圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A.x−y−3=0B.2x+y−3=0C.x+y−1=0D.2x−y−5=0

4. α是第二象限角，其终边上有一点P(x,5)，且csα=24x，则sinα的值为( )
A.104B.64C.24D.−104

5. 设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→+OB→+OC→+OD→等于( )
A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→

6. 已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( )
A.1B.4C.1或4D.2或4

7. 将函数f(x)=sin(2x−π3)的图像左移π3，再将图像上各点横坐标压缩到原来的12，则所得到的图像的解析式为( )
A.y=sinxB.y=sin(4x+π3)C.y=sin(4x−2π3)D.y=sin(x+π3)

8. 若实数x，y满足x2+y2+4x−2y−4=0，则x2+y2的最大值是( )
A. 5+3B.65+14C.−5+3D. −65+14

9. 若|a→|=2，|b→|=2且(a→−b→)⊥a→，则a→与b→的夹角是( )
A.π6B.π4C.π3D.512π

10. 将函数fx=sin3x+π6的图象向右平移mm>0个单位长度，得到函数gx的图象，若gx为奇函数，则m的最小值为( )
A.π9B.2π9C.π18D.π24

11. 已知函数f(x)=lnx+2x，若f(x2−4)<2，则实数x的取值范围是( )
A.(−2,2)B.(2,5)C.(−5,−2)D.(−5,−2)∪(2,5)

12. 函数y=lg(2csx−3)的单调递增区间为( )
A.(2kπ+π, 2kπ+2π)(k∈Z)B.(2kπ+π,2kπ+116π)(k∈Z)
C.(2kπ−π6,2kπ)(k∈Z)D.(2kπ,2kπ+π6)(k∈Z)
二、填空题

在(0,2π)内，满足不等式sinx−csx<0的x的取值集合是________．

在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M在直线AD上，且满足DM→=2AD→，若存在实数λ和μ，使得BM→=λAB→+μAC→，则λ+μ=________.

若(a→+b→)⊥(2a→−b→)，(a→−2b→)⊥(2a→+b→)，则a→，b→的夹角为θ，则csθ=________．

设a→，b→是两个不共线的非零向量，OA→=a→，OB→=tb→，OC→=13(a→+b→)(t∈R)，若A，B，C三点共线，则t=________.
三、解答题


(1)计算：3sin−90∘+5tan180∘+5cs0∘+sin540∘；

化简sin(2π−α)cs(α+π2)cs(α−2π)cs(3π2−α)cs(π−α)sin(3π−α)sin(−α−π)sin(9π2+α).

一直线经过点P(−3, −32)，被圆x2+y2=25截得的弦长为8，
(1)求圆心到直线的距离；

(2)求此弦所在直线方程．

已知函数f(x)=tan(2x−π4).求f(x)的最小正周期、定义域和单调区间．


(1)1.5−13×(−67)0+80.25×42+(32×3)6−(23)23；

(2)lg327+lg25+lg4+7lg72+(−9.8)0．

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，−π<φ<π).若函数y=f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M5π8,−2.
(1)求f(x)的表达式；

(2)求函数f(x)在[0,π2]上的最大值与最小值及相应的x值．

若fx=−sin2x+asinx−1a∈R.
(1)若a=1，求fx的最小值；

(2)若fx的最大值为12，求a的值．
参考答案与试题解析
2020-2021年陕西省榆林市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
任意角的概念
终边相同的角
【解析】
角α，β的终边互为反向延长线，则α与β的角的度数的差是π的整数倍，写出结果即可．
【解答】
解：因为角α，β的终边互为反向延长线，
所以α与β的角的度数的差是π的整数倍，
所以α=(2k+1)π+β(k∈Z).
故选D.
2.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
平行向量的性质
单位向量
向量的模
【解析】
利用向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方；再利用向量的运算律：完全平方公式化简等式得到a→⋅b→=0
【解答】
解：对于A，若a→⋅b→=a→⋅c→，
则a→⋅(b→−c→)=0，
则b→=c→或a→=0，故错误；
对于B，∵ |a→+b→|=|a→−b→|，
∴ (a→+b→)2=(a→−b→)2，
∴ a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2，
∴ a→⋅b→=0，故正确；
对于C，若a→ // b→，b→ // c→，不能推出a→ // c→，
∵ b→=0时，a→与c→的关系是任意的，故错误；
对于D，若a→ 与b→是单位向量，
则a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cs=cs，
不能推出a→⋅b→=1，故错误.
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
直线与圆相交的性质
圆的标准方程
直线的点斜式方程
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
由圆心为O(1, 0)，由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．
【解答】
解：已知圆心为O(1, 0)
根据题意：KOP=0+11−2=−1，
kABkOP=−1，
即kAB=1.
∵直线AB过点P(2, −1)，
∴ 直线AB的方程是x−y−3=0.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
象限角、轴线角
【解析】
先求P到原点的距离，表示出csα，求出x的值，即可求出sinα．
【解答】
解：因为α是第二象限角，其终边上有一点P(x,5)，
所以x<0，
则OP=x2+5，所以csα=xx2+5=2x4，
解得x=−3，
所以sinα=58=104.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
向量的三角形法则
向量的加法及其几何意义
【解析】
虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入OA→+OB→+OC→+OD→计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．
【解答】
解：∵ O为任意一点，不妨把A点看成O点，
则OA→+OB→+OC→+OD→=0→+AB→+AC→+AD→，
∵ M是平行四边形ABCD的对角线的交点，
∴ 0→+AB→+AC→+AD→=2AC→=4OM→.
故选D.
6.
【答案】
C
【考点】
扇形面积公式
弧长公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设扇形的弧长为l，半径为r，
所以2r+l=6，
因为S扇形=12lr=2，
解得r=1，l=4或r=2，l=2，
所以扇形的圆心角的弧度数为41=4或22=1.
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
先由“左加右减”的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的12，即可求出．
【解答】
解：将函数f(x)=sin(2x−π3)的图像左移π3，
可得y=sin[2(x+π3)−π3)]=sin(2x+π3)，
再将图像上各点横坐标压缩到原来的12，
可得y=sin(4x+π3).
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
两点间的距离公式
【解析】
把已知的方程配方后，得到此方程表示以B为圆心，3为半径的圆，在平面直角坐标系中画出此圆，所求式子即为圆上的点到原点的距离的平方，即要求出圆上的点到原点的最大距离，故连接OB并延长，与圆B交于A点，此时A到原点的距离最大，|AB|为圆B的半径，利用两点间的距离公式求出|OB|的长，根据|AB|+|OB|=|AO|求出|AO|的平方，即为所求式子的最大值．
【解答】
解：方程x2+y2+4x−2y−4=0可变形为(x+2)2+(y−1)2=9，
表示圆心B(−2, 1)，半径为3的圆，连接OB并延长，与圆B交于点A，如图所示：
在图中，x2+y2表示圆B上的点到原点O的距离，
此时x2+y2的最大值为|AO|.
则|AO|=|AB|+|BO|=3+(−2)2+12=3+5.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
利用向量垂直，数量积为0，得到(a→−b→)⋅a→=0，展开得到夹角的余弦值的等式解之．
【解答】
解：因为|a→|=2，|b→|=2且(a→−b→)⊥a→，
所以(a→−b→)⋅a→=0，即a→2−a→⋅b→=0，
所以2−2×2cs=0，
解得cs=22，
所以a→与b→的夹角是π4.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的奇偶性
【解析】
先由题意写出gx解析式，根据gx为奇函数，进而可求出m的值．
【解答】
解：将函数fx=sin3x+π6的图象向右平移mm>0个单位长度，
得到函数gx=sin3x−3m+π6的图象，
∵gx为奇函数，
∴−3m+π6=kπ ，k∈Z，
解得m=π18−13kπ，k∈Z,
∵m>0，
∴mmin=π18.
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
可判断f(x)在定义域内的单调性，且f(1)=2，由此可去掉不等式中的符号“f”，化为具体不等式，注意函数定义域．
【解答】
解：f(x)的定义域为(0, +∞)，
因为lnx与2x均为增函数，
所以f(x)单调递增，且f(1)=2.
因为f(x2−4)<2，即f(x2−4)则0解得−5所以实数x的取值范围是(−5,−2)∪(2,5).
故选D.
12.
【答案】
C
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
根据对数函数的真数必须为正，结合余弦函数的图象和性质，先求出函数的定义域，进而分析内外函数的单调性，结合复合函数“同增异减”的原则可得函数的单调递增区间．
【解答】
解：要使函数y=lg(2csx−3)有意义，
须2csx−3>0，即csx>32，
解得2kπ−π6令u=2csx−3，
∵ 函数y=lgu为增函数，u=2csx−3在(2kπ−π6,2kπ)(k∈Z)上为增函数，
∴ (2kπ−π6,2kπ)(k∈Z)为函数y=lg(2csx−3)的单调递增区间.
故选C.
二、填空题
【答案】
(0,π4)∪(5π4,2π)
【考点】
正弦函数的图象
余弦函数的图象
【解析】
如图所示，即可得出不等式的解集．
【解答】
解：如图所示，
∵ 0当sinx=csx时，x=π4或5π4．
∴ 不等式sinx故答案为：(0,π4)∪(5π4,2π)．
【答案】
2
【考点】
向量的共线定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由平面向量基本定理得AD→=xAB→+yAC→．
由已知B，C，D三点共线，则x+y=1．
又DM→=2AD→，
所以DM→=2xAB→+2yAC→=λAB→+μAC→，
所以λ=2x，μ=2y，
则λ+μ=2x+y=2．
故答案为：2.
【答案】
−1010
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
由已知向量垂直，数量积等于0列式，得到两向量模的关系，代入平面向量的夹角公式得答案．
【解答】
解：因为(a→+b→)⊥(2a→−b→)，
所以(a→+b→)⋅(2a→−b→)=2|a→|2+a→⋅b→−|b→|2=0①，
因为(a→−2b→)⊥(2a→+b→)，
所以(a→−2b→)⋅(2a→+b→)=2|a→|2−3a→⋅b→−2|b→|2=0②，
由①②得，a→⋅b→=−14|b→|2，a→⋅b→=−25|a→|2．
所以−14|b→|2=−25|a→|2，
所以|b→|=2105|a→|．
所以csθ=a→⋅b→|a→||b→|
=−25|a→|2|a→|⋅2105|a→|
=−1010．
故答案为：−1010．
【答案】
12
【考点】
向量的共线定理
【解析】
A、B、C三点共线时，存在实数λ，使OC→=λOA→+(1−λ)OB→，解方程求实数t．
【解答】
解：由A，B，C三点共线，可知存在实数λ，使OC→=λOA→+(1−λ)OB→，
即13(a→+b→)=λa→+(1−λ)tb→，即λ=13,(1−λ)t=13,
解得t=12．
故答案为：12.
三、解答题
【答案】
解：(1)3sin−90∘+5tan180∘+5cs0∘+sin540∘
=−3sin90∘+5tan180∘+5cs0∘+sin180∘
=−3×1+0+5×1+0
=2.
(2)sin(2π−α)cs(α+π2)cs(α−2π)cs(3π2−α)cs(π−α)sin(3π−α)sin(−α−π)sin(9π2+α)
=−sinα⋅(−sinα)⋅csα⋅(−sinα)(−csα)⋅sinα⋅sinα⋅csα
=tanα.
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
利用诱导公式将原函数化简为：原式=−sinα⋅(−csα)(−sinα)(−sinα)(−csα)⋅sinα⋅sinα⋅csα，整理即可．
【解答】
解：(1)3sin−90∘+5tan180∘+5cs0∘+sin540∘
=−3sin90∘+5tan180∘+5cs0∘+sin180∘
=−3×1+0+5×1+0
=2.
(2)sin(2π−α)cs(α+π2)cs(α−2π)cs(3π2−α)cs(π−α)sin(3π−α)sin(−α−π)sin(9π2+α)
=−sinα⋅(−sinα)⋅csα⋅(−sinα)(−csα)⋅sinα⋅sinα⋅csα
=tanα.
【答案】
解：(1)由圆的方程，得到圆心坐标为(0, 0)，半径r=5，
∵ 直线被圆截得的弦长为8，
∴ 圆心到直线的距离为52−42=3.
(2)若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=−3满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，
∴ 所求直线的方程为y+32=k(x+3)，
∴ 圆心到所求直线的距离d=|3k−32|1+k2=3，
解得k=−34，
此时所求方程为y+32=−34(x+3)，
即3x+4y+15=0，
综上，此弦所在直线的方程为x=−3或3x+4y+15=0．
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由圆的方程求出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=−3满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程．
【解答】
解：(1)由圆的方程，得到圆心坐标为(0, 0)，半径r=5，
∵ 直线被圆截得的弦长为8，
∴ 圆心到直线的距离为52−42=3.
(2)若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=−3满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，
∴ 所求直线的方程为y+32=k(x+3)，
∴ 圆心到所求直线的距离d=|3k−32|1+k2=3，
解得k=−34，
此时所求方程为y+32=−34(x+3)，
即3x+4y+15=0，
综上，此弦所在直线的方程为x=−3或3x+4y+15=0．
【答案】
解：因为f(x)=tan(2x−π4)，且T=πω，
所以它的周期等于T=π2．
定义域为{x|2x−π4≠π2+kπ,k∈Z}，
即{x|x≠38+kπ2,k∈Z}.
单调区间为{x|−π2+kπ<2x−π4<π2+kπ,k∈Z}
即{x|−π8+kπ2【考点】
正切函数的图象
正切函数的单调性
正切函数的周期性
【解析】
由条件利用正切函数的周期性、定义域、单调性，求得函数的周期、定义域和单调区间，解三角方程，求得方程f(x)=3的解集．
【解答】
解：因为f(x)=tan(2x−π4)，且T=πω，
所以它的周期等于T=π2．
定义域为{x|2x−π4≠π2+kπ,k∈Z}，
即{x|x≠38+kπ2,k∈Z}.
单调区间为{x|−π2+kπ<2x−π4<π2+kπ,k∈Z}
即{x|−π8+kπ2【答案】
解：(1)1.5−13×(−67)0+80.25×42+(32×3)6−(23)23
=(32)−13×1+814×214+(213×312)6−[(23)23]12
=(23)13×1+234+14+(22×33)−(23)13
=2+108
=110.
(2)lg327+lg25+lg4+7lg72+(−9.8)0
=lg3332+lg(25×4)+2+1
=32+lg102+3
=32+2+3
=132．
【考点】
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
对数的运算性质
【解析】
（1）化小数为分数，化根式为分数指数幂，化0指数幂为1，然后利用有理指数幂的运算性质化简求值；
（2）直接利用对数的运算性质化简求值．
【解答】
解：(1)1.5−13×(−67)0+80.25×42+(32×3)6−(23)23
=(32)−13×1+814×214+(213×312)6−[(23)23]12
=(23)13×1+234+14+(22×33)−(23)13
=2+108
=110.
(2)lg327+lg25+lg4+7lg72+(−9.8)0
=lg3332+lg(25×4)+2+1
=32+lg102+3
=32+2+3
=132．
【答案】
解：(1)由最低点为M(5π8,−2)，得A=2，
相邻两条对称轴之间的距离为π2，即T=π，
由ω=2πT=2ππ=2，
因为最低点M(5π8,−2)在图象上，得2sin2×5π8+φ=−2，
即sin(5π4+φ)=−1，
所以5π4+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
所以φ=2kπ+π4，k∈Z.
又因为φ∈0,π2，
所以φ=π4，
故fx=2sin2x+π4.
(2)x∈0,π2，
所以2x+π4∈[π4,5π4]，
当2x+π4=π2，即x=π8时， fx取得最大值2；
当2x+π4=5π4，即x=π2时， fx取得最小值−2.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
【解析】
（1）由函数的最大值求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式．
（2）令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈z，求得x的范围，可得函数的单调增区间．
【解答】
解：(1)由最低点为M(5π8,−2)，得A=2，
相邻两条对称轴之间的距离为π2，即T=π，
由ω=2πT=2ππ=2，
因为最低点M(5π8,−2)在图象上，得2sin2×5π8+φ=−2，
即sin(5π4+φ)=−1，
所以5π4+φ=2kπ+3π2，k∈Z，
所以φ=2kπ+π4，k∈Z.
又因为φ∈0,π2，
所以φ=π4，
故fx=2sin2x+π4.
(2)x∈0,π2，
所以2x+π4∈[π4,5π4]，
当2x+π4=π2，即x=π8时， fx取得最大值2；
当2x+π4=5π4，即x=π2时， fx取得最小值−2.
【答案】
解：(1)令t=sinx∈−1,1，y=ϕt=−t2+at−1，
当a=1，ϕt=−t2+t−1，
∵对称轴t=−12×−1=12，
∴ymin=ϕ−1=−−12+−1−1=−3.
(2)φt=−t2+at−1，
对称轴t=−a2×−1=a2，
∵fx的最大值为12，
∴a2<−1，φ−1=12 或−1≤a2≤1，φa2=12 或a2>1，φ1=12，
解得a=−52或a=−6（舍）或a=6（舍）或a=52，
∴a=−52或a=52.
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)令t=sinx∈−1,1，y=ϕt=−t2+at−1，
当a=1，ϕt=−t2+t−1，
∵对称轴t=−12×−1=12，
∴ymin=ϕ−1=−−12+−1−1=−3.
(2)φt=−t2+at−1，
对称轴t=−a2×−1=a2，
∵fx的最大值为12，
∴a2<−1，φ−1=12 或−1≤a2≤1，φa2=12 或a2>1，φ1=12，
解得a=−52或a=−6（舍）或a=6（舍）或a=52，
∴a=−52或a=52.