2020-2021学年陕西省西安市高一（上）10月月考数学试卷 (1)北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省西安市高一（上）10月月考数学试卷 (1)北师大版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 给出下列关系：①12∈R； ②2∈Q；③3∈N∗；④0∈Z．其中正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4

2. 设集合A和集合B都是自然数集N，映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2+n，则在映射f下，像20的原像是( )
A.2B.3C.4D.5

3. 方程组x−2y=3，2x+y=11的解集是( )
A.{5, 1}B.{1, 5}C.{(5, 1)}D.{(1, 5)}

4. 设全集U={1, 3, 5, 7}，M={1, |a−5|}，M⊆U，∁UM={5, 7}，则a的值为( )
A.2或−8B.−8或−2C.−2或8D.2或8

5. 函数f(x)=x−1+4−x的定义域是( )
A.⌀B.[1, 4]C.(1, 4)D.(−∞, 1)∪[4, +∞]

6. 下列各组函数是同一函数的是( )
①f(x)=−2x3与g(x)=x−2x；
②f(x)=|x|与g(x)=x2；
③f(x)=x0与g(x)=1x0；
④f(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1．
A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

7. 设函数y=11+1x的定义域为M，值域为N，那么( )
A.M={x|x≠0}，N={y|y≠0}
B.M={x|x<0且x≠−1, 或x>0}，N={y|y<0, 或01}
C.M={x|x≠0}，N={y|y∈R}
D.M={x|x<0且x≠−1, 或x>0}，N={y|y≠0}

8. 如果函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4]上是减函数，那么实数a取值范围是( )
A.a≤−3B.a≥−3C.a≤5D.a≥5

9. 若函数y=f(x+1)的定义域是[−2, 3]，则y=f(2x−1)的定义域为( )
A.[0, 52]B.[−1, 4]C.[−5, 5]D.[−3, 7]

10. 要得到y=−x2+2x+3的图象，只需将y=−x2的图象经过怎样平移（ ）
A.向左平移1个单位，再将所得图象向上平移4个单位
B.向右平移1个单位，再将所得图象向下平移4个单位
C.向左平移1个单位，再将所得图象向下平移4个单位
D.向右平移1个单位，再将所得图象向上平移4个单位
二、填空题

若函数fx=x+1，x≥0，fx+2，x<0， 则f−2=__________.

设集合A={1, 2}，则满足A∪B={1, 2, 3}的集合B的个数是________．

设f(x)=x+2(x≤−1)，x2(−1
已知全集U={0, 1, 2, 3}，集合A={0, 1, 2}，B={0, 2, 3}，则A∩∁UB等于_________.
三、解答题

二次函数的图像满足下列条件，求它的解析式：
(1)顶点为(2,−1)，过点3,1；

(2)过点(0,1)，1,1，(4,−9).

已知A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，B⊆A，求m的取值范围．

已知函数f(x)=−x2+2x．
(1)证明f(x)在[1, +∞)上是减函数；

(2)当x∈[2, 5]时，求f(x)的最大值和最小值．

已知函数f(x)=x−1x+2，x∈[3, 5]，
(1)判断函数f(x)的单调性；

(2)求函数f(x)的最大值和最小值．

已知集合A={x|mx2−2x+3=0, m∈R, x∈R}．
(1)若A是空集，求m的取值范围；

(2)若A中只有一个元素，求m的值；

(3)若A中至多只有一个元素，求m的取值范围．

已知f(x)=x2+4x+3，−3≤x<0，−3x+3，0≤x<1，−x2+6x−5，1≤x≤6.
(1)画出函数的图像；

(2)求函数的单调区间；

(3)求函数的最大值和最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高一（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
元素与集合关系的判断
【解析】
首先要弄清题中大写字母表示的数集的含义：R表示实数集，Q表示有理数集，N∗表示正整数集，Z表示整数集，在这些概念的基础之上，再对四个命题加以判断，就不难得出正确命题的个数了．
【解答】
解：对于①，因为12是实数，用符号表示为：12∈R，故①正确；
对于②，因为2是无理数，用符号表示为：2∉Q，故②不正确；
对于③，因为3是正整数，用符号表示为：3∈N∗，故③正确；
对于④，因为0是整数，用符号表示为：0∈Z，④正确．
∴ 其中正确的是①③④，个数为3．
故选C.
2.
【答案】
C
【考点】
映射
【解析】
A中的元素为原象，B中的元素为象，由2n+n＝20即可解出结果．
【解答】
解：由n2+n=20求n，用代入验证法法可知n=4．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
两条直线的交点坐标
【解析】
由于方程2中x的系数是方程1中x系数的2倍，所以用加减消元法比较简单．
【解答】
解：由题意知x−2y=3①，2x+y=11②，
由2×①，得2x−4y=6③，
②−③，得y=1，
把y=1代入②，得x=5，
则方程组的解为x=5，y=1.
故选C.
4.
【答案】
D
【考点】
补集及其运算
集合的确定性、互异性、无序性
【解析】
由CUM={5, 7}，得5∉M，7∉M，由M⊆U，可得|a−5|=3，解出a即可．
【解答】
解：因为∁UM={5, 7}，U={1, 3, 5, 7}，M⊆U，
所以M={1, |a−5|}={1,3}，
所以|a−5|=3，
解得a=2或8.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由函数的解析式可得x−1≥04−x≥0，解得1≤x≤4，从而得到函数的定义域．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=x−1+4−x，
∴ x−1≥0，4−x≥0，
解得1≤x≤4.
故选B.
6.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
利用函数的三要素即可判断出．
【解答】
解：①f(x)=|x|−2x，g(x)=x−2x，解析式不同，∴ f(x)与g(x)不是同一函数；
②∵ f(x)=|x|，g(x)=x2=|x|，故是同一函数；
③f(x)=x0=1(x≠0)，g(x)=1x0=1(x≠0)，解析式与定义域、值域相同，故是同一函数．
④f(x)=x2−2x−1与g(t)=t2−2t−1对应法则和定义域相同，故是同一函数．
综上可知：②③④．
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
【解析】
由于分式的分母不为0，故可由x≠01+1x≠0解出函数的定义域，再对解析式化简求出函数的值域即可选出正确选项
【解答】
解：由题意可得x≠0，1+1x≠0，
解得x≠0且x≠−1，
故函数的定义域M={x|x≠0且x≠−1}.
又11+1x=x1+x=1−11+x≠1，且当x=0时，y=0，
故函数的值域为N={y|y<0, 或01}，
故有M={x|x<0且x≠−1, 或x>0}，N={y|y<0, 或01}.
故选B.
8.
【答案】
A
【考点】
二次函数的性质
【解析】
先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在(−∞, 4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．
【解答】
解：∵ f(x)=x2+2(a−1)x+2=(x+a−1)2+2−(a−1)2，
其对称轴为：x=1−a.
∵ 函数f(x)=x2+2(a−1)x+2在(−∞, 4]上是减函数,
∴ 1−a≥4，
∴ a≤−3.
故选A.
9.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意得函数y=f(x+1)的定义域为x∈[−2, 3]，即−1≤x+1≤4，所以函数f(x)的定义域为[−1, 4]．由f(x)与f(2x−1)的关系可得−1≤2x−1≤4，解得0≤x≤52．
【解答】
解：因为函数y=f(x+1)的定义域为x∈[−2, 3]，即−1≤x+1≤4，
所以函数f(x)的定义域为[−1, 4]．
由f(x)与f(2x−1)的关系可得−1≤2x−1≤4，
解得0≤x≤52．
所以函数f(2x−1)定义域为[0, 52].
故选A．
10.
【答案】
D
【考点】
函数的图象变换
【解析】
按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】
解：函数y=−x2图象向右平移1个单位，得抛物线y=−(x−1)2，
再向上平移4个单位可得到抛物线y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3.
故选D.
二、填空题
【答案】
1
【考点】
函数的求值
【解析】
无
【解答】
解：f(−2)=f(−2+2)=f(0)=0+1=1．
故答案为：1．
【答案】
4
【考点】
子集与真子集
【解析】
由题意判断出3是集合B的元素，且是{1, 2, 3, 4}的子集，再由B中元素的个数一一列出集合B的所有情况．
【解答】
解：∵ A={1, 2}，且A∪B={1, 2, 3}，
∴ 3∈B，B⊆{1, 2, 3}，
∴ 则B可能为{3}，{1, 3}，{2, 3}，{1, 2, 3}，个数为4．
故答案为：4．
【答案】
3
【考点】
分段函数的应用
【解析】
本题考查了分段函数的求值，属于基础题.
先把函数值f(x)=3分别代入函数解析式，建立方程，求出x的值，再根据x的不同取值范围，求得答案即可.
【解答】
解：①当x+2=3时，解得x=1，
因为x≤−1，所以不成立；
②当x2=3时，解得x=±3，
因为−1故x=3；
③当2x=3时，解得x=32，
因为x≥2，所以不成立，
综上，x的值为3.
故答案为：3.
【答案】
{1}
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
先由补集的定义求出CUB再利用交集的定义求A∩CUB
【解答】
解：∵ U={0, 1, 2, 3}，B={0, 2, 3}，
∴ ∁UB={1}，
∴ A∩∁UB={1}.
故答案为：{1}.
三、解答题
【答案】
解：(1)设二次函数解析式为fx=ax−ℎ2+k a≠0，
∵ 顶点为2,−1 ，
∴ ℎ=2，k=−1，
又∵ 过点3,1，
∴ a3−22−1=1，解得a=2，
则解析式为fx=2x−22−1.
(2)设二次函数解析式为fx=ax2+bx+ca≠0，
∵ 过点(0,1)，(1,1)，(4,−9)，
∴ a⋅02+b⋅0+c=1，a⋅12+b⋅1+c=1，a⋅42+b⋅4+c=−9，
解得a=−56，b=56，c=1，
所以解析式为fx=−56x2+56x+1.
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】


【解答】
解：(1)设二次函数解析式为fx=ax−ℎ2+k a≠0，
∵ 顶点为2,−1 ，
∴ ℎ=2，k=−1，
又∵ 过点3,1，
∴ a3−22−1=1，解得a=2，
则解析式为fx=2x−22−1.
(2)设二次函数解析式为fx=ax2+bx+ca≠0，
∵ 过点(0,1)，(1,1)，(4,−9)，
∴ a⋅02+b⋅0+c=1，a⋅12+b⋅1+c=1，a⋅42+b⋅4+c=−9，
解得a=−56，b=56，c=1，
所以解析式为fx=−56x2+56x+1.
【答案】
解：当m+1>2m−1，即m<2时，B=⌀，满足B⊆A，即m<2；
当m+1=2m−1，即m=2时，B=3，满足B⊆A，即m=2；
当m+1<2m−1，即m>2时，由B⊆A，得m+1≥−2，2m−1≤5，
解得：2综上所述：m的取值范围为m≤3．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结．
【解答】
解：当m+1>2m−1，即m<2时，B=⌀，满足B⊆A，即m<2；
当m+1=2m−1，即m=2时，B=3，满足B⊆A，即m=2；
当m+1<2m−1，即m>2时，由B⊆A，得m+1≥−2，2m−1≤5，
解得：2综上所述：m的取值范围为m≤3．
【答案】
(1)证明：在区间[1, +∞)上任取x1，x2，且x1则有f(x1)−f(x2)=(−x12+2x1)−(−x22+2x2)=(x2−x1)⋅(x1+x2−2)，
∵ x1，x2∈[1, +∞)，x1∴ x2−x1>0，x1+x2−2>0，即f(x1)−f(x2)>0，
∴ f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在[1, +∞)上是减函数．
(2)解：由(1)知f(x)在区间[2, 5]上单调递减，
所以f(x)max=f(2)=0，f(x)min=f(5)=−15.
【考点】
函数的最值及其几何意义
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）由定义法证明即可，作差，变形，判断符号，得出结论．
（2）由（1）的结论知函数在[2, 5]上是增函数，最值在两端点处取到．
【解答】
(1)证明：在区间[1, +∞)上任取x1，x2，且x1则有f(x1)−f(x2)=(−x12+2x1)−(−x22+2x2)=(x2−x1)⋅(x1+x2−2)，
∵ x1，x2∈[1, +∞)，x1∴ x2−x1>0，x1+x2−2>0，即f(x1)−f(x2)>0，
∴ f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在[1, +∞)上是减函数．
(2)解：由(1)知f(x)在区间[2, 5]上单调递减，
所以f(x)max=f(2)=0，f(x)min=f(5)=−15.
【答案】
解：(1)函数f(x)为增函数，
证明：任取x1，x2∈[3, 5]且x1f(x1)−f(x2)=x1−1x1+2−x2−1x2+2=3(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，
∵ 3≤x1∴ x1−x2<0，(x1+2)(x2+2)>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ f(x)在[3, 5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3, 5]上为增函数，
则f(x)max=f(5)=47，f(x)min=f(3)=25．
【考点】
函数单调性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
（1）任取x1，x2∈[3, 5]且x1（2）根据（1）判断的函数的单调性即可求得函数f(x)的最大值和最小值．
【解答】
解：(1)函数f(x)为增函数，
证明：任取x1，x2∈[3, 5]且x1f(x1)−f(x2)=x1−1x1+2−x2−1x2+2=3(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，
∵ 3≤x1∴ x1−x2<0，(x1+2)(x2+2)>0，
∴ f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴ f(x)在[3, 5]上为增函数．
(2)由(1)知，f(x)在[3, 5]上为增函数，
则f(x)max=f(5)=47，f(x)min=f(3)=25．
【答案】
解：(1)当m=0时，集合A={x|−2x+3=0}={32}≠⌀，不合题意；
当m≠0时，须Δ<0，即Δ=4−12m<0，即>13．
故若A是空集，则m>13.
(2)∵ A中只有一个元素，∴ 方程mx2−2x+3=0只有一个解．
若m=0，方程为−2x+3=0，只有一解x=32，符合题意；
若m≠0，则Δ=0，即4−12m=0，m=13．
∴ m=0或m=13．
(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，
根据(1)、(2)的结果，得m=0或m≥13．
【考点】
空集的定义、性质及运算
集合中元素个数的最值
元素与集合关系的判断
【解析】
（1）当m=0时，集合A={x|−2x+3=0}={32}≠⌀，不合题意；当m≠0时，须△<0，解次不等式即可．
（2）由（1）当m=0时符合题意，若当m≠0还须△=0．
（3）至多只有一个元素包括A中只有一个元素和A是空集两种情况．为（1），（2）的合并．
【解答】
解：(1)当m=0时，集合A={x|−2x+3=0}={32}≠⌀，不合题意；
当m≠0时，须Δ<0，即Δ=4−12m<0，即>13．
故若A是空集，则m>13.
(2)∵ A中只有一个元素，∴ 方程mx2−2x+3=0只有一个解．
若m=0，方程为−2x+3=0，只有一解x=32，符合题意；
若m≠0，则Δ=0，即4−12m=0，m=13．
∴ m=0或m=13．
(3)A中至多只有一个元素包含A中只有一个元素和A是空集两种含义，
根据(1)、(2)的结果，得m=0或m≥13．
【答案】
解：(1)作出其图像如下：
(2)由f(x)的图像可知：
单调递减区间为：[−3, −2]，[0, 1]，[3, 6]；
单调递增区间为：(−2, 0)，(1, 3)．
(3)由f(x)的图象可得，当x=3时，f(x)取得最大值为4，
当x=6时，f(x)取得最小值−5．
【考点】
函数的最值及其几何意义
函数的单调性及单调区间
函数的图象
【解析】
(1)根据f(x)=x2+4x+3，(−3≤x<0)−3x+3,(0≤x<1)−x2+6x−5，(1≤x≤6)可作出其图象；
(2)由f(x)的图象可写出函数的单调区间；
(3)由f(x)的图象即可求得函数f(x)的最大值和最小值．
【解答】
解：(1)作出其图像如下：
(2)由f(x)的图像可知：
单调递减区间为：[−3, −2]，[0, 1]，[3, 6]；
单调递增区间为：(−2, 0)，(1, 3)．
(3)由f(x)的图象可得，当x=3时，f(x)取得最大值为4，
当x=6时，f(x)取得最小值−5．