2020-2021学年陕西省西安市高二（下）6月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省西安市高二（下）6月月考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有( )
A.6种B.7种C.8种D.9种

2. 甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )
A.56B.25C.16D.13

3. 设随机变量X∼B(n,p)，且EX=1.6，DX=1.28，则( )
A.n=8, p=0.2B.n=4, p=0.4C.n=5, p=0.32D.n=7, p=0.45

4. 函数f(x)=ax3−x在R上为减函数，则( )
A.a≤0B.a<1C.a<2D.a≤13

5. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2, σ2)，且P(ξ<4)=0.8，则P(0<ξ<2)=( )
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

6. 用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )
A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角
C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角

7. 函数y=cs2x+sinx的导数为( )
A.y′=−2sin2x+csx2xB.y′=2sin2x+csx2x
C.y′=−2sin2x+sinx2xD.y′=2sin2x−csx2x

8. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由X2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)算得，X2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.8． 附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

9. 已知f(x)为R上的可导函数，且任意x∈R，均有f(x)>f′(x)，则有( )
A.e2014f(−2014)e2014f(0)
B.e2014f(−2014)C.e2014f(−2014)>f(0)，f(2014)>e2014f(0)
D.e2014f(−2014)>f(0)，f(2014)
10. 已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则（ ）

A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点
B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点
C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点
D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点

11. 如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y=1x(x>0)图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为( )

A.ln22B.1−ln22C.1+ln22D.2−ln22

12. 已知(1x−x)n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )
A.15B.−15C.20D.−20
二、填空题

复数3+ii2（i为虚数单位）的实部等于________．

已知X服从二项分布即X∼B100,12，则E2X+3=________.

在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，那么出场的顺序的排法种数为________.

将正偶数按如图所示的规律排列：
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
…
则第n(n≥4)行从左向右的第4个数为________．
三、解答题

已知x∈R，a=x2+12，b=2−x，c=x2−x+1，试证明：a，b，c中至少有一个不小于1.

已知函数f(x)=x3+bx2+ax+d的图象过点P(0, 2)，且在点M（−1, f(−1)）处的切线方程为6x−y+7=0．
(1)求函数y=f(x)的解析式；

(2)求函数y=f(x)的单调区间．

男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名. 选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)至少有1名女运动员；

(3)既要有队长，又要有女运动员.

某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动.
(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；

(2)求男生甲或女生乙被选中的概率.

“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2019年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如下：

1求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x¯（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

2①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ, σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55, 38.45)内的概率；
②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10, 30)内的包数为X，求X的分布列和均值．
附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=142.75≈11.95；
②若Z∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ
已知x=1是函数f (x)=mx3−3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m<0．
(1)求m与n的关系式；

(2)求f (x)的单调区间；

(3)当x∈[−1, 1]时，函数y=f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高二（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
由题意，选派3人中至少有1名女生，可分为女生1人男生2人和女生2人男生1人两种情况．
【解答】
解：至少有1名女生的选派方法为C53−C33=9.
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：甲不输这一事件包括两人下成和棋和甲获胜两种情况，
由已知条件及互斥事件的概率公式可得，
甲不输的概率为P=12+13=56.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
二项分布的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：随机变量X服从二项分布Bn,p，
∴ EX=1.6=np，DX=1.28=np1−p ，
两式相除可得1−p=，
∴ p=0.2,n=．
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
求导函数，将函数f(x)=ax3−x在R上是减函数，转化为f′(x)=3ax2−1≤0在R上恒成立，从而问题得解．
【解答】
解：∵ 函数f(x)=ax3−x在R上是减函数，
∴ f′(x)=3ax2−1≤0在R上恒成立，
∴ a≤0.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
根据随机变量X服从正态分布N(2, σ2)，看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P(0<ξ<2)=12P(0<ξ<4)，得到结果．
【解答】
解：∵ 随机变量X服从正态分布N(2, σ2)，
μ=2，得对称轴是x=2．
P(ξ<4)=0.8
∴ P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2，
∴ P(0<ξ<4)=0.6
∴ P(0<ξ<2)=0.3．
故选C．
6.
【答案】
C
【考点】
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：“最多只有一个内角为钝角”的反设是“至少有两个内角是钝角”.
故选C.
7.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
利用复合函数的导数运算法则即可得出．
【解答】
解：y′=−2sin2x+csx2x．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于6.635，得到有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”．
【解答】
解：由题意算得，K2=110×(40×30−20×20)260×50×60×50≈7.8．
∵ 7.8>6.635，
∴ 有99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关”.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
构造函数g(x)=f(x)ex，可求函数g(x)=f(x)ex在R上单调递减，即可得f(−2014)e−2014>f(0)，f(2014)e2014【解答】
解：构造函数g(x)=f(x)ex，则g′(x)=f′(x)−f(x)ex．
因为∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，并且ex>0，
所以g′(x)<0，故函数g(x)=f(x)ex在R上单调递减，
所以g(−2014)>g(0)，g(2014)即f(−2014)e−2014>f(0)，f(2014)e2014即e2014f(−2014)>f(0)，f(2014)故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．
【解答】
解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于零变为小于零，此时原函数有极大值，
在x3处导函数由小于零变为大于零，此时原函数有极小值，
在x1，x4处导函数没有正负变化，此时原函数无极值点．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
定积分
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求
【解答】
解：区域E的面积为：S=2×12+1211xdx
=1+lnx|121=1−ln12=1+ln2，
∴ “该点在E中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，
矩形的面积为2，
则P=1+ln22.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．
【解答】
解：因为(1x−x)n的展开式中只有第四项的二项式系数最大，
所以n=6．
所以其通项为
Tr+1=C6r⋅(1x)6−r⋅(−x)r
=(−1)rC6r⋅x3r2−6．
令3r2−6=0⇒r=4．
故展开式中的常数项为：
(−1)4⋅C64=6×5×4×34×3×2×1=15．
故选A.
二、填空题
【答案】
−3
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的基本概念
【解析】
直接由虚数单位i的运算性质化简，则复数的实部可求．
【解答】
解：∵ 3+ii2=3+i−1=−3−i．
∴ 复数3+ii2（i为虚数单位）的实部等于−3．
故答案为：−3．
【答案】
103
【考点】
二项分布的应用
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
若X服从二项分布即X∼Bn,p，则E(X)=np，则EaX+b=aE(X)+b，求解即可.
【解答】
解：由题意可得：E(X)=100×12=50，
∴ E2X+3=2E(X)+3=2×50+3=103.
故答案为：103.
【答案】
72
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
根据题意，分2步进行分析：①将三名女生全排列，②女生排好后，有4个空位可用，在其中任选2个，安排2名男生，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2步进行分析：
①将三名女生全排列，有A33=6种情况，
②女生排好后，有4个空位可用，在其中任选2个，安排2名男生，有A42=12种情况，
则有6×12=72种不同的出场的顺序.
故答案为：72．
【答案】
n2−n+8
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
根据图形求出第n(n≥4)行从左向右的第4个数所在正偶数数列中的项数，然后运用等差数列的通项公式求解．
【解答】
解：由图可知，每一行的数的个数构成以1为首项，以为1公差的等差数列，
则前n−1行共有数的个数为[1+(n−1)](n−1)2=n(n−1)2，
则第n(n≥4)行从左向右的第4个数为所有正偶数构成数列的第n(n−1)2+4=n2−n+82项，
而所有正偶数构成数列为以2为首项，以2为公差的等差数列，
则an2−n+82=2+(n2−n+82−1)×2=n2−n+8．
所以，第n(n≥4)行从左向右的第4个数为n2−n+8．
故答案为：n2−n+8．
三、解答题
【答案】
证明：假设a，b，c均小于1，
即a<1，b<1，c<1，
则有a+b+c<3，
而a+b+c=2x2−2x+72=2(x−12)2+3≥3矛盾，
所以原命题成立．
【考点】
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：假设a，b，c均小于1，
即a<1，b<1，c<1，
则有a+b+c<3，
而a+b+c=2x2−2x+72=2(x−12)2+3≥3矛盾，
所以原命题成立．
【答案】
解：(1)∵ f(x)的图象经过P(0, 2)，
∴ d=2，
∴ f(x)=x3+bx2+ax+2，
f′(x)=3x2+2bx+a．
∵ 点M（−1, f(−1)）处的切线方程为6x−y+7=0
∴ f′(−1)=3−2b+a=6①，
还可以得到，f(−1)=y=1，
即点M(−1, 1)满足f(x)方程，
得到−1+b−a+2=1②
由①、②联立得b=a=−3，
故所求的解析式是f(x)=x3−3x2−3x+2．
(2)f′(x)=3x2−6x−3，
令3x2−6x−3=0，即x2−2x−1=0．
解得x1=1−2，x2=1+2．
当x<1−2，或x>1+2时，f′(x)>0；
当1−2故f(x)的单调增区间为(−∞, 1−2)，(1+2, +∞)；
单调减区间为(1−2, 1+2).
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求解析式，只需把a，b，d三个字母求出即可．已知点P(0, 2)满足f(x)，得到d，又点M（−1, f(−1)）处的切线方程为6x−y+7=0，可以得到f(−1)的值，并且得到f(x)在x=−1处的导数为6．
（2）利用导数研究函数的单调性即可求出函数的单调区间．
【解答】
解：(1)∵ f(x)的图象经过P(0, 2)，
∴ d=2，
∴ f(x)=x3+bx2+ax+2，
f′(x)=3x2+2bx+a．
∵ 点M（−1, f(−1)）处的切线方程为6x−y+7=0
∴ f′(−1)=3−2b+a=6①，
还可以得到，f(−1)=y=1，
即点M(−1, 1)满足f(x)方程，
得到−1+b−a+2=1②
由①、②联立得b=a=−3，
故所求的解析式是f(x)=x3−3x2−3x+2．
(2)f′(x)=3x2−6x−3，
令3x2−6x−3=0，即x2−2x−1=0．
解得x1=1−2，x2=1+2．
当x<1−2，或x>1+2时，f′(x)>0；
当1−2故f(x)的单调增区间为(−∞, 1−2)，(1+2, +∞)；
单调减区间为(1−2, 1+2).
【答案】
解：(1)第一步：选3名男运动员，有C63种选法．
第二步：选2名女运动员，有C42种选法．
共有C63⋅C42=120（种）选法．
(2)至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105−C65=246（种）．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，
所以不选女队长时共有C84−C54种选法．
故既要有队长，又要有女运动员的选法有C94+C84−C54=191（种）．
【考点】
排列、组合的应用
分步乘法计数原理
排列、组合及简单计数问题
分类加法计数原理
【解析】
（1）第一步：选3名男运动员，有C53种选法．第二步：选2名女运动员，有C42种选法．
（2）将“至少1名女运动员”转化为其反面“全是男运动员”．C113−C83=246（种）．
（3）当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长，其中不含女运动员的选法有C34种，所以不选女队长时共有C84−C34种选法
【解答】
解：(1)第一步：选3名男运动员，有C63种选法．
第二步：选2名女运动员，有C42种选法．
共有C63⋅C42=120（种）选法．
(2)至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105−C65=246（种）．
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，
所以不选女队长时共有C84−C54种选法．
故既要有队长，又要有女运动员的选法有C94+C84−C54=191（种）．
【答案】
解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得P(ξ=0)=C43C63=15，
P(ξ=1)=C42C21C63=35，
P(ξ=2)=C41C22C63=15．
∴ ξ的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)=C43C63=420=15．
∴ 所求概率为P(C¯)=1−P(C)=1−15=45．
【考点】
离散型随机变量及其分布列
对立事件的概率公式及运用
【解析】
(1)先找到ξ的所有可能取值，求出每种情况的概率，就可得到ξ的分布列；
(2)利用对立事件，求男生甲或女生乙被选中的概率；
【解答】
解：(1)ξ的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得P(ξ=0)=C43C63=15，
P(ξ=1)=C42C21C63=35，
P(ξ=2)=C41C22C63=15．
∴ ξ的分布列为
(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C，则P(C)=C43C63=420=15．
∴ 所求概率为P(C¯)=1−P(C)=1−15=45．
【答案】
解：1所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x¯为x¯=5×0.1+15×0.2+25×0.3
+35×0.25+45×0.15=26.5.
2①∵ Z服从正态分布N(μ, σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95，
∴ P(14.55=P(26.5−11.95∴ Z落在(14.55, 38.45)内的概率是0.683．
②根据题意得X∼B(4, 12)，
P(X=0)=C40(12)4=116；
P(X=1)=C41(12)4=14；
P(X=2)=C42(12)4=38；
P(X=3)=C43(12)4=14；
P(X=4)=C44(12)4=116．
∴ X的分布列为
∴ E(X)=4×12=2．
【考点】
众数、中位数、平均数
离散型随机变量的期望与方差
正态分布的密度曲线
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x¯为x¯=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5．
（2）①P(14.55②根据题意得X∼B(4, 12)，P(X=0)=C40(12)4=116；P(X=1)=C41(12)4=14； P(X=2)=C42(12)4=38；P(X=3)=C43(12)4=14；P(X=4)=C44(12)4=116．
即可求得X的分布列、期望值．
【解答】
解：1所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x¯为x¯=5×0.1+15×0.2+25×0.3
+35×0.25+45×0.15=26.5.
2①∵ Z服从正态分布N(μ, σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95，
∴ P(14.55=P(26.5−11.95∴ Z落在(14.55, 38.45)内的概率是0.683．
②根据题意得X∼B(4, 12)，
P(X=0)=C40(12)4=116；
P(X=1)=C41(12)4=14；
P(X=2)=C42(12)4=38；
P(X=3)=C43(12)4=14；
P(X=4)=C44(12)4=116．
∴ X的分布列为
∴ E(X)=4×12=2．
【答案】
解：(1)f′(x)=3mx2−6(m+1)x+n．
因为x=1是f(x)的一个极值点，
所以f′(1)=0，即3m−6(m+1)+n=0．
所以n=3m+6．
(2)由(1)知f′(x)=3mx2−6(m+1)x+3m+6
=3m(x−1)[x−(1+2m)].
当m<0时，有1>1+2m，当x变化时f(x)与f′(x)的变化如下表：
由上表知，当m<0时，f(x)在(−∞, 1+2m)上单调递减，
在(1+2m, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减．
(3)由已知，得f′(x)>3m，即3m(x−1)[x−(1+2m)]>3m，
∵ m<0，
∴ (x−1)[x−(1+2m)]<1．(∗)
①x=1时．(∗)式化为0<1恒成立，
∴ m<0．
②x≠1时，
∵ x∈[−1, 1]，
∴ −2≤x−1<0．
(∗)式化为2m<(x−1)−1x−1．
令t=x−1，则t∈[−2, 0)，记g(t)=t−1t，
则g(t)在区间[−2, 0)是单调增函数．
∴ g(t)min=g(−2)=−2−1−2=−32．
由(∗)式恒成立，必有2m<−32⇒−43∴ −43综上可得−43【考点】
不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出f′(x)，因为x=1是函数的极值点，所以得到f′(1)=0求出m与n的关系式；
（2）令f′(x)=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；
（3）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′(x)>3m代入得到不等式即3m(x−1)[x−(1+2m)]>3m，又因为m<0，分x=1和x≠1，当x≠1时g(t)=t−1t求出g(t)的最小值．要使2m<(x−1)−1x−1恒成立即要g(t)的最小值>2m，解出不等式的解集求出m的范围．
【解答】
解：(1)f′(x)=3mx2−6(m+1)x+n．
因为x=1是f(x)的一个极值点，
所以f′(1)=0，即3m−6(m+1)+n=0．
所以n=3m+6．
(2)由(1)知f′(x)=3mx2−6(m+1)x+3m+6
=3m(x−1)[x−(1+2m)].
当m<0时，有1>1+2m，当x变化时f(x)与f′(x)的变化如下表：
由上表知，当m<0时，f(x)在(−∞, 1+2m)上单调递减，
在(1+2m, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减．
(3)由已知，得f′(x)>3m，即3m(x−1)[x−(1+2m)]>3m，
∵ m<0，
∴ (x−1)[x−(1+2m)]<1．(∗)
①x=1时．(∗)式化为0<1恒成立，
∴ m<0．
②x≠1时，
∵ x∈[−1, 1]，
∴ −2≤x−1<0．
(∗)式化为2m<(x−1)−1x−1．
令t=x−1，则t∈[−2, 0)，记g(t)=t−1t，
则g(t)在区间[−2, 0)是单调增函数．
∴ g(t)min=g(−2)=−2−1−2=−32．
由(∗)式恒成立，必有2m<−32⇒−43∴ −43综上可得−43 男
女
合计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
P(X2≥k)
0.1
0.050
0.010
k
2.706
3.841
6.635
ξ
0
1
2
P
15
35
15
ξ
0
1
2
P
15
35
15
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
X
0
1
2
3
4
P
116
14
38
14
116
x
(−∞, 1+2m)
1+2m
(1+2m, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
x
(−∞, 1+2m)
1+2m
(1+2m, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
−
0
+
0
−
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减