2020-2021学年陕西省西安市高一(上)10月月考数学试卷北师大版
展开1. 已知集合A={x||x|<2},集合B={−1, 0, 1, 2, 3},则A∩B=( )
A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{−1, 0, 1}D.{−1, 0, 1, 2}
2. 下列哪组中的两个函数是同一函数( )
A.y=1与y=x0B.y=3x3与y=xC.y=x2与y=x2D.y=3x3与y=x2x
3. 函数f(x)=x−1x−3的定义域是( )
A.[1, +∞)B.(3, +∞)C.[1, 3)∪(3, +∞)D.(−∞, 3)∪(3, +∞)
4. 已知函数 fx=x2−x,x≤1,11−x,x>1, 则ff−1的值为( )
A.−1B.15C.−15D.1
5. 若函数fx=4x2−mx+5−m在(−∞,−2]上是减函数,则实数m的取值范围为( )
A.[16,+∞)B.16,+∞C.(−∞,16]D.[−16,+∞)
6. 已知f2x+3=x2,则f(x)=( )
A.14x2−32x+94B.14x2+12x+94C.4x2+12x+9D.4x2−12x+9
7. 已知⌀⫋x|x2−x+a=0,则实数a的取值范围是( )
A.−∞,14B.−∞,14C.14,+∞D.14,+∞
8. 函数fx=1x2−1的单调递增区间是( )
A.(−∞,0]B.(−∞,−1)∪(−1,0]
C.−∞,−1和(−1,0]D.[0,1)和1,+∞
9. 已知fx=ax3+bx5+cx−8,且f−2020=10,那么f2020=( )
A.18B.−10C.−18D.−26
10. 已知f(x)=ax,x>1,(4−a2)x+2,x≤1是R上的单调递增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[4,8) B.(0,8)C.(4,8) D.(0,8]
11. 已知f(x)是偶函数,且对任意的x1,x2∈(−∞, −1],都有(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0,则下列关系式中成立的是( )
A.f(−32)
12. 已知符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,−1,x<0,f(x)是R上的增函数,g(x)=f(x)−f(ax)(a>1),则( )
A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=−sgnx
C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sgn[g(x)]=−sgn[f(x)]
二、填空题
若幂函数f(x)=(m2−3m+3)⋅xm2−m−2的图象不过原点,则实数m=________.
若函数fx−1的定义域为2,3,则函数f2x的定义域为________.
设函数f(x)=2xx−2在区间[3, 4]上的最大值和最小值分别为M,m,则m2M的值为________.
若不等式x2−2kx+3≥0对任意的x∈2,4恒成立,则实数k的取值范围是________.
三、解答题
已知集合A={x|(a−1)x2+3x−2=0},B={x|x2−3x+2=0}.
(1)若A≠⌀,求实数a的取值范围.
(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.
某商店按每件80元的价格,购进时令商品(卖不出去的商品将成为废品)1000件;市场调研推知:当每件售价为100元时,恰好全部售完;当售价每提高1元时,销售量就减少5件;为获得最大利润,请你确定合理的售价,并求出此时的利润.
已知函数fx=−x2−2x+2|x+1|+2.
(1)试求函数fx的单调区间;
(2)若f2a2+a+1
已知函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数,且f12=25.
(1)求fx的解析式;
(2)用定义判断fx在−1,1上的单调性;
(3)求fx的值域.
定义在(0, +∞)上的函数f(x),满足f(xy)=f(x)+f(y),且f(13)=1.当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值并分析函数f(x)的单调性;
(2)解关于x的不等式f(x)+f(x−2)>−1.
已知函数fx=−12x2+132,x∈a,b的值域为2a,2b.求a,b的值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省西安市高一(上)10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出A∩B.
【解答】
解:∵ 集合A={x||x|<2}={x|−2
∴ A∩B={−1, 0, 1}.
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
直接判断两函数的定义域与解析式,即可判断是否为同一函数.
【解答】
解:A,由于函数y=1的定义域为R,函数y=x0的定义域为x|x≠0,故不是同一函数,故A错误;
B,由于函数y=(3x)3和y=x的定义域均为R,且y=(3x)3=x,故是同一函数,故B正确;
C,由于函数y=x2的定义域为R,函数y=(x)2的定义域为x|x≥0,故不是同一函数,故C错误;
D,由于函数y=(3x)3的定义域为R,函数y=x2x的定义域为x|x≠0,故不是同一函数,故D错误.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数成立的条件求函数的定义域即可.
【解答】
解:要使函数有意义,则x−1≥0,x−3≠0,
即x≥1,x≠3,
解得x≥1且x≠3,
∴ 函数的定义域为{x|x≥1且x≠3},
即[1, 3)∪(3, +∞).
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
先求出f(−1)=2,再求f(f(−1))=f(2)=11−2=−1即可.
【解答】
解:已知函数 fx=x2−x,x≤1,11−x,x>1,
∴ f−1=(−1)2+1=2 ,
∴ f(f(−1))=f(2)=11−2=−1.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
二次函数的性质
函数单调性的性质
【解析】
先求出函数fx=4x2−mx+5−m的单调递减区间为(−∞,m8],由题意得到(−∞,−2]⊆(−∞,m8],进而求解即可.
【解答】
解:∵ 抛物线fx=4x2−mx+5−m开口向上,对称轴为x=m8,
∴ 函数fx=4x2−mx+5−m的单调递减区间为(−∞,m8].
又∵ 函数fx=4x2−mx+5−m在(−∞,−2]上是减函数,
∴ m8≥−2,
解得m≥−16.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:令2x+3=t,
求得x=t−32,代入已知式子,
可得ft=t−322=t2−6t+94,
故有fx=14x2−6x+9
=14x2−32x+94.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
由题意得到方程x2−x+a=0有实根,则Δ=1−4a≥0,求解即可.
【解答】
解:∵ ⌀⫋x|x2−x+a=0,
∴ 方程x2−x+a=0有实数根,
∴ Δ=1−4a≥0,
解得a≤14.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
由复合函数单调性,即可求出结果.
【解答】
解:fx=1x2−1,定义域为x|x≠±1,
令t=x2−1,则函数t=x2−1在区间−∞,−1,−1,0上为减函数,在0,1,1,+∞上为增函数.
又函数y=1t在区间−∞,0上为减函数,在区间0,+∞上为减函数,
∴ 由复合函数单调性可知:
函数fx=1x2−1在区间−∞,−1,−1,0上为增函数.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
由题意得到f−x+fx=−16,即可得到结论.
【解答】
解:∵ f−x+fx
=a−x3+b−x5+c−x−8+ax3+bx5+cx−8
=−ax3−bx5−cx−8+ax3+bx5+cx−8
=−16,
∴ f−2020+f2020=−16,
∴ f2020=−16−10=−26.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
分段函数的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:∵ 函数f(x)=ax,x>1,(4−a2)x+2,x≤1是R上的单调递增函数,
∴ a>0,4−a2>0,a≥4−a2+2.
解得a∈[4,8).
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
由于对任意的x1,x2∈(−∞, −1],都有(x2−x1)(f(x2)−f(x1))<0,可得函数f(x)在x∈(−∞, −1]上单调递减,即可得出.
【解答】
解:∵ 对任意的x1,x2∈(−∞, −1],都有(x2−x1)[f(x2)−f(x1)]<0,
∴ 函数f(x)在x∈(−∞, −1]上单调递减,
∴ f(−2)>f(−32)>f(−1).
又∵ f(x)是偶函数,
∴ f(−2)=f(2).
∴ f(−1)
12.
【答案】
B
【考点】
函数新定义问题
函数与方程的综合运用
【解析】
直接利用特殊法,设出函数f(x),以及a的值,判断选项即可.
【解答】
解:符号函数sgnx=1,x>0,0,x=0,−1,x<0,f(x)是R上的增函数,
g(x)=f(x)−f(ax)(a>1),
不妨令f(x)=x,a=2,
则g(x)=f(x)−f(ax)=−x,
sgn[g(x)]=−sgnx.
所以A不正确,B正确,
sgn[f(x)]=sgnx,C不正确;D正确;
对于D,令f(x)=x+1,a=2,
则g(x)=f(x)−f(ax)=−x,
sgn[f(x)]=sgn(x+1)=1,x>−1,0,x=−1,−1,x<−1;
sgn[g(x)]=sgn(−x)=1,x>−1,0,x=−1,−1,x<−1;
−sgn[f(x)]=−sgn(x+1)=−1,x>−1,0,x=−1,1,x<−1,
所以D不正确.
故选B.
二、填空题
【答案】
1或2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
由幂函数y=(m2−3m+3)xm2−m−2的图象不过原点,知m2−3m+3=1m2−m−2≤0 ,由此能求出实数m的值.
【解答】
解:∵ 幂函数y=(m2−3m+3)xm2−m−2的图象不过原点,
∴ m2−3m+3=1,m2−m−2≤0.
解得m=1或m=2.
故答案为:1或2.
【答案】
12,1
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
首先由函数f(x−1)的定义域为2,3,求出函数f(x)的定义域,进而得到f(2x)的定义域.
【解答】
解:∵ 函数f(x−1)的定义域为2,3,
∴ x=2或x=3,
∴ x−1=1或x−1=2,
∴ f(x)的定义域为1,2,
由2x=1或2x=2可得x=12或x=1,
∴ 函数f(2x)的定义域为12,1.
故答案为:12,1.
【答案】
83
【考点】
函数最值的应用
【解析】
利用f(x)在[3, 4]上为减函数,即可得出结论.
【解答】
解:f(x)=2xx−2=2(1+2x−2)=2+4x−2,
∴ f(x)在[3, 4]上为减函数,
∴ M=f(3)=2+43−2=6,
m=f(4)=2+44−2=4,
∴ m2M=166=83.
故答案为:83.
【答案】
(−∞,74]
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
由题意得到2k≤x+3x对任意的x∈2,4恒成立,利用对勾函数的单调性求出y=x+3x,x∈2,4的最小值即可得到答案.
【解答】
解:∵ 不等式x2−2kx+3≥0对任意的x∈2,4恒成立,
∴ 2k≤x+3x对任意的x∈2,4恒成立,
设y=x+3x,x∈2,4,
由对勾函数的单调性可知,函数y=x+3x在x∈2,4上单调递增,
∴ 当x=2时,函数有最小值为2+32=72,
∴ 2k≤72,k≤74,
∴ 实数k的取值范围为(−∞,74].
故答案为:(−∞,74].
三、解答题
【答案】
解:(1)①当a=1时,A=23≠⌀;
②当a≠1时,Δ=9+8(a−1)≥0,
即a≥−18且a≠1.
综上,a的取值范围为a|a≥−18.
(2)由A∩B=A,得A⊆B.
①当A=⌀时,a<−18,A⊆B;
②当A≠⌀时,由x2−3x+2=0,解得x=1或x=2.
由(1)可知,当a=1时,A=23,A⊆B 不成立,
当a≥−18且a≠1时,解得a=0,A⊆B成立.
综上,a的取值范围为{a|a<−18或a=0}.
【考点】
集合关系中的参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)①当a=1时,A=23≠⌀;
②当a≠1时,Δ=9+8(a−1)≥0,
即a≥−18且a≠1.
综上,a的取值范围为a|a≥−18.
(2)由A∩B=A,得A⊆B.
①当A=⌀时,a<−18,A⊆B;
②当A≠⌀时,由x2−3x+2=0,解得x=1或x=2.
由(1)可知,当a=1时,A=23,A⊆B 不成立,
当a≥−18且a≠1时,解得a=0,A⊆B成立.
综上,a的取值范围为{a|a<−18或a=0}.
【答案】
解:设比100元的售价高x元时,总利润为y元,
则y=(100+x)(1000−5x)−80×1000
=−5x2+500x+20000
=−5(x−50)2+32500,
显然,当x=50即售价定为150元时,利润最大,
其最大利润为32500元.
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
函数最值的应用
【解析】
根据题意先设比100元的售价高x元,写出总利润关于x的函数表达式,再结合二次函数的图象与性质得出当x取何值时,即售价定为多少元时,利润最大即可.
【解答】
解:设比100元的售价高x元时,总利润为y元,
则y=(100+x)(1000−5x)−80×1000
=−5x2+500x+20000
=−5(x−50)2+32500,
显然,当x=50即售价定为150元时,利润最大,
其最大利润为32500元.
【答案】
解:(1)当x≥−1时, fx=−x2−2x+2x+1+2=−x2+4.
当x<−1时, fx=−x2−2x+2−x−1+2=−x2−4x.
∴ fx的单调递增区间是−∞,−2,−1,0,
单调递减区间是−2,−1,0,+∞.
(2)易知2a2+a+1>0,3a2−2a+1>0,
故原不等式等价于2a2+a+1>3a2−2a+1,
整理得:a2−3a<0,
解得a的取值范围是0,3.
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)当x≥−1时, fx=−x2−2x+2x+1+2=−x2+4.
当x<−1时, fx=−x2−2x+2−x−1+2=−x2−4x.
∴ fx的单调递增区间是−∞,−2,−1,0,
单调递减区间是−2,−1,0,+∞.
(2)易知2a2+a+1>0,3a2−2a+1>0,
故原不等式等价于2a2+a+1>3a2−2a+1,
整理得:a2−3a<0,
解得a的取值范围是0,3.
【答案】
1解:∵ 函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数,
∴ f−x=−fx,
即−ax+b1+x2=−ax+b1+x2
−ax+b=−ax−b,
∴ b=0.
又∵ f12=25,
∴ 12a1+122=25 ,
解得a=1,
∴ fx=x1+x2.
(2)证明:在区间−1,1上任取x1,x2,且−1
∵ −1
∴ fx1−fx2<0,
即fx1
(3)解:f(x)定义域为(−1,1),且在定义域内单调递增,
∵ f(−1)=−12,f(1)=12,
∴ f(x)的值域为−12,12.
【考点】
奇函数
函数单调性的判断与证明
函数的值域及其求法
【解析】
(1)由f−x=−fx,代入可求b,然后由f12=25可求a,进而可求函数解析式;
(2)利用函数单调性的定义进行证明;
(3)结合函数的单调性求值域即可.
【解答】
1解:∵ 函数fx=ax+b1+x2是定义在−1,1上的奇函数,
∴ f−x=−fx,
即−ax+b1+x2=−ax+b1+x2
−ax+b=−ax−b,
∴ b=0.
又∵ f12=25,
∴ 12a1+122=25 ,
解得a=1,
∴ fx=x1+x2.
(2)证明:在区间−1,1上任取x1,x2,且−1
∵ −1
∴ fx1−fx2<0,
即fx1
(3)解:f(x)定义域为(−1,1),且在定义域内单调递增,
∵ f(−1)=−12,f(1)=12,
∴ f(x)的值域为−12,12.
【答案】
解:(1)因为f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),
所以,令x=y=1代入得,f(1)=f(1)+f(1),
所以,f(1)=0.
f(x)在(0, +∞)上单调递减,理由如下:
任取x1,x2∈(0, +∞),且x1>x2,所以x1x2>1,
则f(x1)=f(x1x2⋅x2)=f(x1x2)+f(x2),
即f(x1)−f(x2)=f(x1x2),
根据题意,当x>1时,f(x)<0,
所以f(x1x2)<0,
即f(x1)−f(x2)<0,
所以,f(x)在(0, +∞)上单调递减.
(2)∵ f(1)=f(3)+f(13)且f(13)=1,
∴ f(3)=−1.
不等式f(x)+f(x−2)>−1可化为:
f[x(x−2)]>f(3),根据单调性和定义域列出不等式如下:
x>0,x−2>0,x(x−2)<3,
解得x∈(2, 3),
即该不等式的解集为(2, 3).
【考点】
函数恒成立问题
抽象函数及其应用
函数单调性的判断与证明
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)因为f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),
所以,令x=y=1代入得,f(1)=f(1)+f(1),
所以,f(1)=0.
f(x)在(0, +∞)上单调递减,理由如下:
任取x1,x2∈(0, +∞),且x1>x2,所以x1x2>1,
则f(x1)=f(x1x2⋅x2)=f(x1x2)+f(x2),
即f(x1)−f(x2)=f(x1x2),
根据题意,当x>1时,f(x)<0,
所以f(x1x2)<0,
即f(x1)−f(x2)<0,
所以,f(x)在(0, +∞)上单调递减.
(2)∵ f(1)=f(3)+f(13)且f(13)=1,
∴ f(3)=−1.
不等式f(x)+f(x−2)>−1可化为:
f[x(x−2)]>f(3),根据单调性和定义域列出不等式如下:
x>0,x−2>0,x(x−2)<3,
解得x∈(2, 3),
即该不等式的解集为(2, 3).
【答案】
解:若b<0,则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递增,
则fa=2a,fb=2b.
此时a,b是方程fx=2x的两根,
易解得a=−2−17,b=−2+17>0,舍去;
若a>0,则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递减,
则fa=2b,fb=2a.
两式相减得2b−a=fa−fb=−12a2−b2,
∴a+b=4.
代入易解得a=1,b=3.
若a≤0≤b,则fx=−12x2+132在[a,b]上的最大值为f0=132,
此时b=134.
此时fx的最小值2a是fa和f134中的较小数,
而f134>0,故0≥2a≠f134,
故fa=2a,解得a=−2−17.
综上:a=1,b=3或a=−2−17,b=134.
【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:若b<0,则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递增,
则fa=2a,fb=2b.
此时a,b是方程fx=2x的两根,
易解得a=−2−17,b=−2+17>0,舍去;
若a>0,则fx=−12x2+132在[a,b]上单调递减,
则fa=2b,fb=2a.
两式相减得2b−a=fa−fb=−12a2−b2,
∴a+b=4.
代入易解得a=1,b=3.
若a≤0≤b,则fx=−12x2+132在[a,b]上的最大值为f0=132,
此时b=134.
此时fx的最小值2a是fa和f134中的较小数,
而f134>0,故0≥2a≠f134,
故fa=2a,解得a=−2−17.
综上:a=1,b=3或a=−2−17,b=134.
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