2020-2021学年陕西省榆林市高一（下）6月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年陕西省榆林市高一（下）6月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={−1,0,1,2}，B=x|x2≤1，则A∩B=( )
A.{−1,0,1}B.{0,1}C.{−1,1}D.{0,1,2}

2. 若函数fx=csωx−π3ω>0的最小正周期为π2，则ω=( )
A.2B.3C.4D.8

3. 已知a→,b→均为单位向量，若a→，b→的夹角为2π3，则|a→−b→|=( )
A.7B.6C.5D.3

4. 若tanθ−3π4=−43,则tan2θ=( )
A.−725B.725C.−724D.724

5. 下列与函数y=1x定义域和单调性都相同的函数是( )
A.y=2lg2xB.y=lg2(12)xC.y=lg21xD.y=x14

6. 设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1，则当x<0时，f(x)=( )
A.e−x−1B.e−x+1C.−e−x−1D.−e−x+1

7. 已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，以下四个命题
①m⊥α,m⊥n⇒n//α；②m⊥β,n⊥β⇒m//n；③m⊥α,m⊥β⇒α//β；④ m⊂α,n⊂β,α//β⇒m//n，
其中正确的序号为( )
A.①②B.③④C.②③D.②③④

8. 函数f(x)=3sin2x−2cs2x+1，则下列选项正确的是( )
A.当x=π6时，f(x)取得最大值
B.f(x)在区间[−π3,0]单调递增
C.f(x)在区间[π3,5π6]单调递减
D.f(x)的一个对称轴为x=π12

9. 已知a=313，b=212，c=lg32，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a
10. 等差数列an满足a9=12a11+3，则S13=( )
A.6B.26C.39D.78

11. 设x2+y2−4x−2y−4=0的圆心为M，直线l过点5,−4，若l与圆M相切，则直线l的方程为( )
A.8x+15y+20=0B.8x+15y+20=0或x=5
C.8x+15y−20=0D.8x+15y−20=0或x=5

12. 函数f(x)=2sinx−sin2x在[0,2π]的零点个数为( )
A.2B.3C.4D.5
二、填空题

已知向量a→=(2, 2)，b→=(−8, 6)，则cs=________．

记Sn为等差数列an的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=________.

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知bsinA+acsB=0，则B=________.

幂函数fx=m2−3m+3xm的图象关于y轴对称，则实数m=________.
三、解答题

已知向量a→=csx,sinx，b→=3,−3，x∈0,π.
(1)若a→//b→，求x的值；

(2)记函数fx=a→⋅b→，求fx的最值．

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=13(an−1)，(n∈N+)．
(1)求a1，a2；

(2)求证：数列{an}是等比数列．

已知0<α<π2<β<π，tanα2=12，cs(β−α)=210，
(1)求sinα；

(2)求β的值．

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=5，B1B=BC=6，D，E分别是A1A和B1C的中点.

(1)求证：DE // 平面ABC；

(2)求三棱锥E−BCD的体积．

等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2⋅a6．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=lg3a1+lg3a2+lg3a3+⋯+lg3an，求数列{1bn}的前n项和Tn．

若−3≤lg12x≤−12，求f(x)=(lg2x2)⋅(lg2x4)的最值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年陕西省榆林市高一（下）6月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ x2≤1,
∴ −1≤x≤1,
∴ B={x|−1≤x≤1},
∴ A∩B={−1,0,1}.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的周期性
【解析】
直接利用周期的关系式的应用求出结果．
【解答】
解：因为T=2πω=π2，
所以ω=4．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ |a→|=|b→|=1，=2π3，
∴ (a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2=1−2×1×1×(−12)+1=3，
∴ |a→−b→|=3．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为tanθ−3π4=−43,
所以tanθ+11−tanθ=−43,
解得tanθ=7，
从而tan2θ=−724.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
函数单调性的判断与证明
【解析】
可看出，y=1x在定义域{x|x>0}上单调递减，然后可判断选项A的函数在定义域{x|x>0}上单调递增，而选项B，D的函数的定义域都不是{x|x>0}，从而得出选项A，B，D都错误，只能选C．
【解答】
解：y=1x在定义域{x|x>0}上单调递减，
y=2lg2x=x在定义域{x|x>0}上单调递增，
y=lg2(12)x的定义域为R，
y=lg21x在定义域{x|x>0}上单调递减，
y=x14的定义域为{x|x≥0}．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
函数奇偶性的性质
奇函数
【解析】
利用函数为奇函数，将x<0转化为−x>0，再利用当x>0时，f(x)=ex−1，即可求得答案．
【解答】
解：设x<0，则−x>0，
∵ 当x≥0时，f(x)=ex−1，
∴ f(−x)=e−x−1，
又∵ 函数f(x)是奇函数，
∴ f(−x)=−f(x)，
∴ f(x)=−f(−x)=−e−x+1，
∴ 当x<0时，f(x)=−e−x+1．
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
命题的真假判断与应用
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的结论进行逐一列举说明．
【解答】
解：①中可能n⊂α，可能n//α，故①不正确；
②根据直线与平面垂直的性质可知，m//n，故②正确；
③根据直线与平面垂直的性质可知，α//β，故③正确；
④中m，n可能异面，可能平行，故④不正确．
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的对称性
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的定义域和值域
【解析】
利用二倍角公式以及辅助角公式化简f(x)=3sin2x−2cs2x+1=2sin(2x−π6)，再根据正弦三角函数的性质即可求解．
【解答】
解：f(x)=3sin2x−2cs2x+1
=3sin2x−(2cs2x−1)
=3sin2x−cs2x
=2×(32sin2x−12cs2x)
=2sin(2x−π6).
对于A，当x=π6时，f(x)=f(π6)=2sinπ6=1，而f(x)max=2，故A错误；
对于B，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，
求得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
当k=0时，则−π6≤x≤π3，故B错误；
对于C，令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2(k∈Z)，
求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6(k∈Z)，
当k=0时，则π3≤x≤5π6，故C正确；
对于D，令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，求得x=kπ2+π3，
当k=0时，x=π3，当k=−1时，x=−π6，故D错误.
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小．
【解答】
解：∵ a=313=916,b=212=816,916>816>80=1，
∴a>b>1，
∵ c=lg32∴ a>b>1>c．
故选D.
10.
【答案】
D
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
等差数列中，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq．将此性质加以应用即可．
【解答】
解：由题意，得2a9=a11+6，
∴a7=6，
∴S13=a1+a13×132=2a7×132=78．
故选D．
11.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，分类讨论，利用圆心到直线的距离公式，即可得出结论．
【解答】
解：圆M:x2+y2−4x−2y−4=0可化为x−22+y−12=9，
则圆心M2,1，半径R=3，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+4=kx−5，即kx−y−5k−4=0．
若直线l与圆M相切，则|2k−1−5k−4|k2+1=3，
所以k=−815，
直线l的方程为−815x−y+5×815−4=0，即8x+15y+20=0；
当直线l的斜率不存在时，则直线l的方程为x=5，满足题意，
故直线l的方程为8x+15y+20=0或x=5．
故选B．
12.
【答案】
B
【考点】
二倍角的正弦公式
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，
f(x)=2sinx−sin2x
=2sinx−2sinxcsx
=2sinx(1−csx),
令f(x)=0,因为x在区间[0，2π]内，
所以当sinx=0时，
x可以取0，π，2π,
当1−csx=0时，x取0，2π,
综上可得零点有3个.
故选B.
二、填空题
【答案】
−210
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
数量积的定义结合坐标运算可得结果
【解答】
解：由题意得，a→⋅b→=2×(−8)+2×6=−4，
|a→|=22+22=22，|b→|=(−8)2+62=10，
所以cs=−422×10=−210．
故答案为：−210.
【答案】
100
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由已知求得首项与公差，代入等差数列的前n项和公式求解．
【解答】
解：在等差数列an中，由a3=5,a7=13，
得d=a7−a37−3=13−54=2，a1=a3−2d=5−4=1，
则S10=10×1+10×9×22=100.
故答案为：100．
【答案】
3π4
【考点】
正弦定理
运用诱导公式化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据正弦定理可知，bsinA+acsB=0，
即sinBsinA+sinAcsB=0，sinA≠0，
∴sinB=−csB，
∴π2又∵sin2B+cs2B=1，
∴csB=−22，
∴B=3π4.
故答案为：3π4.
【答案】
2
【考点】
幂函数的性质
【解析】
利用幂函数的定义得到m2−3m+3=1，由图象关于y轴对称，可知函数为偶函数，可知m为偶数，求解即可.
【解答】
解：∵ 幂函数fx=m2−3m+3xm的图象关于y轴对称，
∴ m2−3m+3=1且m为偶数，
∴ m=2.
故答案为：2.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→=(csx, sinx)，b→=(3, −3)，a→ // b→，
∴ −3csx=3sinx，
当csx=0时，sinx=1，不合题意，
当csx≠0时，tanx=−33，
∵ x∈[0, π]，
∴ x=5π6.
(2)f(x)=a→⋅b→=3csx−3sinx
=23(32csx−12sinx)=23cs(x+π6)，
∵ x∈[0, π]，
∴ x+π6∈[π6, 7π6]，
∴ −1≤cs(x+π6)≤32，
∴−23≤f(x)≤3，
∴ f(x)最大值为3，f(x)最小值为−23．
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
同角三角函数间的基本关系
平面向量数量积的运算
两角和与差的余弦公式
函数的值域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a→=(csx, sinx)，b→=(3, −3)，a→ // b→，
∴ −3csx=3sinx，
当csx=0时，sinx=1，不合题意，
当csx≠0时，tanx=−33，
∵ x∈[0, π]，
∴ x=5π6.
(2)f(x)=a→⋅b→=3csx−3sinx
=23(32csx−12sinx)=23cs(x+π6)，
∵ x∈[0, π]，
∴ x+π6∈[π6, 7π6]，
∴ −1≤cs(x+π6)≤32，
∴−23≤f(x)≤3，
∴ f(x)最大值为3，f(x)最小值为−23．
【答案】
(1)解：由S1=13(a1−1)，得a1=13(a1−1)，
∴ a1=−12.
又S2=13(a2−1)，即a1+a2=13(a2−1)，得a2=14．
(2)证明：当n>1时，an=Sn−Sn−1=13(an−1)−13(an−1−1)，
得anan−1=−12，
所以{an}是首项为−12，公比为−12的等比数列．
【考点】
数列递推式
等比关系的确定
【解析】
（1）先通过Sn=13(an−1)求出a1，进而通过a2=S2−S1，求得a2
（2）当n>1时可通过an=Sn−Sn−1，进而化简得anan−1是常数，同时通过（1）中a2s1可知亦为此常数，进而可证明{an}是等比数列．
【解答】
(1)解：由S1=13(a1−1)，得a1=13(a1−1)，
∴ a1=−12.
又S2=13(a2−1)，即a1+a2=13(a2−1)，得a2=14．
(2)证明：当n>1时，an=Sn−Sn−1=13(an−1)−13(an−1−1)，
得anan−1=−12，
所以{an}是首项为−12，公比为−12的等比数列．
【答案】
解：(1)∵ 0<α<π2<β<π，tanα2=12，
∴ tanα=2tanα21−tan2α2=43．
∵ tanα=sinαcsα，sin2α+cs2α=1，
∴ sinα=45，csα=35．
(2)∵ cs(β−α)=210，0<α<π2<β，
∴ sin(β−α)=7210，
∴ tan(β−α)=sin(β−α)cs(β−α)=7
=tanβ−tanα1+tanαtanβ=tanβ−431+43tanβ，
∴ tanβ=−1，
∴ β=3π4．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
两角和与差的正切公式
【解析】
（1）利用二倍角公式求出tanα，利用同角三角函数的基本关系求出sinα 的值．
（2）根据角的范围求出sin(α−β)，可得tan(α−β)的值，进而求得tanβ的值，根据β范围求出β的大小．
【解答】
解：(1)∵ 0<α<π2<β<π，tanα2=12，
∴ tanα=2tanα21−tan2α2=43．
∵ tanα=sinαcsα，sin2α+cs2α=1，
∴ sinα=45，csα=35．
(2)∵ cs(β−α)=210，0<α<π2<β，
∴ sin(β−α)=7210，
∴ tan(β−α)=sin(β−α)cs(β−α)=7
=tanβ−tanα1+tanαtanβ=tanβ−431+43tanβ，
∴ tanβ=−1，
∴ β=3π4．
【答案】
(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG.
因为E是B1C的中点，
所以EG // BB1，且EG=12BB1．
由直三棱柱知，AA1 // BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，
所以EG // AD，EG=AD，
所以四边形EGAD是平行四边形，
所以ED // AG.
又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
所以DE // 平面ABC．
(2)解：因为AD // BB1，所以AD // 平面BCE，
所以VE−BCD=VD−BCE=VA−BCE=VE−ABC.
由(1)知，DE // 平面ABC，
所以VE−ABC=VD−ABC=13AD⋅12BC⋅AG=16×3×6×4=12．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）取BC中点G，连接AG，EG，通过证明四边形EGAD是平行四边形，推出ED // AG，然后证明DE // 平面ABC．
（2）证明AD // 平面BCE，利用VE−BCD=VD−BCE=VA−BCE=VE−ABC，然后求解几何体的体积．
【解答】
(1)证明：取BC中点G，连接AG，EG.
因为E是B1C的中点，
所以EG // BB1，且EG=12BB1．
由直三棱柱知，AA1 // BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，
所以EG // AD，EG=AD，
所以四边形EGAD是平行四边形，
所以ED // AG.
又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，
所以DE // 平面ABC．
(2)解：因为AD // BB1，所以AD // 平面BCE，
所以VE−BCD=VD−BCE=VA−BCE=VE−ABC.
由(1)知，DE // 平面ABC，
所以VE−ABC=VD−ABC=13AD⋅12BC⋅AG=16×3×6×4=12．
【答案】
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由a32=9a2a6，得a32=9a42，所以q2=19．
由条件可知q>0，故q=13．
由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13，
故数列{an}的通项公式为an=13n．
(2)bn=lg3a1+lg3a2+lg3a3+⋯+lg3an
=lg3()=lg33−（1+2+3+⋯+n）
=−(1+2+3+⋯+n)=−n(n+1)2，
故1bn=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，
数列{1bn}的前n项和：Tn=1b1+1b2+⋯+1bn
=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=−2nn+1，
所以数列{1bn}的前n项和Tn=−2nn+1.
【考点】
等比中项
等比数列的通项公式
数列的求和
【解析】
（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{an}的通项公式．
（2）利用对数运算法则化简bn＝lg3a1+lg3a2+...+lg3an，然后化简数列{1bn}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．

【解答】
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，
由a32=9a2a6，得a32=9a42，所以q2=19．
由条件可知q>0，故q=13．
由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13，
故数列{an}的通项公式为an=13n．
(2)bn=lg3a1+lg3a2+lg3a3+⋯+lg3an
=lg3()=lg33−（1+2+3+⋯+n）
=−(1+2+3+⋯+n)=−n(n+1)2，
故1bn=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，
数列{1bn}的前n项和：Tn=1b1+1b2+⋯+1bn
=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=−2nn+1，
所以数列{1bn}的前n项和Tn=−2nn+1.
【答案】
解：∵ −3≤lg12x≤−12，
∴ 12≤lg2x≤3，
而f(x)=(lg2x2)⋅(lg2x4)
=(lg2x−1)(lg2x−2)
=(lg2x−32)2−14，
∴ 当lg2x=32，即x=22时，f(x)取得最小值是−14，
当lg2x=3，即x=8时，f(x)取得最大值是2．
【考点】
对数的运算性质
对数函数的值域与最值
【解析】
先求出12≤lg2x≤3，再根据f(x)=(lg2x−32)2−14，从而求出函数f(x)的最值．
【解答】
解：∵ −3≤lg12x≤−12，
∴ 12≤lg2x≤3，
而f(x)=(lg2x2)⋅(lg2x4)
=(lg2x−1)(lg2x−2)
=(lg2x−32)2−14，
∴ 当lg2x=32，即x=22时，f(x)取得最小值是−14，
当lg2x=3，即x=8时，f(x)取得最大值是2．