2020—2021学年江苏省启东市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

这是一份2020—2021学年江苏省启东市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知数列an满足an+1=2ann≥1且a2=−1，则a8=( )
A.64B.−164C.−64D.164

2. “a，b，c成等比”是“b2=ac”( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件

3. 在等差数列an中，已知S12=72，则a6+a7=( )
A.12B.10C.8D.6

4. 已知等差数列an中，公差d≠0，a1，a3，a9成等比数列，则a1+a3+a9a2+a4+a10的值是( )
A.1B.2C.1316D.1613

5. 已知向量a→=1,1与b→=2,−3，若ka→−2b→与a→垂直，则实数k等于（ ）
A.−1B.1C.5D.0

6. 若直线l的倾斜角是y=3x+2倾斜角的2倍，且过点0,5，则l的方程是( )
A.3x−y+5=0B.3x+y−5=0C.3x−3y+15=0D.3x+3y+15=0

7. 设直线l经过点M0,1且与直线x−2y−3=0垂直，则l的方程为( )
A.2x+y+1=0B.2x+y−1=0C.x−2y+2=0D.x+2y−2=0

8. 已知两点A(3, 2)和B(−1, 4)到直线mx+y+3=0的距离相等，则m的值为( )
A.0或−12B.12或−6C.−12D.−6

9. 与圆C:x2+(y+5)2=3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有( )
A.2条B.3条C.4条D.6条

10. 设平面向量a→=(1, 2)，b→=(−2, y)，若a→ // b→，则|3a→+b→|=( )
A.26B.17C.6D.5
二、填空题

等差数列an中，S4=1，S8=5，S12=________．

若数列an的通项为an=1nn+1，则其前100项的和S100等于________.

已知平行四边形ABCD中，A1,0，B2,5，C1,1，则D点坐标为________.

过点−1,−1的直线l与圆C:x2+y2+4x−5=0交于A、B两点，当弦长|AB|取最小值时，直线l的方程为________.

函数fx=x2−ax+1的定义域为R，求a的取值范围________.
三、解答题

等差数列{an}为等差数列，d=2，an=11，Sn=35．求a1和n．

求过点A−1,2且倾斜角的正弦值满足方程5x2+7x−6=0的直线方程．

在等差数列{an}中，a1=−25，S3=S8，则前n项和Sn的最小值为？

若a→=3,4，b→与a→方向相反，且|b→|=15，求b→的坐标．

若|a→|=2，|b→|=4，a→与b→的夹角为π3.
(1)|a→−2b→| ；

(2)若ka→+2b→与ka→−2b→垂直，求k.

自点A1,6作圆x−22+y−32=1的切线.
(1)求切线方程；

(2)切线长．

求与y轴相切，圆心在直线x−3y=0上且截得直线y=x所得弦长为27的圆的方程．

已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn=an⋅2n，求数列{bn}的前n项和．
参考答案与试题解析
2020—2021学年江苏省启东市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
等比数列的通项公式
等比数列的性质
【解析】
由题意可得数列an是首项为−12，公比q为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，计算即可得．
【解答】
解：数列an满足a2=−1，且对任意的正整数n，有an+1=2an成立，
a1=a22=−12.
∴数列an是首项为−12，公比q为2的等比数列，
则a8=a1q7=−12×27=−64．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
等比中项
【解析】
根据等比数列的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：若a，b，c成等比数列，则一定有b2=ac ，即充分性成立；
当a=c=b=0时，满足b2=ac，
但a，b，c成等比数列不成立，即必要性不成立；
故“a，b，c成等比”是“b2=ac”的充分非必要条件.
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的前n项和公式求得a1+a12，然后由等差数列的性质a1+a12=a6+a7得答案．
【解答】
解：在等差数列中，a6+a7=a1+a12，
S12=12a1+a122=72，
解得a1+a12=12，故a6+a7=12．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等比中项
【解析】

【解答】
解：∵ a1，a3，a9成等比数列，
∴ a32=a1×a9，
即(a1+2d)2=a1(a1+8d)，
解得a1=d，
∴ a1+a3+a9a2+a4+a10=3a1+10d3a1+13d=1316．
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量a→=(1,1)，b→=(2,−3)，若ka→−2b→与a→垂直，
∴ (ka→−2b→)⋅a→=0，即：(k−4, k+6)⋅(1, 1)=0，
∴ k−4+k+6=0，
∴ k=−1．
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
直线的斜率
直线的点斜式方程
【解析】
根据已知条件求得直线l的斜率，利用点斜式写出直线l的方程即可．
【解答】
解：∵直线l的倾斜角是直线y=3x+2倾斜角的2倍，
而直线y=3x+2倾斜角α=60∘，
∴直线l的倾斜角β=2α=120∘，
其斜率为tanβ=tan120∘=−3，
∵直线l过点(0,5)，
∴直线l的方程是y−5=−3x−0，
即3x+y−5=0．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的垂直关系
两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
【解析】
由题意利用两条直线垂直的性质，用点斜式求出直线的方程．
【解答】
解：∵直线l与直线x−2y−3=0垂直，
所以直线l的斜率为−2.
又∵直线l经过点M0,1，
所以直线l的方程为：y−1=−2x−0，
化简得：2x+y−1=0．
故选B．
8.
【答案】
B
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 两点A(3, 2)和B(−1, 4)到直线mx+y+3=0的距离相等，
∴ |3m+2+3|m2+1=|−m+4+3|m2+1，
解得m=12或m=−6．
故选B．
9.
【答案】
C
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
先求已知圆的圆心和半径，原点和圆心的距离小于半径，判定原点不在圆内，则存在过原点的两条切，与圆C:x2+(y+5)2=3相切；
原点和圆心的距离等于半径，原点在圆上，有2条斜率为−1的切线，即可得答案．
【解答】
解：已知圆的圆心(0, −5)，半径是3，显然原点在圆外，
所以与圆C:x2+(y+5)2=3相切、且纵截距和横截距相等的直线，
过原点的有两条，斜率为−1的有两条，共4条．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
向量的模
平行向量的性质
【解析】
由两向量共线，可求y的值，在利用向量的模长公式即可
【解答】
解：∵ a→ // b→，
∴ 2×(−2)−1⋅y=0，解得y=−4，
从而3a→+b→=(1, 2)，
∴ |3a→+b→|=5.
故选D.
二、填空题
【答案】
12
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
【解析】
由等差数列的前n项和列方程组求出a1，d，由等差数列的前n项和公式求出S12．
【解答】
解：∵在等差数列an中， S4=1，S8=5，
∴4a1+6d=1,8a1+28d=5,
解得：∴a1=−132,d=316,
∴S12=12a1+12×112d
=12×−132+66×316
=12.
故答案为：12．
【答案】
100101
【考点】
数列的求和
【解析】
通过裂项可知an=1n−1n+1，进而并项相加即得结论．
【解答】
解：∵ an=1n(n+1)=1n−1n+1，
∴ Sn=1−12+12−13+...+1n−1n+1
=1−1n+1
=nn+1．
故S100=100101.
故答案为：100101.
【答案】
0,−4
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
设出点Dx,y，利用平行四边形ABCD中AB→=DC→，列出方程组，求出x、y的值即可．
【解答】
解：设点Dx,y，
在平行四边形ABCD中，
∵AB→=DC→，
∴1,5=1−x,1−y，
即1−x=1,1−y=5,
解得x=0，y=−4，
∴D点的坐标为0,−4．
故答案为：0,−4．
【答案】
x−y=0
【考点】
直线与圆相交的性质
直线与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设点P(−1,−1)，
∵ 圆x2+y2+4x−5=0，化成标准方程为(x+2)2+y2=9，
∴ 圆心的坐标为C(−2, 0)，
由此可得PC的斜率为k=−1−0−1+2=−1.
∵ 当直线l与PC垂直时，|AB|取最小值，
∴ l的斜率k′=−1k=1，可得直线l方程为y+1=x+1，化简得x−y=0．
故答案为：x−y=0.
【答案】
−2≤a≤2
【考点】
函数的定义域及其求法
不等式恒成立问题
【解析】
根据函数fx的定义域为R知， x2−ax+1≥0恒成立，y=x2−ax+1是开口向上的抛物线，当x∈R，x2−ax+1恒成立，说明抛物线与x轴至多1个交点，即Δ≤0，求出满足条件的a的取值范围．
【解答】
解：由fx=x2−ax+1可知需满足x2−ax+1≥0(x∈R)，
y=x2−ax+1是开口向上的抛物线，
当x∈R，x2−ax+1≥0恒成立，
则Δ=a2−4≤0，
解得−2≤a≤2．
故答案为：−2≤a≤2．
三、解答题
【答案】
解：由题意，
∵ 等差数列{an}中，公差d=2，an=11，前n项和Sn=35，
∴ a1+(n−1)×2=11①，na1+n(n−1)2×2=35②，
∴ ①×n−②，整理得n2−12n+35=0，
∴ n=5或7.
∴ n=5，a1=3，或n=7，a1=−1.
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
根据等差数列的通项及前n项和公式，构建方程组，即可求得a1和n．
【解答】
解：由题意，
∵ 等差数列{an}中，公差d=2，an=11，前n项和Sn=35，
∴ a1+(n−1)×2=11①，na1+n(n−1)2×2=35②，
∴ ①×n−②，整理得n2−12n+35=0，
∴ n=5或7.
∴ n=5，a1=3，或n=7，a1=−1.
【答案】
解：由题意，设所求直线的倾斜角为θ，
所以5sin2θ+7sinθ−6
=5sinθ−3sinθ+2=0，
解得sinθ=35或sinθ=−2(舍去).
因为θ∈[0,π)，
故csθ=±1−sin2θ=±45，
所以tanθ=sinθcsθ=±34，
故直线斜率为±34，又因为直线过点A−1,2，
若直线斜率为34，则y−2=34x−(−1)，即3x−4y+11=0，
若直线斜率为−34，则y−2=−34x−(−1)，即3x+4y−5=0．
【考点】
直线的点斜式方程
直线的倾斜角
直线的斜率
【解析】
设所求直线的倾斜角为θ，由倾斜角的正弦值满足方程5x2+7x−6=0得出sinθ=35，由同角三角函数基本关系得出csθ=±45，则tanθ=sinθcsθ=±34，即直线斜率为±34，再根据点斜式求出直线方程．
【解答】
解：由题意，设所求直线的倾斜角为θ，
所以5sin2θ+7sinθ−6
=5sinθ−3sinθ+2=0，
解得sinθ=35或sinθ=−2(舍去).
因为θ∈[0,π)，
故csθ=±1−sin2θ=±45，
所以tanθ=sinθcsθ=±34，
故直线斜率为±34，又因为直线过点A−1,2，
若直线斜率为34，则y−2=34x−(−1)，即3x−4y+11=0，
若直线斜率为−34，则y−2=−34x−(−1)，即3x+4y−5=0．
【答案】
解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
∵ S3=S8，
∴ a4+a5+a6+a7+a8=0，
∴ a6=0，
∴ d=a6−a16−1=0−−255=5，
∴ an=−25+n−1×5=5n−30，
又an≤0，
∴ n≤6，
∴ 当n=5或n=6时，Sn取得最小值，且最小值为−75.
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的前n项和公式和二次函数的图象求最小值．
【解答】
解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，
∵ S3=S8，
∴ a4+a5+a6+a7+a8=0，
∴ a6=0，
∴ d=a6−a16−1=0−−255=5，
∴ an=−25+n−1×5=5n−30，
又an≤0，
∴ n≤6，
∴ 当n=5或n=6时，Sn取得最小值，且最小值为−75.
【答案】
解：由题意，不妨设向量b→的坐标为： b→=3m,4mm<0，
则|b→|=3m2+4m2=15，
解得：m=−3(m=3舍去)，
所以b→=−9,−12．
【考点】
共线向量与共面向量
向量的模
【解析】
由题意首先设出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式解方程即可确定向量的坐标．
【解答】
解：由题意，不妨设向量b→的坐标为： b→=3m,4mm<0，
则|b→|=3m2+4m2=15，
解得：m=−3(m=3舍去)，
所以b→=−9,−12．
【答案】
解：(1)a→−2b→2=|a→|2+4|b→|2−4a→⋅b→
=4+4×16−4×2×4×csπ3
=52，
∴|a→−2b→|=52=213．
(2)若ka→+2b→⊥ka→−2b¯，
即ka→+2b→⋅ka→−2b¯=0，
则 k2a→2−4b→2=0，
整理得： 4k2−64=0，
∴ k=±4．
【考点】
向量的模
向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】
(2)利用向量垂直的充要条件求出结果．
【解答】
解：(1)a→−2b→2=|a→|2+4|b→|2−4a→⋅b→
=4+4×16−4×2×4×csπ3
=52，
∴|a→−2b→|=52=213．
(2)若ka→+2b→⊥ka→−2b¯，
即ka→+2b→⋅ka→−2b¯=0，
则 k2a→2−4b→2=0，
整理得： 4k2−64=0，
∴ k=±4．
【答案】
解：(1)圆的圆心为(2,3)，半径为1，
当斜率存在时，设切线方程为y−6=k(x−1)，
即kx−y−k+6=0.
因为直线与圆相切，所以
d=|2k−3−k+6|k2+1=1，
解得k=−43.
切线方程为4x+3y−22=0；
当斜率不存在时，切线方程为x=1.
故圆的切线方程为4x+3y−22=0或者x=1.
(2)d=(2−1)2+(3−6)2=10，
则切线长为(10)2−12=3.
【考点】
圆的切线方程
【解析】


【解答】
解：(1)圆的圆心为(2,3)，半径为1，
当斜率存在时，设切线方程为y−6=k(x−1)，
即kx−y−k+6=0.
因为直线与圆相切，所以
d=|2k−3−k+6|k2+1=1，
解得k=−43.
切线方程为4x+3y−22=0；
当斜率不存在时，切线方程为x=1.
故圆的切线方程为4x+3y−22=0或者x=1.
(2)d=(2−1)2+(3−6)2=10，
则切线长为(10)2−12=3.
【答案】
解：设圆心为(3t, t)，半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离d=|3t−t|2=|2t|，
由勾股定理及垂径定理得：(272)2=r2−d2，即9t2−2t2=7，
解得：t=±1，
∴ 圆心坐标为(3, 1)，半径为3或圆心坐标为(−3, −1)，半径为3，
则(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
由圆心在直线x−3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解答】
解：设圆心为(3t, t)，半径为r=|3t|，
则圆心到直线y=x的距离d=|3t−t|2=|2t|，
由勾股定理及垂径定理得：(272)2=r2−d2，即9t2−2t2=7，
解得：t=±1，
∴ 圆心坐标为(3, 1)，半径为3或圆心坐标为(−3, −1)，半径为3，
则(x−3)2+(y−1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9．
【答案】
解：(1)∵ 数列{an}是等差数列，
且a1=2，a1+a2+a3=12，
∴ 2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴ an=2+(n−1)×2=2n．
(2)bn=an⋅2n=n⋅2n+1，
∴ Sn=b1+b2+⋯+bn−1+bn
=1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1① ，
2Sn=1⋅23+2⋅24+3⋅25+…+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2② ，
①-②，得
−Sn=22+23+…+2n+1−n⋅2n+2
=4(1−2n)1−2−n⋅2n+2
=2n+2−4−n⋅2n+2.
∴ Sn=(n−1)2n+2+4.
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）由数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，利用等差数列的通项公式先求出d=2，由此能求出数列{an}的通项公式．
本题考查数列的通项公式的求法和数列前n项和的求法
【解答】
解：(1)∵ 数列{an}是等差数列，
且a1=2，a1+a2+a3=12，
∴ 2+2+d+2+2d=12，
解得d=2，
∴ an=2+(n−1)×2=2n．
(2)bn=an⋅2n=n⋅2n+1，
∴ Sn=b1+b2+⋯+bn−1+bn
=1⋅22+2⋅23+3⋅24+…+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1① ，
2Sn=1⋅23+2⋅24+3⋅25+…+(n−1)⋅2n+1+n⋅2n+2② ，
①-②，得
−Sn=22+23+…+2n+1−n⋅2n+2
=4(1−2n)1−2−n⋅2n+2
=2n+2−4−n⋅2n+2.
∴ Sn=(n−1)2n+2+4.