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2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末考试数学试卷苏教版
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这是一份2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末考试数学试卷苏教版，共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A=0,1,2，B=x|−2A.0,1B.−1,0,1C.−1,0,1,2D.−2,−1,0,1,2
2. 若命题“∀x∈R， |x|−1+m>0”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A.[1,+∞)B.−1,+∞C.−∞,1D.(−∞,1]
3. 小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）
A.−π3 radB.−π6radC.π6 radD.π3 rad
4. 函数fx=lg2x+x−1的零点所在区间为（ ）
A.0,12B.12,1C.1,32D.32,2
5. 设a=20.5，b=23，c=lg22，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A.a
6. 要得到函数fx=2sin2x+π6的图象，只需要将函数gx=sinx−π6的图象上所有的点（ ）
A.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移π3个单位，然后横坐变为原来的12倍（纵坐标不变）；
B.纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向左平移π6个单位，然后横坐变为原来的2倍（纵坐标不变）；
C.纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向右平移π6个单位，然后横坐变为原来的2倍（纵坐标不变）；
D.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移π3个单位，然后横坐变为原来的12倍（纵坐标不变）
7. 函数fx=21+2x−1sinx的图象大致形状为（ ）
A.B.
C.D.
8. 2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是（ ）lg2≈0.3,lg3.8≈0.6
A.40B.41C.42D.43
二、多选题
下列说法正确的有（ ）
A.命题“若a2=b2，则a=b”是真命题；
B.命题“∀x∈R，x2>x”是假命题；
C.命题“函数y=x与s=t表示相同函数”是假命题；
D.命题“∀x∈0,π2,sinx
若函数fx同时满足：
①对于定义域内的任意x，恒有fx+f−x=0，
②对于定义域上的任意x1,x2，当x1x2fx1−x1fx1；
则称函数fx具有性质P．下列函数中具有性质P的是（ ）
A.y=ln1+x2+xB.y=tanx
C.y=x2, x≥0−x2, x<0D.y=−1x
公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段AB为直径作半圆ADB， CD⊥AB，垂足为C，以AB的中点O为圆心，OC为半径再作半圆，过O作OE⊥OD，交半圆于E，连接ED，设BC=a，AC=b,0
A.a+b2a2+abD.a2+b22>a+b2
声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinwt．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asinwt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+…，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有( )
A.函数y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1100sin100x不具有奇偶性；
B.函数fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x在区间−π16,π16]上单调递增；
C.若某声音甲对应函数近似为fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x，则声音甲的响度一定比纯音ℎx=12sin2x响度大；
D.若某声音甲对应函数近似为gx=sinx+12sin2x，则声音甲一定比纯音ℎx=13sin3x更低沉．
三、填空题
计算： π0+1823−ln3e+sin7π6=________.
已知幂函数fx=m2−m−1x1m在0,+∞上单调递增，则实数m的值为________.
函数 fx=2x, x≥0，2cs2x−π3, −π≤x<0， 若方程fx=a恰有三个不同的解，记为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是________.
已知关于x的一元二次不等式bx2−2x−a>0的解集为x|x≠ca,b,c∈R，则a2+b2+8b+cb+c≠0的最小值是________.
四、解答题
已知集合A=x|y=lnx−2+aa∈R ，B=x|x−3x+2>0.
(1)当a=1时，求A∩∁RB；
(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．
如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B， OB=2.
(1)求tanα的值；
(2)求 2sinα−3π2+sinπ+αcs(α+5π) 的值．
已知二次函数fx=ax2+bx+2b−a2a,b∈R，当x∈−1,3时， fx>0；当x∈−∞,−1∪3,+∞，fx<0.
(1)求a，b的值；
(2)解关于x的不等式： ax2+b−cx+2c>0c∈R；
(3)若不等式fx+mx−5<0在x∈1,3上恒成立，求m的取值范围．
某厂家为增加某种商品的销售量，决定增加广告投入费用，据市场调查，增加的销售量x（单位：千件）与广告投入费用Hx（单位：万元）满足下列数据：（其中0≤x≤16）
为了描述增加的销售量与投入广告费的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Hx=ax3+bx2+cx，Hx=0.5x+a，Hx=klgax+ba,b,c∈R
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)你认为销售量增加达到多少时，才能使每千件的广告费用最少？
定义：设函数fx的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数x∈D，有fx≤M则称函数fx为有上界函数，M是fx的一个上界；若fx≥m，则称函数fx为有下界函数，m是fx的一个下界；若m≤fx≤M，则称函数fx为有界函数；若函数fx有上界或有下界，则称函数fx具有有界性．
(1)判断下列函数是否具有有界性：①y=−x2+2x；②y=2x；③y=tanx；
(2)已知函数fx=lg24xx−1定义域为[2,+∞），若M为函数fx的上界，求M的取值范围；
(3)若函数gx=4x+2a2xa>0定义域为2,4，m是函数gx的下界，求m的最大值．
已知函数fx=2csωx+φ+20<ω<2,0<φ<π2.
请在下面的三个条件中任选两个解答问题．
①函数fx的图象过点0,22:
②函数fx的图象关于点12,2对称；
③函数fx相邻两个对称轴之间距离为2．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若x1,x2是函数fx的零点，求csx1+x2π2的值组成的集合；
(3)当a∈−2,0时，是否存在a满足不等式f2a+32>fa？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接并集运算求解即可.
【解答】
解：集合A=0,1,2，B=x|−2则A∪B= −1,0,1,2.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
由题意得到∃x∈R，m≤1−|x|成立，利用1−|x|≤1，即可求出m的范围.
【解答】
解：若命题“∀x∈R， |x|−1+m>0”是假命题，
则∃x∈R， |x|−1+m≤0为真命题，
即∃x∈R，m≤1−|x|成立，
由于1−|x|≤1，
∴ m≤1.
则实数m的取值范围为(−∞,1].
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
弧度制
弧度与角度的互化
弧度制的应用
【解析】
由时针按顺时针旋转，可知旋转角为负角，再由12小时旋转−2πrad求得经过1小时转过的弧度数．
【解答】
解：根据题意，小亮需将时针按顺时针方向旋转一小时，
∵ 时钟12小时转−2πrad，
∴ 经过1小时，时针转过了−2π12=−π6rad．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由已知函数解析式求得f(12)<0，f(1)>0，结合函数零点存在定理得答案．
【解答】
解：函数fx=lg2x+x−1在定义域内单调递增，
且f(12)=lg1+12−1=−12<0，
f(1)=lg2+1−1>0，
满足f(12)f(1)<0，
∴ 函数fx=lg2x+x−1的零点所在的区间为(12,1)．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
先利用指数函数性质比较a，b，再利用对数的运算求出c，即可得到三个数的大小关系.
【解答】
解：1c=lg22=lg22lg22=112=2，
∴ a故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用三角函数的变换规律求解即可.
【解答】
解：将函数gx=sinx−π6的图象上所有的点纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sinx−π6的图象，
再将y=2sinx−π6的图象向左平移π3个单位，得到y=2sinx−π6+π3=2sinx+π6的图象，
然后横坐变为原来的12倍，得到函数fx=2sin2x+π6的图象.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数图象的作法
【解析】
利用函数的奇偶性排除选项CD；再利用特殊值排除选项A.
【解答】
解：函数fx=21+2x−1sinx=1−2x1+2xsinx，
∴ f−x=1−2−x1+2−xsin−x=−2x−12x+1sinx=fx，
∴ 函数fx为偶函数，排除选项CD；
当x∈0,1时，fx=1−2x1+2xsinx<0，排除选项A.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
函数模型的选择与应用
指数函数的实际应用
指数式与对数式的互化
【解析】
由题意结合单位换算得0.1×2n×10−6=380000，结合指数式对数式运算求解即可.
【解答】
解：∵ 1km=106mm,
∴ 由题意可得
0.1×2n×10−6=380000，
∴ 2n=3.8×1012，
即lg2n=lg3.8×1012，
即nlg2=lg3.8+12,
解得n=lg3.8+12lg2≈0.6+120.3=42.
故选C
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对选项逐项判定即可.
【解答】
解：A，若a=1，b=−1，此时a2=b2，而a≠b，故A错误；
B，当x=0时，x2=x，即"∀x∈R，x2>x“为假命题，故B正确；
C，函数y=x与s=t表示相同函数，故C错误；
D，∀x∈0,π2，sinx故选BD.
【答案】
A,C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
由条件知，在定义域内单调递增的奇函数具有性质P，逐项判定即可.
【解答】
解：由对于定义域上的任意x，恒有fx+f−x=0，可得fx是奇函数，
对于定义域上的任意x1,x2，当x1x2fx1−x1fx1，
即x2−x1fx2−fx1>0，可得fx为增函数；
对于A，fx=ln1+x2+x，由x+1+x2>0，
当x≥0时，显然成立；当x<0时，1+x2>−x
平方可得1+x2>x2成立，则定义域为R，
f(−x)+f(x)=ln(−x+1+x2)+ln(x+1+x2)=ln1=0，则fx为奇函数；
又x>0时， x+1+x2为递增函数，由复合函数的性质：同增异减，可得fx为增函数，
则y=ln1+x2+x具有性质P；
对于B，y=tanx在定义域内不单调，则不具有性质P；
对于C，y=x2，x≥0−x2,x<0为奇函数，且在定义域内单调递增，则具有性质P；
对于D，函数fx=−1x在0,+∞和−∞,0是增函数，但不能说在定义域上是增函数，则不具有性质P.
故选AC.
【答案】
A,D
【考点】
不等式的基本性质
圆的综合题
【解析】
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90∘=∠A+∠B，∵DC⊥AB，∴∠ACD=90∘，∴∠A+∠ADC=90∘，∴∠B=∠ADC，易有△ADC∼△DBC，
即ACCD=DCBC，∴CD2=AC⋅BC=ab ，R大圆=a+b2，R小圆=a+b2−a=b−a2，∵∠ACD=90∘，∴AC2+CD2=AD2
∴AD=a2+ab，同理可有BD=a2+ab，分析各选项得出不等关系．
【解答】
解： ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘=∠DAB+∠ABD.
∵DC⊥AB，
∴∠ACD=90∘，
∴∠DAC+∠ADC=90∘，
∴∠ABD=∠ADC，
易有△ADC∼△DBC，
即ACCD=DCBC，
∴CD2=AC⋅BC=ab .
R大圆=a+b2，R小圆=a+b2−a=b−a2.
∵∠ACD=90∘，
∴AC2+CD2=AD2,
∴AD=b2+ab，
同理可有BD=a2+ab.
对于A，即R大圆=OD显然，当 0∴可AD上截DM=DO，故AD>OD，
即b2+ab>a+b2，故A正确；
对于B， 当∠BOD=60∘时，
R大圆=OD=OB=BD，即a+b2=a2+ab，故B错误；
对于C，当b≈a且b>a时，
AC≈AO=OD≈22BD对于D，R大圆=OD=a+b2，R小圆=OC=b−a2，
∴OD2+OC2=2a2+2b24=a2+b22，
∴OD2+OC2>OD2=OD=a+b2，故D正确．
故选AD．
【答案】
B,C,D
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的奇偶性
正弦函数的单调性
【解析】
利用正弦函数的相关性质解决问题.
【解答】
解：A，令 fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1100sin100x，
则−f−x=−[sin−x+12sin−2x+⋯+1100sin−100x]
=sinx+12sin2x+⋯+1100sin100x，
∴fx=−f−x，故y=fxx∈R是奇函数，故A错误；
B，fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x，
∵x∈−π16,π16，则2x∈−π8,π8，3x∈[−3π16,3π16]，4x∈[−π4,π4]，
∴fx在−π16,π16上单调递增，故B正确；
C，由题意可知ℎ(x)的振幅为12，
x=π2时，fπ2=sinπ2+12sinπ+13sin32π+14sin2π
=1+0−13+0=23，
设f(x)的振幅为A，
则A≥23>12，
∵ 振幅越大，响度越大，故声音甲的响度一定比纯音ℎ(x)的响度大，
故C正确；
D，gx=sinx+12sin2x，
记g1x=sinx，则周期T1=2π1=2π，
记g2x=12sin2x，则周期T2=2π2=π，
故gx最小周期为Tg=2π ，其频率为 1Tg=12π，
ℎx=13sin3x，其周期Tℎ=2π3，其频率为1Tℎ=32π，
故ℎx频率大于gx频率，
∴ gx比ℎx低沉，故D正确．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
23
【考点】
对数的运算性质
运用诱导公式化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】
根据零指数幂的性质，特殊角的三角函数值，对数的性质，计算即可.
【解答】
解：原式=1+12−13−12=23.
故答案为：23.
【答案】
2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的性质
【解析】
由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】
解：∵ 幂函数fx=m2−m−1x1m在0，+∞上单调递增，
∴ m2−m−1=1，且1m>0，
求得：m=2.
故答案为：2.
【答案】
[−5π3，1−5π3)
【考点】
根的存在性及根的个数判断
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意画出函数f(x)的草图，
由图可知当1≤a<2时，方程f(x)=a恰有三个不同解，
x1与x2关于x=−5π6对称，
故x1+x2=−5π3，
又0≤x3<1，
故−5π3≤x1+x2+x3<1−5π3.
故答案为：[−5π3，1−5π3).
【答案】
26
【考点】
一元二次不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意得到a=−c，b−a>0，再利用基本不等式求最值即可.
【解答】
解：关于x的一元二次不等式bx2−2x−a>0的解集为x|x≠ca,b,c∈R，
∴ b>0，x=22b=1b=c且Δ=−22+4ab=0，
∴ bc=1，ab=−1，
∴ c=1b，a=−1b，a=−c，
∵ b>0，a=−1b<0，
∴ b−a>0，
∴ a2+b2+8b+c=b−a2+6b−a=b−a+6b−a≥26，
当且仅当b−a=6b−a时等号成立，
故a2+b2+8b+cb+c≠0的最小值是26.
故答案为：26.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意知当a=1时，A=1,+∞，B=−∞,−2∪3,+∞，
所以∁RB=−2,3，
所以A∩∁RB=(1,3]．
(2)A=x|y=lnx−2+aa∈R，
即A={x|x>2−a}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B，
所以2−a≥3，解得a≤−1．
【考点】
交、并、补集的混合运算
根据充分必要条件求参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
【解答】
解：(1)由题意知当a=1时，A=1,+∞，B=−∞,−2∪3,+∞，
所以∁RB=−2,3，
所以A∩∁RB=(1,3]．
(2)A=x|y=lnx−2+aa∈R，
即A={x|x>2−a}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B，
所以2−a≥3，解得a≤−1．
【答案】
解：(1)因为△ABC是直角三角形，所以AB=5，
所以A的坐标是−2,5，
由三角函数定义知：tanα=−52；
(2)原式=2csα−sinα−csα
=−2+tanα=−2−52=−4−52．
【考点】
任意角的三角函数
诱导公式
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
【解答】
解：(1)因为△ABC是直角三角形，所以AB=5，
所以A的坐标是−2,5，
由三角函数定义知：tanα=−52；
(2)原式=2csα−sinα−csα
=−2+tanα=−2−52=−4−52．
【答案】
解：(1)∵ x∈−1,3，fx>0，
x∈−∞,−1∪3,+∞，fx<0，
∴ x=−1和3是ax2+bx+2b−a2=0的两根，
则a−b+2b−a2=0,9a+3b+2b−a2=0,
解得a=−1，b=2.
(2)不等式ax2+b−cx+2c>0化为：−x2+2−cx+2c>0，
∴ x2+c−2x−2c<0即x+cx−2<0，
当c<−2时，则有2当c=−2时，不等式无解；
当c>−2时，则有−c综上所述，当c<−2时，不等式解集为2,−c；
当c=−2时，不等式解集是⌀；
当c>−2时，不等式解集为−c,2．
(3)∵ fx=−x2+2x+3，
∴ −x2+2x+3+mx−5<0即m+2x∵1≤x≤3，
∴ 2+m而x+2x≥22，
当且仅当x=2时取“=”．
∴ 2+m<22
∴ m<22−2．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：(1)∵ x∈−1,3，fx>0，
x∈−∞,−1∪3,+∞，fx<0，
∴ x=−1和3是ax2+bx+2b−a2=0的两根，
则a−b+2b−a2=0,9a+3b+2b−a2=0,
解得a=−1，b=2.
(2)不等式ax2+b−cx+2c>0化为：−x2+2−cx+2c>0，
∴ x2+c−2x−2c<0即x+cx−2<0，
当c<−2时，则有2当c=−2时，不等式无解；
当c>−2时，则有−c综上所述，当c<−2时，不等式解集为2,−c；
当c=−2时，不等式解集是⌀；
当c>−2时，不等式解集为−c,2．
(3)∵ fx=−x2+2x+3，
∴ −x2+2x+3+mx−5<0即m+2x∵1≤x≤3，
∴ 2+m而x+2x≥22，
当且仅当x=2时取“=”．
∴ 2+m<22
∴ m<22−2．
【答案】
解：(1)由题意知，选择的函数模型必须满足定义域x∈0,16，且在x∈0,16上是单调递增函数，因为函数Hx=0.5x+a在x∈0,16单调递减，不符合题意；
又函数Hx=klgax+b在x=0时无意义，也不符合题意；
所以选择函数y=ax3+bx2+cx，
由已知数据得：
a+b+c=0.452,8a+4b+2c=0.816,64a+16b+4c=1.328,
解得a=0.002，b=−0.05，c=0.5，
所以Hx=0.002x3−0.05x2+0.5x，x∈0,16；
(2)设每千件的广告费用为Qx，
由题意知： Qx=Hxx，
即Qx=0.002x2−0.05x+0.5=1500x−12.52+0.1875，
因为x∈0,16，所以x=12.5时，Qx有最小值，最小值为0.1875，
答：销量增加量为12.5千件时，每千件投入广告费用最少，最少为0.1875万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
【解析】
【解答】
解：(1)由题意知，选择的函数模型必须满足定义域x∈0,16，且在x∈0,16上是单调递增函数，因为函数Hx=0.5x+a在x∈0,16单调递减，不符合题意；
又函数Hx=klgax+b在x=0时无意义，也不符合题意；
所以选择函数y=ax3+bx2+cx，
由已知数据得：
a+b+c=0.452,8a+4b+2c=0.816,64a+16b+4c=1.328,
解得a=0.002，b=−0.05，c=0.5，
所以Hx=0.002x3−0.05x2+0.5x，x∈0,16；
(2)设每千件的广告费用为Qx，
由题意知： Qx=Hxx，
即Qx=0.002x2−0.05x+0.5=1500x−12.52+0.1875，
因为x∈0,16，所以x=12.5时，Qx有最小值，最小值为0.1875，
答：销量增加量为12.5千件时，每千件投入广告费用最少，最少为0.1875万元．
【答案】
解：(1)因为对任意x∈R，y=−x2+2x=−x−12+1≤1恒成立，
所以函数①是有上界函数；
因为对任意x∈R，y=2x>0恒成立，
所以函数②是有下界函数；
因为函数y=tanx值域为R，不存在m使得tanx≥m恒成立，
也不存在M使得tanx≤M恒成立，
所以函数③不具有有界性．
(2)设t=4xx−1=4+4x−1，
因为x∈[2,+∞)，所以t∈(4,8]，则lg2t≤3恒成立，
即fx=lg24xx−1≤3，所以M>3．
(3)设k=2x，则gx=k2+2aka>0，
设ℎk=k2+2ak=k+2ak，
因为x∈2,4，所以k∈4,16，
①当4<2a<16即8ℎk=k+2ak≥22a，此时mmax=22a；
②当2a≤4即0任取k1,k2∈4,16且k116，2a≤16，
ℎk1−ℎk2=k1−k2+2ak2−k1k1k2
=k1−k2⋅k1k2−2ak1k2<0．
所以函数ℎk=k+2ak单调递增，
则ℎk≥4+a2，则mmax=4+a2；
③当2a≥16即a≥128时，可证函数ℎk=k+2ak单调递减，
则ℎk≥16+a8，则mmax=16+a8，
综上所述， mmax=4+a2,0【考点】
函数最值的应用
函数的值域及其求法
函数单调性的性质
【解析】
【解答】
解：(1)因为对任意x∈R，y=−x2+2x=−x−12+1≤1恒成立，
所以函数①是有上界函数；
因为对任意x∈R，y=2x>0恒成立，
所以函数②是有下界函数；
因为函数y=tanx值域为R，不存在m使得tanx≥m恒成立，
也不存在M使得tanx≤M恒成立，
所以函数③不具有有界性．
(2)设t=4xx−1=4+4x−1，
因为x∈[2,+∞)，所以t∈(4,8]，则lg2t≤3恒成立，
即fx=lg24xx−1≤3，所以M>3
(3)设k=2x，则gx=k2+2aka>0，
设ℎk=k2+2ak=k+2ak，
因为x∈2,4，所以k∈4,16，
①当4<2a<16即8ℎk=k+2ak≥22a，此时mmax=22a；
②当2a≤4即0任取k1,k2∈4,16且k116，2a≤16，
ℎk1−ℎk2=k1−k2+2ak2−k1k1k2
=k1−k2⋅k1k2−2ak1k2<0．
所以函数ℎk=k+2ak单调递增，
则ℎk≥4+a2，则mmax=4+a2；
③当2a≥16即a≥128时，可证函数ℎk=k+2ak单调递减，
则ℎk≥16+a8，则mmax=16+a8，
综上所述， mmax=4+a2,0【答案】
解：(1)方案一：若选择①②
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
再将12,2代入fx=2csωx+π4+2得cs12ω+π4=0，
即12ω+π4=kπ+π2k∈Z，ω=2kπ+π2k∈Z，
又0<ω<2则ω=π2.
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案二：若选择①③
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案三：若选择②③
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+φ+2，
再将12,2代入2csπ4+φ+2=2得csπ4+φ=0，
即π4+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π4k∈Z，
又0<φ<π2则φ=π4，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
(2)若x1，x2是函数fx的零点，则fx1=0，fx2=0，
由fx=2csπ2x+π4+2=0得，
π2x+π4=2kπ+3π4或π2x+π4=2kπ+5π4k∈Z，
即x=4k+1k∈Z或x=4k+2k∈Z，
①当x1,x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+2,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+1π=−1；
②当x1,x2∈x|x=4k+2,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+4，（k1,k2∈Z）
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+2π=1；
③当x1∈x|x=4k+1,k∈Z，x2∈x|x=4k+2,k∈Z或x1∈x|x=4k+2,k∈Z，x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，
有x1+x2=4k1+k2+3,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+32π=0，
综上所述： csx1+x2π2的值组成的集合为−1,0,1．
(3)由f2a+32>fa得csaπ+π>csaπ2+π4，
因为a∈−2,0，所以−π因为y=csx在−π,0上单调递增，在−π,0上单调递减，且csaπ+π>csaπ2+π4，
所以|aπ+π|<|aπ2+π4|，
化简得12a2+28a+15<0，
解得−32【考点】
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
函数解析式的求解及常用方法
由函数零点求参数取值范围问题
其他不等式的解法
【解析】
【解答】
解：(1)方案一：若选择①②
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
再将12,2代入fx=2csωx+π4+2得cs12ω+π4=0，
即12ω+π4=kπ+π2k∈Z，ω=2kπ+π2k∈Z，
又0<ω<2则ω=π2.
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案二：若选择①③
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案三：若选择②③
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+φ+2，
再将12,2代入2csπ4+φ+2=2得csπ4+φ=0，
即π4+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π4k∈Z，
又0<φ<π2则φ=π4，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
(2)若x1，x2是函数fx的零点，则fx1=0，fx2=0，
由fx=2csπ2x+π4+2=0得，
π2x+π4=2kπ+3π4或π2x+π4=2kπ+5π4k∈Z，
即x=4k+1k∈Z或x=4k+2k∈Z，
①当x1,x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+2,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+1π=−1；
②当x1,x2∈x|x=4k+2,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+4，（k1,k2∈Z）
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+2π=1；
③当x1∈x|x=4k+1,k∈Z，x2∈x|x=4k+2,k∈Z或x1∈x|x=4k+2,k∈Z，x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，
有x1+x2=4k1+k2+3,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+32π=0，
综上所述： csx1+x2π2的值组成的集合为−1,0,1．
(3)由f2a+32>fa得csaπ+π>csaπ2+π4，
因为a∈−2,0，所以−π因为y=csx在−π,0上单调递增，在−π,0上单调递减，且csaπ+π>csaπ2+π4，
所以|aπ+π|<|aπ2+π4|，
化简得12a2+28a+15<0，
解得−320
1
2
4
5
广告投入费用Hx
0.000
0.452
0.816
1.328
1.500
1. 已知集合A=0,1,2，B=x|−2
2. 若命题“∀x∈R， |x|−1+m>0”是假命题，则实数m的取值范围是（ ）
A.[1,+∞)B.−1,+∞C.−∞,1D.(−∞,1]
3. 小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）
A.−π3 radB.−π6radC.π6 radD.π3 rad
4. 函数fx=lg2x+x−1的零点所在区间为（ ）
A.0,12B.12,1C.1,32D.32,2
5. 设a=20.5，b=23，c=lg22，则a，b，c大小关系正确的是（ ）
A.a
6. 要得到函数fx=2sin2x+π6的图象，只需要将函数gx=sinx−π6的图象上所有的点（ ）
A.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移π3个单位，然后横坐变为原来的12倍（纵坐标不变）；
B.纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向左平移π6个单位，然后横坐变为原来的2倍（纵坐标不变）；
C.纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向右平移π6个单位，然后横坐变为原来的2倍（纵坐标不变）；
D.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移π3个单位，然后横坐变为原来的12倍（纵坐标不变）
7. 函数fx=21+2x−1sinx的图象大致形状为（ ）
A.B.
C.D.
8. 2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是（ ）lg2≈0.3,lg3.8≈0.6
A.40B.41C.42D.43
二、多选题
下列说法正确的有（ ）
A.命题“若a2=b2，则a=b”是真命题；
B.命题“∀x∈R，x2>x”是假命题；
C.命题“函数y=x与s=t表示相同函数”是假命题；
D.命题“∀x∈0,π2,sinx
若函数fx同时满足：
①对于定义域内的任意x，恒有fx+f−x=0，
②对于定义域上的任意x1,x2，当x1
则称函数fx具有性质P．下列函数中具有性质P的是（ ）
A.y=ln1+x2+xB.y=tanx
C.y=x2, x≥0−x2, x<0D.y=−1x
公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段AB为直径作半圆ADB， CD⊥AB，垂足为C，以AB的中点O为圆心，OC为半径再作半圆，过O作OE⊥OD，交半圆于E，连接ED，设BC=a，AC=b,0
A.a+b2
声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y=Asinwt．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y=Asinwt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+…，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有( )
A.函数y=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1100sin100x不具有奇偶性；
B.函数fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x在区间−π16,π16]上单调递增；
C.若某声音甲对应函数近似为fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x，则声音甲的响度一定比纯音ℎx=12sin2x响度大；
D.若某声音甲对应函数近似为gx=sinx+12sin2x，则声音甲一定比纯音ℎx=13sin3x更低沉．
三、填空题
计算： π0+1823−ln3e+sin7π6=________.
已知幂函数fx=m2−m−1x1m在0,+∞上单调递增，则实数m的值为________.
函数 fx=2x, x≥0，2cs2x−π3, −π≤x<0， 若方程fx=a恰有三个不同的解，记为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是________.
已知关于x的一元二次不等式bx2−2x−a>0的解集为x|x≠ca,b,c∈R，则a2+b2+8b+cb+c≠0的最小值是________.
四、解答题
已知集合A=x|y=lnx−2+aa∈R ，B=x|x−3x+2>0.
(1)当a=1时，求A∩∁RB；
(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．
如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B， OB=2.
(1)求tanα的值；
(2)求 2sinα−3π2+sinπ+αcs(α+5π) 的值．
已知二次函数fx=ax2+bx+2b−a2a,b∈R，当x∈−1,3时， fx>0；当x∈−∞,−1∪3,+∞，fx<0.
(1)求a，b的值；
(2)解关于x的不等式： ax2+b−cx+2c>0c∈R；
(3)若不等式fx+mx−5<0在x∈1,3上恒成立，求m的取值范围．
某厂家为增加某种商品的销售量，决定增加广告投入费用，据市场调查，增加的销售量x（单位：千件）与广告投入费用Hx（单位：万元）满足下列数据：（其中0≤x≤16）
为了描述增加的销售量与投入广告费的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Hx=ax3+bx2+cx，Hx=0.5x+a，Hx=klgax+ba,b,c∈R
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)你认为销售量增加达到多少时，才能使每千件的广告费用最少？
定义：设函数fx的定义域为D，若存在实数m，M，对任意的实数x∈D，有fx≤M则称函数fx为有上界函数，M是fx的一个上界；若fx≥m，则称函数fx为有下界函数，m是fx的一个下界；若m≤fx≤M，则称函数fx为有界函数；若函数fx有上界或有下界，则称函数fx具有有界性．
(1)判断下列函数是否具有有界性：①y=−x2+2x；②y=2x；③y=tanx；
(2)已知函数fx=lg24xx−1定义域为[2,+∞），若M为函数fx的上界，求M的取值范围；
(3)若函数gx=4x+2a2xa>0定义域为2,4，m是函数gx的下界，求m的最大值．
已知函数fx=2csωx+φ+20<ω<2,0<φ<π2.
请在下面的三个条件中任选两个解答问题．
①函数fx的图象过点0,22:
②函数fx的图象关于点12,2对称；
③函数fx相邻两个对称轴之间距离为2．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若x1,x2是函数fx的零点，求csx1+x2π2的值组成的集合；
(3)当a∈−2,0时，是否存在a满足不等式f2a+32>fa？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省宿迁市高一（上）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
直接并集运算求解即可.
【解答】
解：集合A=0,1,2，B=x|−2
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
全称命题与特称命题
【解析】
由题意得到∃x∈R，m≤1−|x|成立，利用1−|x|≤1，即可求出m的范围.
【解答】
解：若命题“∀x∈R， |x|−1+m>0”是假命题，
则∃x∈R， |x|−1+m≤0为真命题，
即∃x∈R，m≤1−|x|成立，
由于1−|x|≤1，
∴ m≤1.
则实数m的取值范围为(−∞,1].
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
弧度制
弧度与角度的互化
弧度制的应用
【解析】
由时针按顺时针旋转，可知旋转角为负角，再由12小时旋转−2πrad求得经过1小时转过的弧度数．
【解答】
解：根据题意，小亮需将时针按顺时针方向旋转一小时，
∵ 时钟12小时转−2πrad，
∴ 经过1小时，时针转过了−2π12=−π6rad．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由已知函数解析式求得f(12)<0，f(1)>0，结合函数零点存在定理得答案．
【解答】
解：函数fx=lg2x+x−1在定义域内单调递增，
且f(12)=lg1+12−1=−12<0，
f(1)=lg2+1−1>0，
满足f(12)f(1)<0，
∴ 函数fx=lg2x+x−1的零点所在的区间为(12,1)．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
先利用指数函数性质比较a，b，再利用对数的运算求出c，即可得到三个数的大小关系.
【解答】
解：1
∴ a
6.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
利用三角函数的变换规律求解即可.
【解答】
解：将函数gx=sinx−π6的图象上所有的点纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2sinx−π6的图象，
再将y=2sinx−π6的图象向左平移π3个单位，得到y=2sinx−π6+π3=2sinx+π6的图象，
然后横坐变为原来的12倍，得到函数fx=2sin2x+π6的图象.
故选D.
7.
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质
函数图象的作法
【解析】
利用函数的奇偶性排除选项CD；再利用特殊值排除选项A.
【解答】
解：函数fx=21+2x−1sinx=1−2x1+2xsinx，
∴ f−x=1−2−x1+2−xsin−x=−2x−12x+1sinx=fx，
∴ 函数fx为偶函数，排除选项CD；
当x∈0,1时，fx=1−2x1+2xsinx<0，排除选项A.
故选B.
8.
【答案】
C
【考点】
函数模型的选择与应用
指数函数的实际应用
指数式与对数式的互化
【解析】
由题意结合单位换算得0.1×2n×10−6=380000，结合指数式对数式运算求解即可.
【解答】
解：∵ 1km=106mm,
∴ 由题意可得
0.1×2n×10−6=380000，
∴ 2n=3.8×1012，
即lg2n=lg3.8×1012，
即nlg2=lg3.8+12,
解得n=lg3.8+12lg2≈0.6+120.3=42.
故选C
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
对选项逐项判定即可.
【解答】
解：A，若a=1，b=−1，此时a2=b2，而a≠b，故A错误；
B，当x=0时，x2=x，即"∀x∈R，x2>x“为假命题，故B正确；
C，函数y=x与s=t表示相同函数，故C错误；
D，∀x∈0,π2，sinx
【答案】
A,C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质
【解析】
由条件知，在定义域内单调递增的奇函数具有性质P，逐项判定即可.
【解答】
解：由对于定义域上的任意x，恒有fx+f−x=0，可得fx是奇函数，
对于定义域上的任意x1,x2，当x1
即x2−x1fx2−fx1>0，可得fx为增函数；
对于A，fx=ln1+x2+x，由x+1+x2>0，
当x≥0时，显然成立；当x<0时，1+x2>−x
平方可得1+x2>x2成立，则定义域为R，
f(−x)+f(x)=ln(−x+1+x2)+ln(x+1+x2)=ln1=0，则fx为奇函数；
又x>0时， x+1+x2为递增函数，由复合函数的性质：同增异减，可得fx为增函数，
则y=ln1+x2+x具有性质P；
对于B，y=tanx在定义域内不单调，则不具有性质P；
对于C，y=x2，x≥0−x2,x<0为奇函数，且在定义域内单调递增，则具有性质P；
对于D，函数fx=−1x在0,+∞和−∞,0是增函数，但不能说在定义域上是增函数，则不具有性质P.
故选AC.
【答案】
A,D
【考点】
不等式的基本性质
圆的综合题
【解析】
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90∘=∠A+∠B，∵DC⊥AB，∴∠ACD=90∘，∴∠A+∠ADC=90∘，∴∠B=∠ADC，易有△ADC∼△DBC，
即ACCD=DCBC，∴CD2=AC⋅BC=ab ，R大圆=a+b2，R小圆=a+b2−a=b−a2，∵∠ACD=90∘，∴AC2+CD2=AD2
∴AD=a2+ab，同理可有BD=a2+ab，分析各选项得出不等关系．
【解答】
解： ∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90∘=∠DAB+∠ABD.
∵DC⊥AB，
∴∠ACD=90∘，
∴∠DAC+∠ADC=90∘，
∴∠ABD=∠ADC，
易有△ADC∼△DBC，
即ACCD=DCBC，
∴CD2=AC⋅BC=ab .
R大圆=a+b2，R小圆=a+b2−a=b−a2.
∵∠ACD=90∘，
∴AC2+CD2=AD2,
∴AD=b2+ab，
同理可有BD=a2+ab.
对于A，即R大圆=OD
即b2+ab>a+b2，故A正确；
对于B， 当∠BOD=60∘时，
R大圆=OD=OB=BD，即a+b2=a2+ab，故B错误；
对于C，当b≈a且b>a时，
AC≈AO=OD≈22BD
∴OD2+OC2=2a2+2b24=a2+b22，
∴OD2+OC2>OD2=OD=a+b2，故D正确．
故选AD．
【答案】
B,C,D
【考点】
正弦函数的周期性
正弦函数的奇偶性
正弦函数的单调性
【解析】
利用正弦函数的相关性质解决问题.
【解答】
解：A，令 fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x+⋯+1100sin100x，
则−f−x=−[sin−x+12sin−2x+⋯+1100sin−100x]
=sinx+12sin2x+⋯+1100sin100x，
∴fx=−f−x，故y=fxx∈R是奇函数，故A错误；
B，fx=sinx+12sin2x+13sin3x+14sin4x，
∵x∈−π16,π16，则2x∈−π8,π8，3x∈[−3π16,3π16]，4x∈[−π4,π4]，
∴fx在−π16,π16上单调递增，故B正确；
C，由题意可知ℎ(x)的振幅为12，
x=π2时，fπ2=sinπ2+12sinπ+13sin32π+14sin2π
=1+0−13+0=23，
设f(x)的振幅为A，
则A≥23>12，
∵ 振幅越大，响度越大，故声音甲的响度一定比纯音ℎ(x)的响度大，
故C正确；
D，gx=sinx+12sin2x，
记g1x=sinx，则周期T1=2π1=2π，
记g2x=12sin2x，则周期T2=2π2=π，
故gx最小周期为Tg=2π ，其频率为 1Tg=12π，
ℎx=13sin3x，其周期Tℎ=2π3，其频率为1Tℎ=32π，
故ℎx频率大于gx频率，
∴ gx比ℎx低沉，故D正确．
故选BCD．
三、填空题
【答案】
23
【考点】
对数的运算性质
运用诱导公式化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】
根据零指数幂的性质，特殊角的三角函数值，对数的性质，计算即可.
【解答】
解：原式=1+12−13−12=23.
故答案为：23.
【答案】
2
【考点】
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
幂函数的性质
【解析】
由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值．
【解答】
解：∵ 幂函数fx=m2−m−1x1m在0，+∞上单调递增，
∴ m2−m−1=1，且1m>0，
求得：m=2.
故答案为：2.
【答案】
[−5π3，1−5π3)
【考点】
根的存在性及根的个数判断
分段函数的应用
函数的零点与方程根的关系
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据题意画出函数f(x)的草图，
由图可知当1≤a<2时，方程f(x)=a恰有三个不同解，
x1与x2关于x=−5π6对称，
故x1+x2=−5π3，
又0≤x3<1，
故−5π3≤x1+x2+x3<1−5π3.
故答案为：[−5π3，1−5π3).
【答案】
26
【考点】
一元二次不等式的解法
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
由题意得到a=−c，b−a>0，再利用基本不等式求最值即可.
【解答】
解：关于x的一元二次不等式bx2−2x−a>0的解集为x|x≠ca,b,c∈R，
∴ b>0，x=22b=1b=c且Δ=−22+4ab=0，
∴ bc=1，ab=−1，
∴ c=1b，a=−1b，a=−c，
∵ b>0，a=−1b<0，
∴ b−a>0，
∴ a2+b2+8b+c=b−a2+6b−a=b−a+6b−a≥26，
当且仅当b−a=6b−a时等号成立，
故a2+b2+8b+cb+c≠0的最小值是26.
故答案为：26.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意知当a=1时，A=1,+∞，B=−∞,−2∪3,+∞，
所以∁RB=−2,3，
所以A∩∁RB=(1,3]．
(2)A=x|y=lnx−2+aa∈R，
即A={x|x>2−a}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B，
所以2−a≥3，解得a≤−1．
【考点】
交、并、补集的混合运算
根据充分必要条件求参数取值问题
集合的包含关系判断及应用
【解析】
【解答】
解：(1)由题意知当a=1时，A=1,+∞，B=−∞,−2∪3,+∞，
所以∁RB=−2,3，
所以A∩∁RB=(1,3]．
(2)A=x|y=lnx−2+aa∈R，
即A={x|x>2−a}，
因为x∈A是x∈B的充分条件，所以A⊆B，
所以2−a≥3，解得a≤−1．
【答案】
解：(1)因为△ABC是直角三角形，所以AB=5，
所以A的坐标是−2,5，
由三角函数定义知：tanα=−52；
(2)原式=2csα−sinα−csα
=−2+tanα=−2−52=−4−52．
【考点】
任意角的三角函数
诱导公式
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
【解答】
解：(1)因为△ABC是直角三角形，所以AB=5，
所以A的坐标是−2,5，
由三角函数定义知：tanα=−52；
(2)原式=2csα−sinα−csα
=−2+tanα=−2−52=−4−52．
【答案】
解：(1)∵ x∈−1,3，fx>0，
x∈−∞,−1∪3,+∞，fx<0，
∴ x=−1和3是ax2+bx+2b−a2=0的两根，
则a−b+2b−a2=0,9a+3b+2b−a2=0,
解得a=−1，b=2.
(2)不等式ax2+b−cx+2c>0化为：−x2+2−cx+2c>0，
∴ x2+c−2x−2c<0即x+cx−2<0，
当c<−2时，则有2
当c>−2时，则有−c
当c=−2时，不等式解集是⌀；
当c>−2时，不等式解集为−c,2．
(3)∵ fx=−x2+2x+3，
∴ −x2+2x+3+mx−5<0即m+2x
∴ 2+m
当且仅当x=2时取“=”．
∴ 2+m<22
∴ m<22−2．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
【解答】
解：(1)∵ x∈−1,3，fx>0，
x∈−∞,−1∪3,+∞，fx<0，
∴ x=−1和3是ax2+bx+2b−a2=0的两根，
则a−b+2b−a2=0,9a+3b+2b−a2=0,
解得a=−1，b=2.
(2)不等式ax2+b−cx+2c>0化为：−x2+2−cx+2c>0，
∴ x2+c−2x−2c<0即x+cx−2<0，
当c<−2时，则有2
当c>−2时，则有−c
当c=−2时，不等式解集是⌀；
当c>−2时，不等式解集为−c,2．
(3)∵ fx=−x2+2x+3，
∴ −x2+2x+3+mx−5<0即m+2x
∴ 2+m
当且仅当x=2时取“=”．
∴ 2+m<22
∴ m<22−2．
【答案】
解：(1)由题意知，选择的函数模型必须满足定义域x∈0,16，且在x∈0,16上是单调递增函数，因为函数Hx=0.5x+a在x∈0,16单调递减，不符合题意；
又函数Hx=klgax+b在x=0时无意义，也不符合题意；
所以选择函数y=ax3+bx2+cx，
由已知数据得：
a+b+c=0.452,8a+4b+2c=0.816,64a+16b+4c=1.328,
解得a=0.002，b=−0.05，c=0.5，
所以Hx=0.002x3−0.05x2+0.5x，x∈0,16；
(2)设每千件的广告费用为Qx，
由题意知： Qx=Hxx，
即Qx=0.002x2−0.05x+0.5=1500x−12.52+0.1875，
因为x∈0,16，所以x=12.5时，Qx有最小值，最小值为0.1875，
答：销量增加量为12.5千件时，每千件投入广告费用最少，最少为0.1875万元．
【考点】
函数模型的选择与应用
函数解析式的求解及常用方法
函数最值的应用
【解析】
【解答】
解：(1)由题意知，选择的函数模型必须满足定义域x∈0,16，且在x∈0,16上是单调递增函数，因为函数Hx=0.5x+a在x∈0,16单调递减，不符合题意；
又函数Hx=klgax+b在x=0时无意义，也不符合题意；
所以选择函数y=ax3+bx2+cx，
由已知数据得：
a+b+c=0.452,8a+4b+2c=0.816,64a+16b+4c=1.328,
解得a=0.002，b=−0.05，c=0.5，
所以Hx=0.002x3−0.05x2+0.5x，x∈0,16；
(2)设每千件的广告费用为Qx，
由题意知： Qx=Hxx，
即Qx=0.002x2−0.05x+0.5=1500x−12.52+0.1875，
因为x∈0,16，所以x=12.5时，Qx有最小值，最小值为0.1875，
答：销量增加量为12.5千件时，每千件投入广告费用最少，最少为0.1875万元．
【答案】
解：(1)因为对任意x∈R，y=−x2+2x=−x−12+1≤1恒成立，
所以函数①是有上界函数；
因为对任意x∈R，y=2x>0恒成立，
所以函数②是有下界函数；
因为函数y=tanx值域为R，不存在m使得tanx≥m恒成立，
也不存在M使得tanx≤M恒成立，
所以函数③不具有有界性．
(2)设t=4xx−1=4+4x−1，
因为x∈[2,+∞)，所以t∈(4,8]，则lg2t≤3恒成立，
即fx=lg24xx−1≤3，所以M>3．
(3)设k=2x，则gx=k2+2aka>0，
设ℎk=k2+2ak=k+2ak，
因为x∈2,4，所以k∈4,16，
①当4<2a<16即8
②当2a≤4即0
ℎk1−ℎk2=k1−k2+2ak2−k1k1k2
=k1−k2⋅k1k2−2ak1k2<0．
所以函数ℎk=k+2ak单调递增，
则ℎk≥4+a2，则mmax=4+a2；
③当2a≥16即a≥128时，可证函数ℎk=k+2ak单调递减，
则ℎk≥16+a8，则mmax=16+a8，
综上所述， mmax=4+a2,0
函数最值的应用
函数的值域及其求法
函数单调性的性质
【解析】
【解答】
解：(1)因为对任意x∈R，y=−x2+2x=−x−12+1≤1恒成立，
所以函数①是有上界函数；
因为对任意x∈R，y=2x>0恒成立，
所以函数②是有下界函数；
因为函数y=tanx值域为R，不存在m使得tanx≥m恒成立，
也不存在M使得tanx≤M恒成立，
所以函数③不具有有界性．
(2)设t=4xx−1=4+4x−1，
因为x∈[2,+∞)，所以t∈(4,8]，则lg2t≤3恒成立，
即fx=lg24xx−1≤3，所以M>3
(3)设k=2x，则gx=k2+2aka>0，
设ℎk=k2+2ak=k+2ak，
因为x∈2,4，所以k∈4,16，
①当4<2a<16即8
②当2a≤4即0
ℎk1−ℎk2=k1−k2+2ak2−k1k1k2
=k1−k2⋅k1k2−2ak1k2<0．
所以函数ℎk=k+2ak单调递增，
则ℎk≥4+a2，则mmax=4+a2；
③当2a≥16即a≥128时，可证函数ℎk=k+2ak单调递减，
则ℎk≥16+a8，则mmax=16+a8，
综上所述， mmax=4+a2,0
解：(1)方案一：若选择①②
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
再将12,2代入fx=2csωx+π4+2得cs12ω+π4=0，
即12ω+π4=kπ+π2k∈Z，ω=2kπ+π2k∈Z，
又0<ω<2则ω=π2.
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案二：若选择①③
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案三：若选择②③
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+φ+2，
再将12,2代入2csπ4+φ+2=2得csπ4+φ=0，
即π4+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π4k∈Z，
又0<φ<π2则φ=π4，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
(2)若x1，x2是函数fx的零点，则fx1=0，fx2=0，
由fx=2csπ2x+π4+2=0得，
π2x+π4=2kπ+3π4或π2x+π4=2kπ+5π4k∈Z，
即x=4k+1k∈Z或x=4k+2k∈Z，
①当x1,x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+2,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+1π=−1；
②当x1,x2∈x|x=4k+2,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+4，（k1,k2∈Z）
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+2π=1；
③当x1∈x|x=4k+1,k∈Z，x2∈x|x=4k+2,k∈Z或x1∈x|x=4k+2,k∈Z，x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，
有x1+x2=4k1+k2+3,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+32π=0，
综上所述： csx1+x2π2的值组成的集合为−1,0,1．
(3)由f2a+32>fa得csaπ+π>csaπ2+π4，
因为a∈−2,0，所以−π
所以|aπ+π|<|aπ2+π4|，
化简得12a2+28a+15<0，
解得−32
y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
函数解析式的求解及常用方法
由函数零点求参数取值范围问题
其他不等式的解法
【解析】
【解答】
解：(1)方案一：若选择①②
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
再将12,2代入fx=2csωx+π4+2得cs12ω+π4=0，
即12ω+π4=kπ+π2k∈Z，ω=2kπ+π2k∈Z，
又0<ω<2则ω=π2.
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案二：若选择①③
将0,22代入fx=2csωx+φ+2得csφ=22，
因为0<φ<π2则φ=π4，即fx=2csωx+π4+2，
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
方案三：若选择②③
由相邻对称轴得距离为2可得T=4，ω=π2，
从而可得fx=2csπ2x+φ+2，
再将12,2代入2csπ4+φ+2=2得csπ4+φ=0，
即π4+φ=kπ+π2k∈Z，φ=kπ+π4k∈Z，
又0<φ<π2则φ=π4，
从而可得fx=2csπ2x+π4+2；
(2)若x1，x2是函数fx的零点，则fx1=0，fx2=0，
由fx=2csπ2x+π4+2=0得，
π2x+π4=2kπ+3π4或π2x+π4=2kπ+5π4k∈Z，
即x=4k+1k∈Z或x=4k+2k∈Z，
①当x1,x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+2,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+1π=−1；
②当x1,x2∈x|x=4k+2,k∈Z时，则x1+x2=4k1+k2+4，（k1,k2∈Z）
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+2π=1；
③当x1∈x|x=4k+1,k∈Z，x2∈x|x=4k+2,k∈Z或x1∈x|x=4k+2,k∈Z，x2∈x|x=4k+1,k∈Z时，
有x1+x2=4k1+k2+3,k1,k2∈Z，
从而可得csx1+x2π2=cs2k1+k2+32π=0，
综上所述： csx1+x2π2的值组成的集合为−1,0,1．
(3)由f2a+32>fa得csaπ+π>csaπ2+π4，
因为a∈−2,0，所以−π
所以|aπ+π|<|aπ2+π4|，
化简得12a2+28a+15<0，
解得−32
1
2
4
5
广告投入费用Hx
0.000
0.452
0.816
1.328
1.500
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