2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）下列函数中，在区间上是减函数为　　

A． B． C． D．

3．（5分）设函数，则　　

A．5 B．8 C．9 D．17

4．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　

A． B． C． D．

5．（5分）若，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知函数是偶函数，在上单调递增，则实数　　

A． B． C．2 D．

7．（5分）设命题甲：关于的不等式的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的　　条件

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．充要 D．既不充分也不必要

8．（5分）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．（5分）下列四组函数中，与表示同一函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

10．（5分）已知函数为自然对数的底数），则　　

A．为奇函数 

B．方程的实数解为 

C．的图象关于轴对称 

D．，，且，都有

11．（5分）下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

12．（5分）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有　　

A． 

B．函数的图象是两条直线 

C．（1） 

D．，都有

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．（5分）若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是　　．

14．（5分）函数的值域为　　．

15．（5分）已知，是正实数，且，则的最小值是　　．

16．（5分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则　　，　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（1）求值：；

（2）已知，求函数的解析式．

18．（12分）已知函数．

（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．

19．（12分）对于集合，，我们把集合，且，记作．

（1）已知集合，，求，；（直接写出结果即可）

（2）已知集合，，，若，求实数的取值范围．

20．（12分）某地规划对一片面积为的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为．当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间．

（1）求的值；

（2）若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？

21．（12分）已知不等式的解集为，集合．

（1）求集合；

（2）当，时，求集合；

（3）是否存在实数，使得是的充分条件，若存在，求出实数，满足的条件；若不存在，说明理由．

22．（12分）已知函数，且．

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）讨论函数的单调性；

（3）对于，，，，使得，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省南通市启东市高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C． D．

【分析】解不等式，分别求出关于，的范围，求出，的补集即可．

【解答】解：，，

，

故选：．

【点评】本题考查了集合的运算，考查不等式问题，是一道基础题．

2．（5分）下列函数中，在区间上是减函数为　　

A． B． C． D．

【分析】利用一次函数，二次函数，指数函数与漫画书的单调性判断结果即可．

【解答】解：选项是一次函数是增函数，所以不正确；

选项，函数是二次函数，函数的单调函数，所以不正确；

选项，函数是．函数是增函数，所以不正确

选项，是指数函数，是减函数，所以正确；

故选：．

【点评】本题考查基本函数的单调性的判断，是基本知识的考查．

3．（5分）设函数，则　　

A．5 B．8 C．9 D．17

【分析】根据题意，由函数的解析式可得，据此可得（4），计算可得答案．

【解答】解：根据题意，，

则，

则（4），

故选：．

【点评】本题考查分段函数函数值的计算，注意分段函数的性质，属于基础题．

4．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　

A． B． C． D．

【分析】由题意知，是方程的根，且，推出，再代入，解之即可．

【解答】解：由题意知，是方程的根，且，

所以，

所以不等式可化为，

解得，

故选：．

【点评】本题考查一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

5．（5分）若，，，则　　

A． B． C． D．

【分析】由指数函数的单调性可得，的大小关系，由幂函数的单调性可得，的大小关系，从而得到，，的大小关系．

【解答】解：指数函数在上单调递减，且，

，即，

幂函数在上单调递增，且，

，即，

综上所述，．

故选：．

【点评】本题主要考查了三个幂值的大小比较，合理应用指数函数和幂函数的单调性是本题的解题关键，属于基础题．

6．（5分）已知函数是偶函数，在上单调递增，则实数　　

A． B． C．2 D．

【分析】根据函数的奇偶性的性质求出，结合幂函数的性质即可得到结论．

【解答】解：函数是偶函数，

，

即，

则，

解得，解得或，

若，在内单调递减，不满足条件，

若，在内单调递增，满足条件，

故选：．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及幂函数的性质，比较基础．

7．（5分）设命题甲：关于的不等式的解集是实数集；命题乙：，则命题甲是命题乙成立的　　条件

A．充分不必要 B．必要不充分 

C．充要 D．既不充分也不必要

【分析】利用特殊值发令，可得，来判断充分条件，再根据二次函数的性质判断必要条件，从而求解；

【解答】解：已知命题甲：，

令，可得恒成立，命题甲推不出命题乙，

设，则其中，△，

图象开口向上，与轴无交点，此时恒成立，

命题乙推出命题甲，

命题甲：是命题乙：成立的必要不充分条件；

故选：．

【点评】本题考查命题的充分必要性，考查不等式恒成立的等价关系．值域数形结合的思想和等价转化的思想的运用．

8．（5分）已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于，恒成立，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．

【分析】根据条件可得图象关于轴对称以及在上递减，则在，上恒成立，解出范围即可．

【解答】解：由题可知，的图象关于轴对称，且函数在上递减，

由函数的图象特征可得在，上恒成立，得在，上恒成立，所以．

故选：．

【点评】本题考查函数对称性，单调性，涉及函数恒成立问题，利用分离参数法解不等式即可求出范围，属于中档题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．（5分）下列四组函数中，与表示同一函数的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一个函数．

【解答】解：对于，，定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数；

对于，，定义域为，，的定义域为，，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；

对于，，定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不是同一函数；

对于，，定义域为，的定义域为，两函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．

故选：．

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．

10．（5分）已知函数为自然对数的底数），则　　

A．为奇函数 

B．方程的实数解为 

C．的图象关于轴对称 

D．，，且，都有

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，函数，其定义域为，有，即函数为奇函数，正确，

对于，若，变形可得，解可得，即方程的实数解为，正确，

对于，为奇函数，其图象关于原点对称，不关于轴对称，错误，

对于，，函数为上的增函数，则为上的增函数，，，且，都有，正确，

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，涉及函数值的计算，属于基础题．

11．（5分）下列命题中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【分析】利用基本不等式以及不等式的基本性质，判断即可．

【解答】解：，则，所以正确；

若，则，所以不正确；

若，则，所以正确；

若，则也可能，所以不正确；

故选：．

【点评】本题考查基本不等式的应用，不等式的简单性质的应用，是基本知识的考查．

12．（5分）德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数称为狄利克雷函数，则关于函数有　　

A． 

B．函数的图象是两条直线 

C．（1） 

D．，都有

【分析】对应各个选项，结合有理数和无理数以及何时的性质，即可判断各个选项评分正确．

【解答】解：选项：若为有理数，则，所以（1），正确，

选项：在轴上，有理数和无理数是分散的，图象不可能为直线，错误，

选项是无理数，所以，而1为有理数，所以（1），

所以（1），错误，

选项：若为无理数，则与都为无理数，所以，

若 为有理数，则与为有理数，所以，正确，

故选：．

【点评】本题考查了狄利克雷函数的性质，考查了学生对有理数和无理数的理解能力，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．（5分）若集合恰有3个元素，则实数的取值范围是　　．

【分析】分情况解二次不等式，结合已知条件即可求解结论．

【解答】解：当时，，恰有三个元素，此时没有正根，故舍去，

当时，，恰有三个元素，，

当时，不存在，

综上可得：实数的取值范围为：．

【点评】本题主要考查不等式的求解以及分类讨论思想的应用，属于中档题目．

14．（5分）函数的值域为　，　．

【分析】求出指数的取值范围，利用指数函数的单调性，即可求出函数的值域．

【解答】解：因为，函数是减函数，所以，．

故答案为：，．

【点评】本题是基础题，考查函数的单调性的应用，注意指数函数的性质，考查计算能力．

15．（5分）已知，是正实数，且，则的最小值是　　．

【分析】先对式子变形，再利用基本不等式求得结果即可．

【解答】解：，是正实数，且，

，

，当且仅当时取“ “，

故答案为：．

【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式在处理最值中的应用，属于中档题．

16．（5分）十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，约翰纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数，后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即．现已知，，则　1　，　　．

【分析】根据换底公式和对数的运算性质即可求出．

【解答】解：，，

则

则，

，

则，

故答案为：1，．

【点评】本题考查了对数式和指数式的互化，以及换底公式，对数的运算性质，属于基础题．

四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（1）求值：；

（2）已知，求函数的解析式．

【分析】（1）利用对数的运算性质求解．

（2）利用拼凑法得到，再利用换元法令，求出的范围，从而得到函数的解析式．

【解答】解：（1）原式．

（2），

令，则，

，

．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了拼凑法求函数解析式，是中档题．

18．（12分）已知函数．

（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；

（2）若对于任意，，都有成立，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据二次函数的图象与性质，结合题意求得的取值范围；

（2）利用二次函数的性质将不等式恒成立问题转化为，解之即可得的取值范围．

【解答】解：（1）因为开口向上，

所以函数的对称轴是，

解得，

所以的取值范围是．

（2）因为对于任意，，都有成立，

所以，即

解得，

因此，的取值范围是．

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次不等式恒成立的应用问题．

19．（12分）对于集合，，我们把集合，且，记作．

（1）已知集合，，求，；（直接写出结果即可）

（2）已知集合，，，若，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据定义且．即可求解，；

（2）由，结合定义且．即可求解实数的取值范围．

【解答】解：（1）由定义且．集合，，

，，，．

（2）已知集合，，，

由，即时，无解，

那么，

解得或，

故得实数的取值范围，，．

【点评】本题考查对新定义的理解和应用，解题时要认真审题，属于基础题．

20．（12分）某地规划对一片面积为的沙漠进行治理，每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为．当治理面积达到这片沙漠面积一半时，正好用了10年时间．

（1）求的值；

（2）若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的，按照规划至少还需多少年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的？

【分析】（1）由题意，，即可求解值；

（2）设按照规划至少还需年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的，则，将代入，求解的范围得结论．

【解答】解：（1）由题意，，

，得；

（2）设按照规划至少还需年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的，

则，将代入，

可得，

，即，得．

故按照规划至少还需15年，使剩余沙漠面积至多为原沙漠面积的．

【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，是中档题．

21．（12分）已知不等式的解集为，集合．

（1）求集合；

（2）当，时，求集合；

（3）是否存在实数，使得是的充分条件，若存在，求出实数，满足的条件；若不存在，说明理由．

【分析】（1）解不等式可得集合；

（2）解不等式可得集合；

（3）分类讨论，根据是的充分条件，即可求出．

【解答】解：（1）不等式，即，解得或，

，；

（2），，则，即，解得，

即，；

（3）是的充分条件，则，

由可得，

当时，，解得，不满足，

当时，，或，或，不满足，

当时，可化为，

由于，

且，

即且，

综上所述存在实数，满足且时，使得是的充分条件．

【点评】本题考查了不等式的解法和充分条件的定义，考查了运算求解能力，属于中档题．

22．（12分）已知函数，且．

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）讨论函数的单调性；

（3）对于，，，，使得，求的取值范围．

【分析】（1）函数的定义域为，由函数的奇偶性定义，即可得出答案．

（2）分两种情况：①当时，②当时，讨论函数是上的单调性．

（3）由单调性，推出在区间，上的值域，，，，问题转化为，是的值域的子集，进而解出的取值范围．

【解答】解：（1）函数的定义域为，

因为对于任意的，都有，且

，

所以为奇函数．

（2）①当时，，由函数是上的增函数，是上的减函数，得

是上的增函数，

从而函数是上的增函数，

②当时，，由函数是上的减函数，是上的增函数，

得是上的减函数，

从而函数是上的增函数，

综上所述，函数是上的增函数．

（3）由（2）知在区间，上是增函数，

由于（1），，所以在区间，上的值域为，，

因为对于，，，，使得，

记，，，

所以，是的值域的子集，即，

当即时，，

所以，

当即时，（2），

所以．

综上所述，的取值范围是，．

【点评】本题考查函数的性质，解题中注意分类讨论思想，转化思想的应用，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:26:17；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394