高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式综合训练题

课时同步练习(十)　基本不等式

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)

A．s≥t　　　 B．s>t

C．s≤t   D．s<t

A　[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1.]

2．下列不等式中正确的是(　　)

A．a＋≥4   B．a2＋b2≥4ab

C.≥   D．x2＋≥2

D　[a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；

a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错；

a＝4，b＝16，则＜，故C错；

由基本不等式可知D项正确．]

3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)

A．ab≤2   B．ab≤

C.≥   D.≤2

D　[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤2，∴≥2，故选D.]

4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＞b＞＞ 

B．a＞＞＞b

C．a＞＞b＞

D.a＞＞＞b

B　[a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]

5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A.＞   B.＋≤1

C.≥2   D.≤

D　[由≤2得ab≤4，

∴≥，故A错；

B中，＋＝＝≥1，故B错；

由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；

由≥2得a2＋b2≥2×2＝8，

∴≤，D正确．]

二、填空题

6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．

≤　[∵a＞b＞c，

∴a－b＞0，b－c＞0，

∴≤＝.]

7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．

x≤　[用两种方法求出第三年的产量分别为

A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．

∴1＋x＝≤＝1＋，

∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]

8．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

36　[f(x)＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时f(x)取得最小值4.又由已知x＝3时，f(x)min＝4，

∴＝3，即a＝36.]

三、解答题

9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：＋≥4.

[证明]　＋＝＋

＝1＋＋＋1

＝2＋＋≥2＋2＝4.

当且仅当a＝b时“＝”成立．

10．已知a、b、c为正数，求证：＋＋≥3.

[证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1

＝＋＋－3.

∵a，b，c为正数，

∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；

＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；

＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．

从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

∴＋＋－3≥3，

即＋＋≥3.

[等级过关练]

1．下列不等式一定成立的是(　　)

A．x＋≥2　　 B.≥

C.≥2   D．2－3x－≥2

B　[A项中当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．

B项中，＝≥，∴B正确．

而对于C，＝－，

当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．

D项中取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]

2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　　)

A．ab≤   B．ab≥

C．a2＋b2≥2   D．a2＋b2≤3

C　[∵a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∴ab≤2＝1，

而4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，

∴a2＋b2≥2.]

3．若x2＋y2＝4，则xy的最大值为________．

2　[xy≤＝2，当且仅当x＝y时取“＝”．]

4．设a，b为非零实数，给出不等式：

①≥ab；②≥2；③≥；④＋≥2.

其中恒成立的不等式是________．

①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；

②＝

＝≥

＝＝2，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]

5．已知a、b、c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.

[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，

即a＋b＋c≥＋＋.由于a、b、c不全相等，

∴等号不成立，

∴a＋b＋c＞＋＋.