人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时当堂达标检测题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式第2课时当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了eq \r的最大值为， C解析， 36 解析， 解， D 解析， eq \f 解析， 8 解析等内容，欢迎下载使用。

巩固新知 夯实基础
1.eq \r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B.eq \f(9,2) C．3 D.eq \f(3\r(2),2)
2．设x>0，则y＝3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )
A．3 B．3－2eq \r(2) C．3－2eq \r(3) D．－1
3．若0＜x＜eq \f(1,2)，则函数y＝xeq \r(1－4x2)的最大值为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,8)
4．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
5．已知a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
6．已知y＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
7．已知y＝x＋eq \f(1,x).
(1)已知x＞0，求y的最小值；(2)已知x＜0，求y的最大值．
8．已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab.
(1)求ab的最小值； (2)求a＋2b的最小值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．已知aA．3 B．2 C．4 D．1
10．已知实数x，y满足x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
11．设x＞0，则函数y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)的最小值为( )
A．0 B.eq \f(1,2) C．1 D.eq \f(3,2)
12．已知x≥eq \f(5,2)，则y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)有( )
A．最大值eq \f(5,4) B．最小值eq \f(5,4)za C．最大值1 D．最小值1
13．已知不等式(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
14．已知x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
15．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)的最小值为________．
16．设a>b>c，且eq \f(1,a－b)＋eq \f(1,b－c)≥eq \f(m,a－c)恒成立，求m的取值范围．
17．(1)若x＜3，求y＝2x＋1＋eq \f(1,x－3)的最大值；
(2)已知x＞0，求y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值．
【参考答案】
B 解析：选B.因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，
所以eq \r(（3－a）（a＋6）)≤eq \f(（3－a）＋（a＋6）,2)＝eq \f(9,2).即eq \r(（3－a）（a＋6）)(－6≤a≤3)的最大值为eq \f(9,2).
C 解析：y＝3－3x－eq \f(1,x)＝3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤3－2 eq \r(3x·\f(1,x))＝3－2eq \r(3)，当且仅当3x＝eq \f(1,x)，即x＝eq \f(\r(3),3)时取等号．
3. C解析：因为0＜x＜eq \f(1,2)，所以1－4x2＞0，所以xeq \r(1－4x2)＝eq \f(1,2)×2xeq \r(1－4x2)≤eq \f(1,2)×eq \f(4x2＋1－4x2,2)＝eq \f(1,4)，当且仅当2x＝eq \r(1－4x2)，即x＝eq \f(\r(2),4)时等号成立，故选C.
B 解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.
当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x>0)，即x＝80时“＝”成立，故选B.
C 解析：可得6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，所以2a＋b＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))·(2a＋b)＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(2b,a)时等号成立，所以9m≤54，即m≤6，故选C.
6. 36 解析：y＝4x＋eq \f(a,x)≥2 eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时等号成立，此时y取得最小值4eq \r(a). 又由已知x＝3时，y的最小值为4eq \r(a)，所以eq \f(\r(a),2)＝3，即a＝36.
7. 解：(1)因为x＞0，所以x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立．所以y的最小值为2.
(2)因为x＜0，所以－x＞0.所以f(x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（－x）＋\f(1,－x)))≤－2eq \r(（－x）·\f(1,－x))＝－2，当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时等号成立．所以y的最大值为－2.
8. 解：因为2a＋b＝ab，所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1；
(1)因为a>0，b>0，
所以1＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，当且仅当eq \f(1,a)＝eq \f(2,b)＝eq \f(1,2)，即a＝2，b＝4时取等号，所以ab≥8，即ab的最小值为8；
(2)a＋2b＝(a＋2b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝3时取等号，所以a＋2b的最小值为9.
A 解析：因为a0，
由基本不等式可得eq \f(b－a＋1,b－a)＋b－a＝1＋eq \f(1,b－a)＋(b－a)≥1＋2eq \r(\f(1,b－a)·（b－a）)＝3，
当且仅当eq \f(1,b－a)＝b－a(b>a)，即当b－a＝1时，等号成立，因此，eq \f(b－a＋1,b－a)＋b－a的最小值为3,故选A.
D 解析：因为x>0，y>0，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，所以x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，
当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)时等号成立．故选D.
A 解析：选A.因为x＞0，所以x＋eq \f(1,2)＞0，所以y＝x＋eq \f(2,2x＋1)－eq \f(3,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))＋eq \f(1,x＋\f(1,2))－2
≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq \f(1,2)＝eq \f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq \f(1,2)时等号成立，所以函数的最小值为0.
12. D 解析：y＝eq \f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq \f(（x－2）2＋1,2（x－2）)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（x－2）＋\f(1,x－2)))，
因为x≥eq \f(5,2)，所以x－2＞0，所以eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（x－2）＋\f(1,x－2)))≥eq \f(1,2)·2eq \r(（x－2）·\f(1,x－2))＝1，
当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)，即x＝3时取等号．故y的最小值为1.
B 解析 (x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))＝1＋a＋eq \f(ax,y)＋eq \f(y,x)≥1＋a＋2eq \r(a)＝(eq \r(a)＋1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(y,x)＝\r(a)时取等号)).∵(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(eq \r(a)＋1)2≥9.∴a≥4.
14. eq \f(3,2) 解析：因为x＞0，y＞0，2x＋3y＝6，所以xy＝eq \f(1,6)(2x·3y)≤eq \f(1,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋3y,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,6)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(3,2).
当且仅当2x＝3y，即x＝eq \f(3,2)，y＝1时，xy取到最大值eq \f(3,2).
15. 8 解析：因为点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，所以2m＋n＝1，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(2,n)＝eq \f(2m＋n,m)＋eq \f(2（2m＋n）,n)＝4＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥8.
16.解 由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.因此，原不等式等价于eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)≥m.
要使原不等式恒成立，只需eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)的最小值不小于m即可．
因为eq \f(a－c,a－b)＋eq \f(a－c,b－c)＝eq \f(a－b＋b－c,a－b)＋eq \f(a－b＋b－c,b－c)＝2＋eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(a－b,b－c)≥2＋2 eq \r(\f(b－c,a－b)×\f(a－b,b－c))＝4，
当且仅当eq \f(b－c,a－b)＝eq \f(a－b,b－c)，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈{m|m≤4}.
17.解：(1)因为x＜3，所以3－x＞0.又因为y＝2(x－3)＋eq \f(1,x－3)＋7＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（3－x）＋\f(1,3－x)))＋7，由基本不等式可得2(3－x)＋eq \f(1,3－x)≥2eq \r(2（3－x）·\f(1,3－x))＝2eq \r(2)，当且仅当2(3－x)＝eq \f(1,3－x)，即x＝3－eq \f(\r(2),2)时，等号成立，于是－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（3－x）＋\f(1,3－x)))≤－2eq \r(2)，－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（3－x）＋\f(1,3－x)))＋7≤7－2eq \r(2)，故y的最大值是7－2eq \r(2).
(2)y＝eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x)).因为x＞0，所以x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，所以0＜y≤eq \f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时，等号成立．故y的最大值为1.