人教版八年级上册13.3 等腰三角形综合与测试同步达标检测题

人教版数学八年级上册同步专题五

《等腰三角形性质与判定》强化练习卷

一、选择题

1.如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数（  ）

  A.1个                           B.3个                         C.4个                         D.5个

2.如图在等腰△ABC中，其中AB=AC,∠A=40°,P是△ABC内一点，且∠1=∠2,则∠BPC等于（    ）

  A.110°                        B.120°                      C.130°                           D.140°

3.如图，在△ABC中,AB=AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N,则△AMN的周长为（      ）

  A.12           B.4              C.8                D.不确定

4.如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F.

给出下面四个条件：

①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF.

从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）

A.①②       B.①④         C.②③        D.③④

5.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（      ）

A.105°                      B.120°                     C.135°                      D.150°

6.一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2=50°，则∠1=(    )

A.50°　 　B.60°　 　C.70°　 　D.80°

7.如图，AB∥CD，BE垂直平分AD，DC=BC，若∠A=70°，则∠C=（　　）

A.100°       B.110°        C.115°         D.120°

8.如图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.下列结论，其中正确的有（　　）

①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；

④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD.

A.3个       B.4个       C.5个        D.6个

二、填空题

9.已知等腰三角形的顶角为40°，则它一腰上的高与底边的夹角为    ．

10.等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分为3：2两部分，则此三角形的底边长

为　　cm或　　cm．

11.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=        ．

12.如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD、△BCE均为正三角形，连接AE、CD交于点M，AE交BD于点P，CD交BE于点Q，连接PQ、BM，则下列说法：

①△ABE≌△DBC；②DC=AE；③△PBQ为正三角形；④PQ∥AC.

请将所有正确选项的序号填在横线上　　　　　　．

13.三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=      °．

14.如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=    °．

三、解答题

15.如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1=∠2．

求证：△ABC是直角三角形．

16.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6 cm，△OBC的周长为16 cm.

(1)求线段BC的长；

(2)连接OA，求线段OA的长；

(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数.

17.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.

(1)求证：AE=CF；

(2)求∠ACF的度数.

18.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

19.如图，△ABC为等腰直角三角形，点D是边BC上一动点，以AD为直角边作等腰直角△ADE，分别过A、E点向BC边作垂线，垂足分别为F、G.连接BE.

（ 1）证明：BG=FD；

（ 2）求∠ABE的度数.

20.已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点.

(1)直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G(如图1)，求证：AE=CG；

(2)直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M(如图2)，找出图中与BE相等的线段，并说明理由.

21.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D为斜边AC延长线上一点，过D点作BC的垂线交其延长线于点E，在AB的延长线上取一点F，使得BF=CE，连接EF.

（1）若AB=2，BF=3，求BE的长度；

（2）G为AC中点，连接GF，求证：∠AFG+∠BEF=∠GFE.

22.如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D.

（1）求证：PD=DQ；

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长.

23.如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN.B、D分别在射线AN、AM上.

（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC.

（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示.则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

参考答案

1.D

2.A

3.C

4.C

5.B

6.C.

7.D.

8.D.

9.答案为：20°．

10.答案为：或5．

11.答案为：．

12.答案为:①②③④．

13.答案为：130．

14.答案为：45．

15.解：∵BF是△ABC的角平分线，

∴∠ABF=∠CBF．

∵AD是△ABC的高线，

∴∠ADB=90°，

∴∠CBF＋∠BED=90°．

∵∠1=∠2=∠BED，

∴∠ABF＋∠2=90°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是直角三角形．

16.解：(1)∵l1是AB边的垂直平分线，

∴DA=DB，

∵l2是AC边的垂直平分线，

∴EA=EC，

∴BC=BD＋DE＋EC=DA＋DE＋EA=6 cm.

(2)连接OA，图略.

∵l1是AB边的垂直平分线，

∴OA=OB，

∵l2是AC边的垂直平分线，

∴OA=OC，

∵OB＋OC＋BC=16 cm，BC=6 cm，

∴OA=OB=OC=5 cm.

(3)∵∠BAC=120°，

∴∠ABC＋∠ACB=60°，

∵DA=DB，EA=EC，

∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，

∴∠DAE=∠BAC－∠BAD－∠EAC=60°.

17.(1)证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABE＋∠EBC=60°.

∵△BEF是等边三角形，

∴EB=BF，∠CBF＋∠EBC=60°.

∴∠ABE=∠CBF.

在△ABE和△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF(SAS).

∴AE=CF.

(2)∵等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，

∴∠BAE=30°，∠ACB=60°.

∵△ABE≌△CBF，

∴∠BCF=∠BAE=30°.

∴∠ACF=∠BCF＋∠ACB=30°＋60°=90°.

18.证明：（1）∵AD∥BC（已知），

∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），

∵E是CD的中点（已知），

∴DE=EC（中点的定义）．

∵在△ADE与△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA），

∴FC=AD（全等三角形的性质）．

（2）∵△ADE≌△FCE，

∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），

∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB=BF=BC+CF，

∵AD=CF（已证），

∴AB=BC+AD（等量代换）．　

19.（1）证明：∵△ADE为等腰直角三角形，

∴AD=DE，∠ADE=90°，

∵AF⊥BC，EG⊥BC，

∴∠AFD=∠DGE=90°，

∴∠DAF+∠ADF=∠ADF+∠EDG=90°，

∴∠FAD=∠GDE，

在△ADF与△DEG中，

，

∴△ADF≌△DEG，

∴DG=AF，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AF=BF，

∴BF=DG，

∴BG=DF；

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∵△ADF≌△DEG，

∴DF=EG，

∴BG=EG，

∵BG⊥EG，

∴△BGE是等腰直角三角形，

∴∠GBE=45°，

∴∠ABE=90°.

20.（1）证明：∵点D是AB的中点，AC=BC，∠ACB=90°，

∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=45°，

∴∠CAE=∠BCG.

又BF⊥CE，

∴∠CBG＋∠BCF=90°，

又∵∠ACE＋∠BCF=90°，

∴∠ACE=∠CBG，

∴△AEC≌△CGB，∴AE=CG.

（2）解：BE=CM.理由：

∵CH⊥HM，CD⊥ED，

∴∠CMA＋∠MCH=90°，∠BEC＋∠MCH=90°，

∴∠CMA=∠BEC.

又∵CA=BC，∠ACM=∠CBE=45°，

∴△BCE≌△CAM，

∴BE=CM.

21.解：（1）BE=5；

（2）证明：连接BG，EG

∵AB=BC，BF=CE

∴AB+BF=BC+CE

即AF=BE

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，

∴∠A=45°

∵G是AC的中点

∴BG=AG（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）

∠GBC=0.5∠ABC=45°（等腰三角形三线合一）

∴∠A=∠GBC

∴△GAF≌△GBE（SAS）

∴∠1=∠BEG，GF=GE

∴∠GFE=∠3

∵∠GEF=∠BEG+∠2=∠1+∠2

∴∠1+∠2=∠3

即∠BFG+∠BEF=∠GFE.

22.（1）解：∵EF垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠C=∠EAC=40°，

∵AD⊥BC，BD=DE，

∴AB=AE，

∴∠B=∠BEA=2∠C=80°，

∴∠BAD=90°﹣80°=10°；

（2）由（1）知：AE=EC=AB，

∵BD=DE，

∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，

∴DE=1.

23.（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，

∴∠DAC=∠BAC=60°

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠DCA=∠BCA=30°，

在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°

∴AC=2AD，AC=2AB，

∴AD+AB=AC；

（2）解：结论AD+AB=AC成立.

理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，

∵∠BAC=60°，

∴△CAE为等边三角形，

∴AC=CE，∠AEC=60°，

∵∠DAC=60°，

∴∠DAC=∠AEC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，

∴∠ADC=∠EBC，

∴△ADC≌△EBC，

∴DC=BC，DA=BE，

∴AD+AB=AB+BE=AE，

∴AD+AB=AC.