黑龙江省绥化市海伦市2020-2021学年八年级下学期期末数学试卷（五四学制）（word版含答案）

2020-2021学年黑龙江省绥化市海伦市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2

2．下列计算正确的是（　　）

A． B． C．5 D．4＝4

3．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：

则这四个人种成绩发挥最稳定的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

4．下列各线段的长，能构成直角三角形的是（　　）

A．9，16，25 B．5，12，13 C．，， D．，，

5．下列四个命题中，真命题是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形 

B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 

C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 

D．对角线互相垂直相等的四边形是正方形

6．五名女生的体重（单位：KG）分别为：37、40、38、42、42，这组数的众数和中位数分别是（　　）

A．42、40 B．42、38 C．40、42 D．42、42

7．如图，点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k＞0）图象上的一点，则关于x的不等式kx+b≥2的解集是（　　）

A．0≤x≤2 B．x≥2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1

8．关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）

A．图象过点（1，﹣1） B．图象经过一、二、三象限 

C．y随x的增大而增大 D．当x＞时，y＜0

9．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（，﹣1） D．（﹣，1）

10．我市某小区实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的个数有（　　）个．

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；

④甲队比乙队提前2天完成任务．

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　        　．

12．平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝20°，则∠A＝　     　，∠B＝　     　．

13．若一组数据x1，x2，x3的平均数是2，则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是 　 　．

14．将直线y＝﹣4x+3向下平移4个单位，得到的直线解析式是　        　．

15．若直线y＝mx+1与直线y＝2x﹣1的交点在x轴上，则m＝　   　．

16．某公司要招聘职员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李丽的三项成绩百分制依次是70分，90分，80分，其中计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%，则李丽最终的成绩是　   　分．

17．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　 　．

18．已知一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣2，当m　   　时，y随x的增大而增大．

19．等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BD＝6，AD＝8，则CD的长为　     　．

20．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　                　．

三、解答题（共60分）

21．（8分）计算：

（1）；

（2）．

22．（8分）2021年4月是我国第32个爱国卫生月．我校八年级通过网课举行了主题为“防疫有我，爱卫同行”的知识竞赛活动，对全校2200名学生“预防新冠病毒知识“进行了测试（试卷满分100分），从中随机抽取了20名学生的测试卷，按A，B，C，D，E五个级别分别进行了统计，其中得分在C级别这一范围内的成绩分别是：70，72，74，76，77，78，78，78，79，79．

（数据整理与描述）将调查结果绘制成统计表和不完整的统计图．

（数据应用）请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：m＝　 　，n＝　 　．

（2）补全频数分布直方图；

（3）被抽取的20名学生成绩的中位数为 　 　分；

（4）若这次测试成绩不低于80分的确定为优秀，请估计该校这次测试获得优秀的学生人数．

23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论．

24．（7分）小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小锤经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，DC＝13m，∠ABC＝150°．豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度．你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由．

25．（8分）如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为，试求点P的坐标．

26．（9分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．

（1）求出图中m，a的值；

（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；

（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．

27．（12分）在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM⊥BE交CD于F．

（1）如图①，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD；

（2）如图②，求证：BM＝MF；

（3）如图③，连接BF，当AM：MC＝1：2，AB＝6时，求BF的长．

2020-2021学年黑龙江省绥化市海伦市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2

【分析】二次根式的被开方数是非负数．

【解答】解：依题意，得

a﹣2≥0，

解得，a≥2．

故选：D．

2．下列计算正确的是（　　）

A． B． C．5 D．4＝4

【分析】利用二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．

【解答】解：A、2与3不能合并，所以A选项错误；

B、原式＝＝2，所以B选项正确；

C、原式＝25＝25，所以C选项错误；

D、原式＝3，所以D选项错误．

故选：B．

3．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.3环，方差如表：

则这四个人种成绩发挥最稳定的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

【解答】解：∵S甲2，＝0.035，S乙2＝0.016，S，丙2＝0.022，S，丁2＝0.025，

∴S乙2最小，

∴这四个人种成绩发挥最稳定的是乙；

故选：B．

4．下列各线段的长，能构成直角三角形的是（　　）

A．9，16，25 B．5，12，13 C．，， D．，，

【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．

【解答】解：A、∵92+162≠252，故不是直角三角形，不合题意；

B、52+122＝132，故是直角三角形，符合题意；

C、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；

D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不合题意；

故选：B．

5．下列四个命题中，真命题是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形 

B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 

C．顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形 

D．对角线互相垂直相等的四边形是正方形

【分析】利用菱形、矩形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

C、顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意；

D、对角线互相垂直相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

故选：C．

6．五名女生的体重（单位：KG）分别为：37、40、38、42、42，这组数的众数和中位数分别是（　　）

A．42、40 B．42、38 C．40、42 D．42、42

【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．

【解答】解：将数据从小到大排列为：37，38，40，42，42，

众数为42；

中位数为40．

故选：A．

7．如图，点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b（k＞0）图象上的一点，则关于x的不等式kx+b≥2的解集是（　　）

A．0≤x≤2 B．x≥2 C．x≥﹣1 D．x≤﹣1

【分析】一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）2的自变量x的取值范围．

【解答】解：由图象可得：关于x的不等式kx+b≥2的解集应是x≥﹣1；

故选：C．

8．关于一次函数y＝﹣2x+3，下列结论正确的是（　　）

A．图象过点（1，﹣1） B．图象经过一、二、三象限 

C．y随x的增大而增大 D．当x＞时，y＜0

【分析】A、把点的坐标代入关系式，检验是否成立；

B、根据系数的性质判断，或画出草图判断；

C、根据一次项系数判断；

D、可根据函数图象判断，亦可解不等式求解．

【解答】解：A、当x＝1时，y＝1．所以图象不过（1，﹣1），故错误；

B、∵﹣2＜0，3＞0，

∴图象过一、二、四象限，故错误；

C、∵﹣2＜0，

∴y随x的增大而减小，故错误；

D、∵当x＞时，图象在x轴下方，

∴y＜0，故正确．

故选：D．

9．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（，﹣1） D．（﹣，1）

【分析】首先过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，易证得△AOE≌△OCD（AAS），则可得CD＝OE＝1，OD＝AE＝，继而求得答案．

【解答】解：过点C作CD⊥x轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，

则∠ODC＝∠AEO＝90°，

∴∠OCD+∠COD＝90°，

∵四边形OABC是正方形，

∴OC＝OA，∠AOC＝90°，

∴∠COD+∠AOE＝90°，

∴∠OCD＝∠AOE，

在△AOE和△OCD中，

，

∴△AOE≌△OCD（AAS），

∴CD＝OE＝1，OD＝AE＝＝＝，

∴点C的坐标为：（﹣，1）．

故选：D．

10．我市某小区实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示，则下列说法中，正确的个数有（　　）个．

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③当x＝4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；

④甲队比乙队提前2天完成任务．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据函数图象中的数据可以计算出各个小题中的量是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：由图象可得，

甲队每天挖：600÷6＝100米，故①正确，

乙队开挖两天后，每天挖：（500﹣300）÷（6﹣2）＝50米，故②正确，

当甲乙挖的管道长度相等时，100x＝300+（x﹣2）×50，得x＝4，故③正确，

甲队比乙队提前完成的天数为：（600﹣300）÷50+2﹣6＝2（天），故④正确，

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共30分）

11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≥0且x≠1　．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0，

解得：x≥0且x≠1．

故答案为：x≥0且x≠1．

12．平行四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝20°，则∠A＝　100°　，∠B＝　80°　．

【分析】根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出∠A+∠B＝180°，解方程组求出答案即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B＝180°，

∵∠A﹣∠B＝20°，

∴∠A＝100°，∠B＝80°，

故答案为：100°，80°．

13．若一组数据x1，x2，x3的平均数是2，则数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是 　3　．

【分析】根据算术平均数的定义求解即可．

【解答】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是2，

∴数据x1+1，x2+1，x3+1的平均数是2+1＝3，

故答案为：3．

14．将直线y＝﹣4x+3向下平移4个单位，得到的直线解析式是　y＝﹣4x﹣1　．

【分析】根据上加下减的法则可得出平移后的函数解析式．

【解答】解：将直线y＝﹣4x+3向下平移4个单位得到直线l，

则直线l的解析式为：y＝﹣4x+3﹣4，即y＝﹣4x﹣1．

故答案是：y＝﹣4x﹣1

15．若直线y＝mx+1与直线y＝2x﹣1的交点在x轴上，则m＝　﹣2　．

【分析】由题意可知交点在x轴上，可设该交点坐标为（a，0），然后将该点坐标代入两直线解析式中即可求出答案．

【解答】解：设两直线交于点（a，0），且a≠0

∴把（a，0）代入y＝2x﹣1中，

∴2a﹣1＝0，解得a＝，

∴把（，0）代入y＝mx+1中，得

∴m＝﹣2，

故答案为：﹣2．

16．某公司要招聘职员，竞聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李丽的三项成绩百分制依次是70分，90分，80分，其中计算机成绩占50%，语言表达成绩占30%，写作能力成绩占20%，则李丽最终的成绩是　78　分．

【分析】利用加权平均数的求法计算即可得出答案．

【解答】解：由题意可得：70×50%+90×30%+80×20%＝78（分）．

故答案为78．

17．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝　a　．

【分析】由数轴可知a＜0＜b，|a|＜|b|，根据二次根式的性质得出|a|+|a+b|﹣|a﹣b|，去掉绝对值符号求出即可．

【解答】解：∵由数轴可知：a＜0＜b，|a|＜|b|，

∴+﹣|a﹣b|

＝|a|+|a+b|﹣|a﹣b|

＝﹣a+（a+b）﹣（b﹣a）

＝﹣a+a+b﹣b+a

＝a．

故答案为：a．

18．已知一次函数y＝（1﹣m）x+m﹣2，当m　＜1　时，y随x的增大而增大．

【分析】根据一次函数的性质得1﹣m＞0，然后解不等式即可．

【解答】解：当1﹣m＞0时，y随x的增大而增大，

所以m＜1．

故答案为：＜1．

19．等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BD＝6，AD＝8，则CD的长为　2或18　．

【分析】利用勾股定理先求解AB的长，再根据等腰三角形的性质可得AC的长，进而求解．

【解答】解：如图，当△AB此时锐角三角形时，

∵BD⊥AC，

∴∠ADB＝∠BDC＝90°，

∵BD＝6，AD＝8，

∴AB＝，

∵AB＝AC，

∴AC＝10，

∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，

当△ABC是钝角三角形时，同法可得CD＝AC+AD＝10+8＝18，

故答案为2或18．．

20．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为　　．

【分析】易得第二个矩形的面积为（）2，第三个矩形的面积为（）4，依此类推，第n个矩形的面积为（）2n﹣2．

【解答】解：已知第一个矩形的面积为1；

第二个矩形的面积为原来的（）2×2﹣2＝；

第三个矩形的面积是（）2×3﹣2＝；

…

故第n个矩形的面积为：（）2n﹣2＝（）n﹣1＝．

故答案是：．

三、解答题（共60分）

21．（8分）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）直接化简二次根式，再去括号，进而合并得出答案；

（2）直接化简二次根式，再利用合并二次根式，最后利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解：（1）原式＝2+2﹣（3﹣）

＝2+2﹣3+

＝﹣；

（2）原式＝（8﹣9）÷

＝﹣÷

＝﹣1．

22．（8分）2021年4月是我国第32个爱国卫生月．我校八年级通过网课举行了主题为“防疫有我，爱卫同行”的知识竞赛活动，对全校2200名学生“预防新冠病毒知识“进行了测试（试卷满分100分），从中随机抽取了20名学生的测试卷，按A，B，C，D，E五个级别分别进行了统计，其中得分在C级别这一范围内的成绩分别是：70，72，74，76，77，78，78，78，79，79．

（数据整理与描述）将调查结果绘制成统计表和不完整的统计图．

（数据应用）请根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：m＝　4　，n＝　0.15　．

（2）补全频数分布直方图；

（3）被抽取的20名学生成绩的中位数为 　76.5　分；

（4）若这次测试成绩不低于80分的确定为优秀，请估计该校这次测试获得优秀的学生人数．

【分析】（1）从频数分布表中“A组”的频数、频率，利用频率＝即可求出调查人数，进而求出相应各组的频数或频率；

（2）根据各组频数即可补全频数分布直方图；

（3）根据中位数的意义求解即可；

（4）求出样本中“优秀”所占的百分比，估计总体中“优秀”所占的百分比，再计算相应的人数．

【解答】解：（1）2÷0.1＝20（人），

m＝20×0.20＝4（人），

n＝3÷20＝0.15，

故答案为：4，0.15；

（2）补全频数分布直方图如下：

（3）将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置，即第10、11位的两个数的平均数为＝76.5（分），因此中位数是76.6分，

故答案为：76.5；

（4）2200×＝440（人），

答：全校2200名学生中，成绩为“优秀”的大约有440人．

23．（8分）如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是怎样的特殊四边形？证明你的结论．

【分析】（1）由矩形的性质得出OB＝OD，AE∥CF，得出∠E＝∠F，由AAS即可证明△BOE≌△DOF；

（2）先由对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OD，AE∥CF，

∴∠E＝∠F，

在△BOE和△DOF中，，

∴△BOE≌△DOF（AAS）；

（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形；理由如下：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

又∵△BOE≌△DOF，

∴OE＝OF，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

24．（7分）小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小锤经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，DC＝13m，∠ABC＝150°．豆花说根据小锤所得的数据可以求出CB的长度．你同意豆花的说法吗？若同意，请求出CB的长度；若不同意，请说明理由．

【分析】直接利用等边三角形的判定方法得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．

【解答】解：同意豆花的说法．

理由：连接BD，

∵AB＝AD＝5m，∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD＝5m，∠ABD＝60°，

∵∠ABC＝150°，

∴∠DBC＝90°，

∵DC＝13m，BD＝5m，

∴CB＝＝12（m）．

答：CB的长度为12m．

25．（8分）如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．

（1）求A，B两点的坐标；

（2）过B点作直线与x轴交于点P，若△ABP的面积为，试求点P的坐标．

【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点A、B的坐标；

（2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA＝．然后由三角形面积公式得到S△ABP＝AP•OB＝，则AP＝．设点P的坐标为（m，0），则m﹣（﹣）＝或﹣﹣m＝，由此可以求得m的值．

【解答】解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）．

由y＝0得：2x+3＝0，解得：x＝﹣，即：A（﹣，0）；

（2）由B（0，3）、A（﹣，0）得：OB＝3，OA＝

∵S△ABP＝AP•OB＝

∴AP＝，

解得：AP＝．

设点P的坐标为（m，0），则m﹣（﹣）＝或﹣﹣m＝，

解得：m＝1或﹣4，

∴P点坐标为（1，0）或（﹣4，0）．

26．（9分）甲、乙两车从A地驶向B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲乙两车行驶的距离y（km）与时间x（h）的函数图象．

（1）求出图中m，a的值；

（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；

（3）当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km．

【分析】（1）根据“路程÷时间＝速度”由函数图象就可以求出甲的速度，求出a的值和m的值；

（2）由分段函数当0≤x≤1，1＜x≤1.5，1.5＜x≤7由待定系数法就可以求出结论；

（3）先求出乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求出其解即可．

【解答】解：（1）由题意，得

m＝1.5﹣0.5＝1．

120÷（3.5﹣0.5）＝40，

∴a＝40．

答：a＝40，m＝1；

（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y＝k1x，由题意，得

40＝k1，

∴y＝40x

当1＜x≤1.5时，

y＝40；

当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，由题意，得

，

解得：，

∴y＝40x﹣20．

y＝；

（3）设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3，由题意，得

，

解得：．

∴y＝80x﹣160．

当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，

解得：x＝．

当40x﹣20+50＝80x﹣160时，

解得：x＝．

＝，．

答：乙车行驶小时或小时，两车恰好相距50km．

27．（12分）在正方形ABCD中，连接AC，点E在线段AD上，连接BE交AC于M，过点M作FM⊥BE交CD于F．

（1）如图①，求证：∠ABE+∠CMF＝∠ACD；

（2）如图②，求证：BM＝MF；

（3）如图③，连接BF，当AM：MC＝1：2，AB＝6时，求BF的长．

【分析】（1）由题意∠AEB＝90°﹣∠ABE，∠CMB＝90°﹣∠CMF，推出∠AME＝∠CMB＝90°﹣∠CMF，在△AME中，根据∠EAM+∠AME+∠AEM＝180°，求解即可．

（2）如图②中，作MH∥BC交CD于H，交AB于G，由“AAS”可证△BGM≌△MHF可得结论．

（3）如图③中，过点M作HM⊥AB于H，由直角三角形的性质可求AH＝HM＝2，利用勾股定理可求BM的长，由等腰直角三角形的性质可求解．

【解答】证明：（1）如图①中，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝CD，

∴∠DAC＝∠ACD，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°﹣∠ABE，

∵FM⊥BE，

∴∠BMF＝90°，

∴∠CMF+∠CMB＝90°，

∴∠CMB＝90°﹣∠CMF，

∴∠AME＝∠CMB＝90°﹣∠CMF，

在△AME中，∠EAM+∠AME+∠AEM＝180°，

∴∠EAM+（90°﹣∠CMF）+（90°﹣∠ABE）＝180°，

∴∠ABE+∠CMF＝∠EAM，

∴∠ABE+∠CMF＝∠ACD．

（2）如图②中，作MH∥BC交CD于H，交AB于G．

∵GH∥BC，

∴∠AGH＝∠ABC＝90°，∠GHD＝∠DCB＝90°，

∴∠GBC＝∠CHG＝∠GBC＝90°，

∴四边形BGHC是矩形，

∴CH＝BG，

∵∠HCM＝∠CMH＝45°，

∴HM＝CH，

∵∠BMF＝90°，

∴∠BMG+∠HMF＝90°，∠HMF+∠MFH＝90°，

∴∠BMG＝∠MFH，

∴△BGM≌△MHF（AAS），

∴BM＝FM．

（3）如图③中，过点M作HM⊥AB于H，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝6，∠BAC＝45°，AC＝AB＝6，

∵AM：MC＝1：2，

∴AM＝2，MC＝4，

∵MH⊥AB，

∴∠HAM＝∠AMH＝45°，

∴AH＝MH，

∵AH2+HM2＝AM2＝8，

∴AH＝HM＝2，

∴BH＝6，

∴BM＝＝＝2，

∵BM＝MF，FM⊥BE，

∴BF＝BM＝4．